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ビンゴゲームの確率計算
懇親会の定番ビンゴゲーム。ルールが易しくて準備も簡単です。しかしよく経験するのがなかなか上がりが出ない事。次々
に読み上げないとゲームが進まない し、進行が早すぎても苦情がでます。
どのような具合に上がりが出るのか興味が湧き確率を計算してみました。ネット上にはすでに色々な解がアップされ
ていますので今更とも 思いますが、せっかくあれこれ考えてみたのでご披露を・・・(^_^;)。
まず数字の最大値をｍとします。これは７５であることが多いようです。マスは５×５、真ん中はフリー。
５個の数字で構成される軸が上がる確率ａは、読み上げた数字の個数をｎとすると
a=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)
４個の数字で構成される真ん中のＦＲＥＥを含む軸が上がる確率ｂは、
b=n(n-1)(n-2)(n-3)/m(m-1)(m-2)(m-3)
ＦＲＥＥを含む軸は４本、含まない軸は８本ですので、ｎ回目までにビンゴ！となる累計確率ｐ１は以下の式で表さ
れます。
ｐ1(n,m)=1-(1-a)^8*(1-b)^4
これはｎ回目までに上がる確率の式です。
数字のカード上での配置については考慮せず単純化しています。ｎの値によっては配置に制限が出て、誤差が出るよ
うな気がしますが無視 (*_*)。
累積ではなくｎ回目で上がる確率ｐ２は、累積確率ｐ１のｎ回目からn-1回目を引けばよいので、
ｐ2(n,m)=ｐ1(n,m)-ｐ1(n-1,m)
これはｎ回目に上がる確率の式です。
ｐ１、ｐ２の数値計算は表計算ソフトで簡単にできます。ご参考までに私が作ったシートをアップしておきますが、入れる数値によっては表示が
乱 れる未完成品です。
上記のシートを使って、ｍを７５として累積の上がり率ｐ１をグラフにしてみました。数値はこのページの下にあり
ます。
結論は、よく見かける最大値７５のビンゴカードの場合、１８個数字を読み上げて累計約１．４％の人が上がります。
１００人位のパーティであればこの辺でビ ンゴ
第１号が出てくるでしょう。２４個読み上げると約５％。２〜３０人のパーティならたぶんビンゴが出ます。４０個ほど
読み上げると半分の人が上がり。５０個 でほとんどの人が上がってしまいます。
なおｎ回目で上がる確率は、２５回目で約１％、３０回目で約２％、３５回目で約３％、４１回目で約４％となり、４３回目
で最高の約４．２％です。
１００人でのパーティなら２５回目から３４回目にかけて毎回１〜２人が、３５回目から５０回目にかけて毎回３〜４人がビ
ンゴ！と名乗りを上げるでしょう。
以下参考までに最大数７５の時の計算結果を示します。
| 回数：n |
累計 ビンゴ率：ｐ１ |
ｎ回目ビンゴ
率：ｐ２ |
| 1 |
0.0000% |
0.0000% |
| 2 |
0.0000% |
0.0000% |
| 3 |
0.0000% |
0.0000% |
| 4 |
0.0003% |
0.0003% |
| 5 |
0.0017% |
0.0014% |
| 6 |
0.0052% |
0.0035% |
| 7 |
0.0125% |
0.0073% |
| 8 |
0.0256% |
0.0131% |
| 9 |
0.0473% |
0.0217% |
| 10 |
0.0808% |
0.0335% |
| 11 |
0.1299% |
0.0492% |
| 12 |
0.1994% |
0.0695% |
| 13 |
0.2946% |
0.0951% |
| 14 |
0.4215% |
0.1269% |
| 15 |
0.5869% |
0.1655% |
| 16 |
0.7987% |
0.2117% |
| 17 |
1.0652% |
0.2665% |
| 18 |
1.3957% |
0.3305% |
| 19 |
1.8004% |
0.4047% |
| 20 |
2.2900% |
0.4896% |
| 21 |
2.8761% |
0.5861% |
| 22 |
3.5709% |
0.6948% |
| 23 |
4.3869% |
0.8160% |
| 24 |
5.3372% |
0.9503% |
| 25 |
6.4350% |
1.0978% |
| 26 |
7.6933% |
1.2583% |
| 27 |
9.1250% |
1.4317% |
| 28 |
10.7422% |
1.6172% |
| 29 |
12.5561% |
1.8139% |
| 30 |
14.5765% |
2.0204% |
| 31 |
16.8115% |
2.2350% |
| 32 |
19.2667% |
2.4552% |
| 33 |
21.9451% |
2.6784% |
| 34 |
24.8464% |
2.9013% |
| 35 |
27.9667% |
3.1203% |
| 36 |
31.2977% |
3.3310% |
| 37 |
34.8267% |
3.5290% |
| 38 |
38.5361% |
3.7094% |
| 39 |
42.4033% |
3.8672% |
| 40 |
46.4006% |
3.9973% |
| 41 |
50.4955% |
4.0949% |
| 42 |
54.6511% |
4.1555% |
| 43 |
58.8264% |
4.1753% |
| 44 |
62.9775% |
4.1511% |
| 45 |
67.0588% |
4.0812% |
| 46 |
71.0238% |
3.9650% |
| 47 |
74.8273% |
3.8035% |
| 48 |
78.4264% |
3.5992% |
| 49 |
81.7829% |
3.3564% |
| 50 |
84.8641% |
3.0812% |
| 51 |
87.6449% |
2.7809% |
| 52 |
90.1089% |
2.4640% |
| 53 |
92.2489% |
2.1400% |
| 54 |
94.0673% |
1.8184% |
| 55 |
95.5758% |
1.5086% |
| 56 |
96.7949% |
1.2191% |
| 57 |
97.7517% |
0.9568% |
| 58 |
98.4789% |
0.7272% |
| 59 |
99.0119% |
0.5330% |
| 60 |
99.3871% |
0.3752% |
| 61 |
99.6394% |
0.2522% |
| 62 |
99.8003% |
0.1609% |
| 63 |
99.8970% |
0.0967% |
| 64 |
99.9511% |
0.0541% |
| 65 |
99.9790% |
0.0279% |
| 66 |
99.9920% |
0.0130% |
| 67 |
99.9974% |
0.0054% |
| 68 |
99.9993% |
0.0019% |
| 69 |
99.9998% |
0.0006% |
| 70 |
100.0000% |
0.0001% |
| 71 |
100.0000% |
0.0000% |
| 72 |
100.0000% |
0.0000% |
| 73 |
100.0000% |
0.0000% |
| 74 |
100.0000% |
0.0000% |
| 75 |
100.0000% |
0.0000% |
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