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立体モアレ７

１．設計

　今回はレンチキュラーレンズの使用を前提とします。d を一定にして、w を変えることで奥行き D を変えると、D に比例して λ も変化することは立体モアレ５で説明しました。ここでは敢えてこの原則に逆らい、d と λ を固定し、D の異なる立体モアレを作ることを試みます。

　作成する立体モアレのイメージを図７−１に示します。上三つのモアレは奥に、下三つは手前に飛び出した位置にあり、その間に奥行きの無い2Dの縞模様を描きますが、これら７本の縞の周期は全て等しくします。

　

図７−１　作成する立体モアレ
　Imageに描く格子の設計値を表７−１に示します。w の値を立体モアレ２の表２−１と比較すると、M₂ と M₅ は1/2、M₁ と M₆ は1/3になっていることが分かります。

表７−１　設計値(mm)
p ＝ 0.8467 (30 lpi)

	λ	w	D
M1	12.7	0.2761	45d
M2		0.4097	30d
M3		0.7938	15d
2D	12.7		0
M4	-12.7	0.9071	-15d
M5		0.4379	-30d
M6		0.2886	-45d

２，実験

　作成した Image のパターンは以下からダウンロードできます。これを600 dpiの画像として印刷するのですが、ピッチが0.3mm以下の細かい格子を含むので、できるだけ高解像度のプリンタを使いたいところです。

Image, file name = "hh.gif"

　ここではキヤノンのMP960を使い、最高グレードの光沢紙に印刷しました。普通の光沢紙やスーパーファイン紙でも十分使えますが、質はそれなりになります。印刷したものにレンチキュラーレンズ（ピッチ30 lpi，厚さ1.35 mm，屈折率1.58）を重ねたものを写真７−１に示します。奥行きの絶対値が大きいモアレ縞はやや不鮮明になりますが、設計通りのモアレパターンを生じていることが確認できます。

　

写真７−１　レンチキュラーレンズで表示した立体モアレ
　写真では分かりませんが、実物を見ると奥行きも設計通りになっていることを確認できます。

　比較のために、Grid A に立体モアレ２のA＝50% と、立体モアレ３のA＝20% を使って表示する実験も行いました。Imageを600 dpiの画像としてOHPシートに印刷し、ライトボックスの上にまずImageを置き、厚さ4mmの透明なアクリル板を重ねた上にGrid Aを置いて立体モアレを表示し、観察したものを写真７−２に示します。

A ＝ 50%	A ＝ 20%

写真７−２　Grid Aの開口率を変えた立体モアレ
　A ＝ 50%で満足に見えるのはM₃ と M₄ だけですが、A ＝ 20%ではレンチキュラーレンズほどシャープではありませんが全てのモアレが確認できています。

　以上の結果は、M₂ と M₅ は2w 、M₁ と M₆ は3w を一周期と考え、立体モアレ３で説明した像投影の原理を使えば説明することができます。それではこれをモアレ干渉によって説明するとどうなるでしょうか。

３，モアレ干渉

　まず干渉によってモアレ縞ができる原理を説明します。今Grid A とGrid B (ここではImage)の透過率 T_A ，T_B を下式のようにサイン関数で表すものとします。ここでは簡単のため位相の項を0として省略します。

　

　Grid A とGrid B を重ねた時の透過率は T_A と T_B の積になりますから

　

　となり、下線を引いた最後の項が干渉を表す項となります。三角関数の積和公式を使うと、以下のように波長 λ の項が現れます。

　

　ここでは立体モアレ１の式(a)を変形した下式(a')と、三角関数の公式cosθ＝cos(-θ)を使っています。上式の第2項はピッチが細かく視認し難いのに対し、第1項は大きな波長 λ で変化して目立つため、これがモアレ縞として視認されるわけです。

　

　この原理によって現れるモアレ縞の波長 λ は常に式(a)で決まりますから、表７−１の設計値( w )を代入して λ を計算すると表７−２のようになり、M₃ と M₄ 以外は±12.7 mmになりません。ではどう説明するのでしょうか？

表７−２　式(a)で計算したλ(mm)

	M1	M2	M3	M4	M5	M6
λ	0.41	0.79	12.7	-12.7	0.91	0.44

　写真７−２で使用した Grid A の透過率 T_A を図７−２に示します。実際の T_A は矩形波で、単純なサイン関数ではありません。このような周期関数は下式のようなサイン関数の和、フーリエ級数で表すことができます。

　

図７−２　透過率 T_A のグラフ

　

フーリエ級数で表した透過関数
　ここで係数 a_n の付いた各項はピッチ p／n のサイン波を表していることに注意してください。

　先の説明では、この第2項までを使っていましたが、実際には全ての項を考慮しなければなりません。実はM₂ と M₅ は第3項によって、2w 、M₁ と M₆ は第4項によって λ ＝±12.7 mmのモアレ縞を作っているのです。

　すなわち第3項はピッチ p／2 のサイン波なので、式(a)の p を p／2 で置き換え、M₂ と M₅ の w (表７−１)を代入すれば λ ＝±12.7 mmとなり、第3項ではピッチ p／3 なので、式(a)の p を p／3 で置き換えて、M₁ と M₆ の w (表７−１)を代入すれば λ ＝±12.7 mmとなるのです。 D についても立体モアレ１の式(b)を使ってどうなるか確かめて見てください。

　このとき問題になるのは係数 a_n の大きさです。一般にnが大きいほど小さくなるため、高次のモアレ縞は弱くなります。そこで図７−２の T_A について3次の項まで係数 a_n を調べてみました。これを表７−３に示します。なおフーリエ変換の計算にはExcelを使いましたが、数値計算に伴う若干の誤差はお許し下さい。

表７−３　フーリエ級数に展開した3次までの係数

	a 0	a 1	a 2	a 3	a 1/a 0	a 2/a 0	a 3/a 0
A ＝50%	0.50	0.64	0	0.21	1.27	0	0.42
A ＝20%	0.20	0.37	0.30	0.20	1.87	1.52	1.02

　ここで a₀ は平均の透過率、すなわち全体的な明るさを表しますから、モアレ縞の強さ(コントラスト)はこれを基準にした各項の大きさ、つまり a_n ／ a₀ によって決まると考えて良いでしょう。これも合わせて表７−３に記載しましたが、 a_n ／ a₀ の大きさを見ると A ＝20%の a₁ ／ a₀ ， a₂ ／ a₀ ，A ＝50%の a₁ ／ a₀ ，A ＝20%の a₃ ／ a₀ の順になっています。それぞれは A ＝20%の M₃ と M₄ ， M₂ と M₅ ，A ＝50%の M₃ と M₄ ，A ＝20%の M₁ と M₆ に対応していますが、写真７−２を見ると見事にモアレ縞の強さがこの順に一致していて、この推論が妥当であるとわかります。

　なお A ＝50%の a₂ は0であるため、M₂ と M₅ は全く見えないはずですが、写真７−２では僅かながらぼんやりと見えているようです。これは推測ですが、インクジェットプリンタでOHPシートに印刷する際、インクのにじみによって僅かに遮光部の幅が広がり、逆に透過部が狭まって若干の非対称性を生じているのではないかと思います。この種の歪みは2次の項 a₂ を発生させるので、そうであれば M₂ と M₅ が僅かに見えたとしても不思議ではありません。

　ではレンチキュラーレンズの場合にはどうなんでしょうか。レンチキュラーレンズではレンズの集光作用により透過率 T_A は鋭いピークを作り、図７−３のようになります。ピークの幅や形状はレンズの収差によって異なりますが、図７−２とは比較にならないほど幅の狭いピークなることは間違いありません。このような T_A をフーリエ変換すると、 a₀ ≪ a₁ 〜 a₂ 〜 a₃ ・・・と高次の項まで弱まることなく残ります。その結果写真７−１のように全てのモアレ縞が明確に見える訳です。

　

図７−３　レンチキュラーレンズの T_A
　いまいち自信のない説明でしたが、たぶんそう間違ってはいないと思います。

４，横波

　濃淡の変化をグラフのように視認できるのが横波を使うメリットだと思います。ここでも図７−１の立体モアレを横波にして見ました。作成した Image のパターンは以下からダウンロードできます。

Image, file name = "hht.gif"

　先ほどと同じ条件で印刷し、レンチキュラーレンズを重ねたものを写真７−３に示します。全てのモアレがはっきり視認でき、奥行きも設計通りになっています。

　

写真７−３　レンチキュラーレンズで表示した横波の立体モアレ
　さらにGrid A に立体モアレ２のA＝50% と、立体モアレ３のA＝20% を使って表示した結果を写真７−４に示します。印刷と表示条件は写真７−２と同じです。

A ＝ 50%	A ＝ 20%

写真７−４　Grid Aの開口率を変えた横波の立体モアレ
　これらを見ると単に明瞭か否かだけではなく、手段や条件によって像の崩れ方にそれぞれの特徴があることがよく分かります。

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