RYONORYO 算数・数学のクイズ

■もくじ問題１　分母と分子に１を加算　★★☆☆☆ 問題２　周の長さと面積が同じ　★☆☆☆☆ 問題３　曲がり角の最短ルート　★★☆☆☆ 問題４　777で割り切れる数　　 ★★★☆☆ ■問題１　分母と分子に１を加算　★★☆☆☆ ある分数について、分子と分母にそれぞれ１を加算すると元の分数との大小関係は変わります。例） 100 101 --- →　--- 200 201 どのような条件の場合、元の分数より大きくなりますか？ ※分母は正の整数とする。次の問題答え→ 【答え】分子が分母より小さい場合【解説】分母をx、分子をyと置きます。 y y+1 - →　---- ※x＞0 x x+1 問題の文章は以下となる。 y y+1 -　＜　--- x x+1 これを整理する。 y(x+1)＜x(y+1) xy+y ＜ xy+x 両辺のxyを取る。 y ＜ x 上記が条件となる。つまり、真分数の場合のみ大きくなるということがわかる。ちなみに大小関係が変わらない（＝）場合は、ｘとｙが同じときということがわかる。 ■問題２　周の長さと面積が同じ　★☆☆☆☆ ある長方形の幅がx cm、高さがy cmとする。長方形の面積(cm2)と周の長さ(cm)の値が同じであるとき、 xとyはどのような関係である必要があるか？次の問題答え→ 【答え】 2x ｙ=--- x-2 【解説】周の長さ：2x+2y 面積：xy 2x+2y=xy これを整理する。 2y-xy=-2x (2-x)y=-2x y=-2x/(2-x) 2x y=---- x-2 例）ｘを１０とすると、ｙは2.5となる。周の長さ：10+10+2.5+2.5=25 面積：10*2.5=25 ■問題3　曲がり角の最短ルート★★☆☆☆ 図のような90度曲がるような道を通り、地点Aから地点Bに行く場合、カーブの直前で直角に道路を渡り、小回りをしてから再び直角に道路を渡るルートA、外回りのルートBがあります。カーブの半径をｍ、道路の幅をｎとした場合、どちらの距離の方が短くなるでしょうか？その際、ｍとｎの間に条件が必要な場合は付け加えること。次の問題答え→ 【答え】どんな場合でもルートAの方が短い。【解説】ルートAとルートBの移動距離を算出する。ルートA：2π(m+n)/4 ※円周：2πrより（四半円のため、1/4する） πm+πn ------- ・・・・① 　2 ルートB：n＋2πm/4+ｎ πm/2+2n ・・・・② ①②をそれぞれ、２倍する πm+πn・・・・・①’ πm＋4n・・・・・②’ ①’②’からπｍを引く πｎ・・・・・①” ４ｎ・・・・・②” ①”②”をｎで割る π・・・・・・①''' ４・・・・・・②''' 上記から、πは４より小さいため、①が小さいことがわかる。このことからｍ、ｎ（カーブの半径、道路の幅）に関係なく、ルートAが最短となることがわかる。 ■問題４　777で割り切れる数　　 ★★★☆☆ 以下の条件を満たす最少の数を求めよ。・自然数・下4桁が9999である。・777で割り切れる答え→ 【答え】 999999（1287*777) 【解説】ポイントは、7は何をかけても、出てくる値の一桁でかけた値の一桁目の値はユニークに決まるということ。 7*1=7　7*2=14　7*3=21　7*4=28　7*5=35 7*6=42 7*7=49　7*8=56　7*9=63　7*0=0 積の一桁目→7にかけた数の一桁目 1→3 2→6 3→9 4→2 5→5 6→8 7→1 8→4 9→7 0→0 まず、虫食い算に置き換える。　　　　　□□□□□□ 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿７７７）　　□□□９９９９　　　　　-)□□□□ 　　　　　　――――　　　　　　　　□□□９　　　　　　-)□□□□ 　　　　　　　―――― 　　　　　　　　□□□９　　　　　　　-)□□□□ 　　　　　　　　――――　　　　　　　　　　□□□９　　　　　　　　-)□□□□ 　　　　　　　　　―――― 　　　　　　　　　　　　０ ※段数は適当。下の段から考える。引き算した結果が０（割り切れる）であるため、９－□＝０　↓ ９－９＝０となる。　　　　　□□□□□□ 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿７７７）　　□□□９９９９　　　　　-)□□□□ 　　　　　　――――　　　　　　　　□□□９　　　　　　-)□□□□ 　　　　　　　―――― 　　　　　　　　□□□９　　　　　　　-)□□□□ 　　　　　　　　――――　　　　　　　　　　□□□９　　　　　　　　-)□□□９　　　　　　　　　―――― 　　　　　　　　　　　　０７をかけて、一桁目が9の式は次しかないので、７＊７＝４９商の一桁目が７であることがわかります。　　　　　□□□□□７　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿７７７）　　□□□９９９９　　　　　-)□□□□ 　　　　　　――――　　　　　　　　□□□９　　　　　　-)□□□□ 　　　　　　　―――― 　　　　　　　　□□□９　　　　　　　-)□□□□ 　　　　　　　　――――　　　　　　　　　　□□□９　　　　　　　　-)５４３９　　　　　　　　　―――― 　　　　　　　　　　　　０当然、引き算の結果は０となるので、 □□□９－５４３９＝０５４３９－５４３９＝０となる。という感じでどんどんと式を上がっていくと、答えを導くことができます。