数学的な考え方を身につける授業実践事例
１ 単元でつけたい数学的な考え方
○
類推的な考え
この単元では，これまでの数範囲を拡張して，和が10以上になるたし算場面を学習する。ここで大切なことは，和が10以上になっても，9＋6などと，これまでの学習である5＋4と同じように立式することができることを，子ども達自らが創造する学習である。数が拡張されても，これまでと同様に，たし算の式が使えることを，類推的に創造することができ，その根拠を考えることで，既習のたし算の理解を一層深められるようにし，類推的な考え方のよさを味わうことができるようにしたい。
○
帰納的な考え
計算の仕方の学習においては，9＋３，８＋４，７＋４，と順に学習を進めることも考えられるし，８＋７といった計算から導入して，多様な計算の仕方を引き出し，多様な考えの中から有効な計算の仕方を次第に選択していくといった学習も考えられる。どちらの学習を進めるにしても，９＋３のように被加数９の時は，加数を１といくつに分けて１０を作るといった計算をいくつか行い，子ども達自らが，被加数が９のときは，加数の１をあわせて１０をつくればよいことを，帰納的に考えられるようにし，帰納的な考えのよさを味わえるようにしたい。こうした学習を進めることで，被加数が８や７になっても，類推的に加数を分解し，１０を作れば簡単に計算できるといった考え方も身につけることができる。
○ 演繹的な考え
計算の仕方を考える場面においては，１０のかたまりをつくることで，１０と３で１３といった，既習の学習内容を使うと簡単に計算できるといった，根拠を明らかにした学習が必要である。根拠に迫ることで，算数のよさを感じることができるし，何よりも演繹的な考え方を育てることにつながる。
２ 考え方の伸ばす指導のポイント
○ 導入においての工夫
教科書では，いきなり和が１０以上のたし算の問題が提示され，その立式を行い，計算方法へと展開される。しかし，これでは類推的な考え方は育てられない。そこで，導入場面でいろいろなたし算が可能となる絵を提示し，子ども達に自由にたし算の問題作りをさせる展開をしたい。例えば，遊園地の絵に人や車，いす，乗り物と多様なものがあり，それぞれの数が１０以内の数となるようにする。この絵から，自由にたし算（ひき算の問題も同時に作らせてもよい）の問題を作らせるようにし，その後，出てきた問題を，みんなで立式する学習を行う展開とする。この展開では，既習である和が１０までになる問題と同じようにして，和が１０を超える問題の立式を考えることができ，類推的な考え方を伸ばすことができる。
このとき，たし算になる根拠も考えることが必要で，「あわせるから」｢増えたから｣といった，既習のたし算と変わらないところを明らかにすると，帰納的な考え方も育てることができる。
立式後には，３＋５などの既習の学習と７＋５などの未習の学習を分類し，既習を解決すると同時に，未習をこれからの学習の課題とすることができ，単元を通しての課題設定型の授業を行うことができる。
○ 計算の仕方を考える場面の工夫
９＋，８＋と順を追って学習を進める展開では，１時間の学習において９＋３の１問を算数的な活動を通して，計算の仕方を１０といくつのアイディアのよさに帰着させることが，まず大切となる。しかし，１問だけの解決で，帰納的に考えるよさを味わわせることは困難である。その後，９＋４，９＋２といくつかの問題を算数的な活動を行い，計算の仕方を整理し，その中から決まりとして，被加数を分解し１をあわせることで１０が作れること，そうすれば１０といくつで簡単に計算できることを帰納的に推測させることが大切なポイントとなる。また，操作的な活動だけにとどまらず，それを式化し，被加数が９の時には，加数を１といくつとすることを数として帰納的に処理する力を身につけることも重要である。
○ 学習のおわりに算数的な価値を感じさせる工夫
学習末では，計算技能だけを評価する展開が多く見られる。これでは，算数の価値を感じることができないばかりか，演繹的に考える力を身につけることにはならない。
学習末において，９＋いくつの計算の仕方を振り返り，簡単にできるようになったのは，どうしてかを振り返る場が大切となる。きっと子どもたちは，数えなくても簡単にできるのは，１０を作ることで，１０といくつで簡単に計算できるよさを感じることができるはずである。つまり，既習である「１０といくつ」の考えを使うことで，９＋いくつの計算が簡単にできることを感じるのである。このように，既習のアイディアを根拠として未習の計算が成り立つという演繹的な考えを育てる展開も大切なポイントとなる。
３ 考え方を伸ばす授業の展開
〔第１時〕
遊園地の絵などを作成し,多様な問題を作ることが出来るようにする。
絵を見てたし算の問題作りをすると，いろいろな問題ができる。できた問題を，黒板に提示し，次の学習へと展開する。
黒板に提示した問題の式を，みんなで作るようにする。本当にたし算になっているかも確認をしながら，式を立てるようにする。
〔第2時〕
４ 計算技能と数学的な考え方
計算技能を確かに身につけることは，大切である。そのために，学習後，ドリル的な学習を積み重ね，スキルの習得を図る学習の場も必要である。しかし，こうした学習とともに，数学的な考え方を振り返られる学習を意図的に仕組むことも重要である。９＋○，８＋○，７＋○･･･計算の仕方でいつでも同じようにしたことはなにかを振り返ることができるようにし，「１０のかたまりをつくった」「１０といくつで考えた」ことを考え方として残しておきたい。こうしたアイディアは，１００のかたまりを作るというアイディアに発展したり，分数のたし算･ひき算の仕方のアイディアに発展したりすることになる。計算ができるから，アイディアが育ったとは考えられないことを，十分に理解しておきたいものである。
１ 単元でつけたい数学的な考え方
○
類推的な考え
三角形を辺の長さに目をつけて分別し，3つの辺の長さがすべて等しい三角形(正三角形)，2つの辺の長さが等しい三角形（二等辺三角形），3つとも辺の長さが違う三角形（不等辺三角形）の概念を身につけることが中心となる学習内容である。この学習においては，既習である四角形の仲間分けの概念を想起し，類推的に学習を進めることが重要な学習場面である。四角形の分類から，辺の長さを視点に分けられていたことを明らかにし，三角形の集合においても，辺の長さに着目すれば，分類することができるであろうと推測させる学習の場を取り入れ，類推的な考えのよさを味わわせることで，類推的な考え方を伸ばすことができる。さらに，正方形という名前から，正三角形という用語を類推させたり，正五角形や正六角形の名称を発展的に考えさせたりすることで，より一層の類推的な考え方を伸ばすことができ，こうした学習を進めることで数学的な考え方を身につけなくてはならない。
○ 帰納的な考え
三角形を描くことを通して，三角形の学年を一層身につけることも大切な学習内容である。ここでは，とかく教師の指導により，三角形を描くことが重視されがちとなる。確かに三角形を描く技能は大切である。しかし，ここでもアイディアが重要なのである。この作図の指導においては，既習の円の学習で行った｢宝探し｣の学習を想起させ，三角形を描くときには，宝探しの仕方を用いれば簡単に作図することができることを，帰納的に推測させる学習場面が大切となる。学習内容が点から線となる学習場面を設定し，既習の学習内容と活用すれば未習の内容も，自らが創造することができるといった充実感を味わわせ，帰納的な考え方を伸ばすことが大切となる。また，正三角形や二等辺三角形の性質を考える学習場面では，３つの角の大きさが等しいことや２つの角の大きさが等しいことを図形を折るなどの算数的な活動を取り入れて，機能的に類推していく学習が必要となる。この学習においても，たった一つの図形を操作する学習から，２つ，3つの図形を操作する活動に広げ，その集合の中でどれにもいえる決まりとして，性質を導き出す学習が大切である。帰納的な考え方を伸ばす指導においては，多様なものの中からその内包を発見すること学習は欠かせない。こうした見方･考え方を育てる学習展開を工夫することで，帰納的な考え方を伸ばすことが重要である。
○
演繹的な考え
三角形の分類を通して，三角形の名前や性質を理解することが大切なねらいである。しかし，類推的な考え方を用いて分類し，その名前を考えただけでは確かな概念は定着しない。分類後の学習が大切となる。この学習では，正三角形や二等辺三角形の定義に即して，新たな三角形を仲間分けすることが大切となる。このとき，その根拠を明確に言葉で捉えさせることで，学習内容がより深く身に付く。こうした学習は演繹的な考え方を伸ばすことにつながる。同じように角の概念の指導においても，角の定義を直角定規を用いて考えた後に，角であるものと角でないものを根拠を明らかにして分類する学習も大切である。ある根拠をもとにして，新たな課題がその根拠にあてはまるか否かを考えさせる学習を展開することで，演繹的な考え方を伸ばすことができる。
２ 考え方を伸ばす指導のポイント
○
導入における教材の工夫
分類する三角形を子ども達自らが作る学習の場は，導入段階では大切である。与えられた三角形を分けるといった学習ではなく，自らが作った三角形を分けることで，学習意欲も高まるし，三角形に対する興味関心を高め，三角形の概念を深めることにもつながる。
三角形の作成の仕方は，多様に考えられる。
・ ジオボードを用いて（垂直ジオ・ななめジオ）
・ 3種類以上の違った長さの色のついたストローやひごを用いて
・ 一本のストローやひごを折ることを通して（3種類の長さのひご）
・ 円周の１２の点と中心点，あわせて13個を用いて
これらの作成の仕方については，それぞれの長所・短所があげられる。とくに色分けされたストローやひごを用いての作成は，作成しにくいことや色分けされていることが意図的であることなど，課題も多いと考える。今回は，円を用いて三角形を作成することにした。その長所と短所は次のようである。
長所
・ 作成が簡単で，点を3本の直線でむすぶ活動でできる。
・ 長さの視点がはじめから示されていないので，次時の課題が新鮮である。
・ 円の中にいくつの三角形ができるか，興味関心を高めながらの学習が展開できる。
・ 円と正多角形の学習などに発展する活動である。
・ 正三角形，二等辺三角形，不等辺三角形，直角三角形，鋭角三角形など，一人一人が多様な三角形を描く
ことができ，作成を通して三角形の概念を深めることができる。
・ 作る過程で，合同な図形についての素地的な指導を行うことができ，図形の概念を深める学習ができる。
・ 点を直線で結ぶ活動で，頂点や辺の概念を一層深めることができる。
・ 円を使うことで，既習の円の概念を深め，半径や中心，直径などの用語や円の性質を深めることができる。
・ 円の中に三角形を描くことから，三角形をまわしたり裏返したりする活動がしやすく，三角形を固定的にとられることが少ない。
短所
・ 正三角形の数が，2つしかなく，分類後の弁別の指導では，新たな正三角形を準備する必要がある。
・ 作成段階では，辺の長さに着目させることができないため，分類する学習段階では，分類する視点などに気づかせる学習が必要となる。
こうした長所･短所を十分ふまえながら，学習展開を行うことで，本時ばかりでなく次時からの学習において数学的な考え方を伸ばす学習を行うことができると考える。
○
三角形の仲間分けの場の工夫
前時の作った三角形と教師が準備した四角形をまじえた１４この図形の仲間作りの学習から，学習を行うようにする。まずは，三角形と四角形に類別し，その後四角形の集合について，さらに類別する学習を取り入れる。ここでは，既習であるので，正方形，長方形，その他の四角形を類別させ，これらの仲間つくりが，辺の長さに目をつけて行われていることに，児童自らがあらためて気づくことができる活動とする。こうしてあらためて気づいた視点により，三角形はどのように仲間を作るか，自らが考える場を設定するのである。四角形と三角形を比較して捉えることにより，四角形の集合で成り立った仲間分けが，三角形でも使うことができないだろうかと，類推する考え方を身につけることができる。
また，できた仲間に名前をつけることを取り入れる。三角形の名前を指導内容であると言った見方もあるが，子ども達に四角形の名前から類推させることは，類推的な考え方を伸ばすためには重要である。子どもたちは，正方形や真四角から類推して，正三角形や真三角などの名前を考えることが予測される。類推を取り入れることより，沢山の学習内容を覚えこむ知識偏重の学習から，考え方を重視した学習へと転換できるはずである。
さらに，正方形，正三角形から発展させて，正五角形や正六角形の名前を考えさせる学習を取り入れ，より一層類推的な考え方を伸ばすようにしたいと考える。
仲間作りを終え，その内包を明らかにした後に，新たな図形の弁別を行う学習を取り入れるようにする。この活動では，弁別したわけを明確にする必要がある。三角形の定義を根拠にして，新たな図形の弁別を行いことにより，演繹的な考え方を伸ばすことができる。物事の判断を行う学習の場を取り入れることは，論理的な思考力を高めることに重要であり，特に演繹的な考え方を伸ばすことになる。
○
三角形を描く指導の工夫
児童は4年生の既習事項として「円と球」といった単元で，コンパスを用いた円のかき方等の学習を行っている。この学習で，コンパスの役割として，円を描く事だけでなく，線分の長さを調べたり，二つの点から４ｃｍ離れた点を見つけるなどの宝探しの学習をしたりなど，コンパスの活用に慣れてきている。三角形を描く学習においては，この宝探しの学習を既習事項として扱うことが大切である。
宝探しでは，2点が決まっていることから，条件にあったもう一つの点を探し出すことになる。三角形を描く学習においては，描き方の手順を教え込むのではなく，三角形の一辺を描き，その後もう一点を見つけることで三角形を作図することができることなど，宝探しとの類似性を見つける学習の場を設定することが重要な類推的な学習の場となる。こうすることで，三角形の作図方法を子ども自らが類推し，既習事項を生かして創造的に学習を進めることができるとともに，覚える学習ではなく，いつでも発展できる学習とすることができる。
○
正三角形・二等辺三角形の性質を見つける指導の工夫
三角形を折ったり，切ったり，重ねたりして，三角形の性質を多様に見つけ出す学習を進めることが大切である。教科書では，主として角の大きさに目を向けた指導を行っているが，性質として大切なことは角の大きさだけではない。実際に算数的な活動を行う場合には，正三角形だけを扱うのではなく，二等辺三角形や不等辺三角形も扱うことで，比較できるようにし，性質がより明確になるようにしたい。また，一つの正三角形だけを扱って一般化してしまうのではなく，多数の正三角形を扱ったり，子ども達一人一人に違う正三角形を扱うようにさせたりなど，どの正三角形でもいえることを捉えることができるようにする必要がある。こうした集合化して捉えることが帰納的な学習を支えることになるし，正三角形と他の三角形を比較することにより，一層概念を明確に捉えることができると考えられる。
子ども達が自由に発見する活動を行うことにより，つぎのような多様な性質を見つけ出すことが可能となる。（正三角形を例として）
・ 折るとピッタリ重なる折り方が３つある。 ・折った線に沿って切ると，全く同じ形の
直角三角形ができる。
・ 折った三つの線は，真中で交わっている。 ・折って重なるということから三角形の三つ（重心，内心，外心等の発見） の角の大きさはすべて等しい。
・ 正三角形の中に，正三角形ができる。
３ 考え方を伸ばす授業の展開
〔第２時〕
４ 図形領域と数学的な考え方
図形領域の学習においては，視覚的に捉えることが出来る面から，子ども達の思考も容易となる。思考を容易にするには，子ども達自らが図形を手にしてふれること，十分に吟味することが出来る場を設定することが必要となるが，子ども達が思考を深め，子ども達なりの根拠をもって思考することを大切に扱いたい。
また，その思考した結果を子ども達同士で交流しあう場を大切にし，論理的な思考力を一層高めあえるようにすることも重要である。
図形領域を言うと，それだけを扱って学習を終えることがないようにしたいものである。例えば，正三角形の中に正三角形がいくつ出来るかを考えていくと，線を入れなければ1つ，三本の線で４つ，六本の線で９つ･･･。と考えていくと，１，４，９，１６，･･･となり，これはある数の二乗である。こうした発展的な学習も取り入れることで，単なる図形の学習といった思いから，数につながる学習へとつなげることも可能となり，子ども達の興味・関心を高めることができる。
また，三本の線で区切った４つの正三角形を立体にすると正四面体となる。立体の学習へと発展することもできる。
図形を折って，図形の考察を行うことはとても楽しく，発見することも多い。正三角で発見したことをもとに，では，「その発見が二等辺三角形でも同じようにできるか」といった課題で，二等辺三角形の性質を発見する学習へと発展させると，一層類推的な学習を進めることができ，また，それが成り立つ根拠を示すことにより，演繹的な考え方や事実を示して集合化して結論を求めることにより，帰納的な考え方も身につけることができる。ちなみに，二等辺三角形を三本の線で４つの二等辺三角形にわけることができ，それを組み立てると四面体ができるのである。正三角形で成り立ったのだから･･･。というアイディアが有効である。