「数学概論」という授業科目は、小学校の教員免許を希望する ２年生を対象にして、小学校の算数を教えるにあたっての、数学 的背景を示すことを目的としている。 履修する学生の専門は、理科はいいとしても、社会、美術、英 語、障害児教育などさまざまで、大学に入ったんだからもう数学 とはめでたくおさらばしたつもりの学生も多い。そういう学生を 相手に、算数を教えることは実は難しいんだよ、君たちの教え方 ひとつで子供たちは算数が好きになるかも知れないし、嫌いにな るかも知れないんだよということを伝えようというのである。 内容は当然、初等的な話題に限られる。するとそんなことはも うとっくに知っているという学生が、そっぽを向く。全部の学生 を束ねて、しっかり聞いていないと自信のある学生も落ちこぼれ る、しかしちゃんと説明を聞いていればどんなにこれまで数学が 苦手だった学生もついて来られるということを、納得させるのが 最初の大仕事である。いったんこの信頼関係が出来てしまえば、 後はこちらのペースで何とかなる。 (1) まずは p 進法。p = 5, 4, 3, 2 について、1 から 40 くら いまで表を書いてもらう。右に 0 が１つつけば p の倍数、00 がつけ ば p^2 の倍数などと、規則を探す。さらに n = 8, 16 について表 を拡張する。それから 10 進数との関係、相互に変換する方法、と進む。 2 進法と 4 進法、 4 進法と 16進法の関係などに広げてゆく。 これで３週間かかる。 (2) さまざまな長方形の例から始める。正方形を取り除くと残りが元の 長方形と相似になるような長方形ということで、黄金比を登場 させる。正五角形の一辺と対角線の長さの比が黄金比になること。 (3) n 段の階段がある。１度に 2 段または 1 段登ることが出来る。 何通りの登り方があるか。という問題を考える。n = 6 までで、あらゆる 場合を書き出して樹形図にする。n = 10 までで、2 段を何回使うかで 場合わけして組み合わせの数を利用する。ある程度データがたまった ところで、登り方の数の漸化式をつくるとフィボナッチの数列に なる。フィボナッチの数列の隣り合う2項の比をつくると、この数列が 黄金比に収束する。その説明に、加比の理との類似を利用する。 (4) ５枚のカードを使って誕生日あてクイズ。２進法の応用。 (5) メートル法について。その歴史。長さ、面積、体積の単位の関係。 キロ、ヘクト、メガ、ギガや、センチ、ミリなど。記憶容量の単位。 生活実感の中での単位。 シラバスは以上の通りである。毎時間、最後の15分を、その時間に 理解できたこと、理解できなかったことのまとめをする。それを元に 次の時間に補足説明をする。 期末試験のほかに、半年の授業全体に関する感想文を書いてもらっ た。テーマは、 (1) 授業全体の感想 (2) 数学と数学教育についての 自分の考え とした。その感想文を以下に載せる。 数学をあきらめかけていたた学生が、もう一度考え直してみるかという 気になるところがほほえましい。 ============================================================ ０１Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- この数学概論の授業は今まで習ってきたことや、そうでない新しい考え方 を学んだ授業になりました。 Ｐ進法とフィボナッチの数列に関しては初めて習ったので理解するのにす ごく時間がかかりました。授業全体としては、もう少し生徒の発言や分か らないところを理解して欲しかったです。数学が得意な人も楽しめ、かつ 苦手な人もはっとした気付きが増えるような授業をしていくとなると難し いのかもしれないけれど、分からない人にも分かるような説明をもう少し 加えてほしかったのが本音です。 でも先生が何度も言っていた、「分かろうとすることが数学には大切」と いう言葉はグサっときました。分かりたいという気持ちはあるけれど、 しっかり理解できないと前には進めず、頭が固く理解がなかなかできない ところが、自分のいけないところだとしっかり認識できていたので、本当 にグサっときました。 でも、頭をやわらかくしていくと同時に、しっかり真剣に物事を考えてい くということも大事にこれからも問題に取り組んでいきたいと思います。 この授業は高校の時にしていた数学とはまた違った「概論」の世界を深く 知れた授業だったなと思います。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学とは自分で学んでいく学問であり、数学教育は、自分で分かったこと を、人に分かるようなかたちで教えていくことだと思います。自分が分か るようなノートをとっていても、その場では特に問題はないけれど、それ を他人に見せて教えるときに、他人にも分かるような形にしていくことも、 数学教育の非常に大切なことだと思います。 人間は、自分のノートが一番見やすいというけれど、でも、それが他人に とって見やすいとは決していえないはずです。 教育者にとっては、誰が見ても、誰が聞いても理解してもらえるような 環境作りが非常に大切になってくると思います。 私は、数学は嫌いではないけれど、数学概論と聞いて、面白そうだけれど、 少し不安を感じていました。なぜなら、今まで文字を使った公式を覚える ことが苦手で、具体例で覚えていくことが多く、概論というと、そういう 公式の意味を考えていく授業だろうなと思っていたからです。確かに簡単 な内容の授業ではなかったけれど、毎時間その授業で習ったことを自分の 言葉などで整理していき、分かったところと分からなかったところを整理 していくことができたので、自分の状況をしっかり把握することができた ところがすごく良かったと思います。 今までの数学は、ただ単に問題を解くだけで、それの意味についてはあま り考えなかったけれど、その意味にふれていくことが、時には必要である ことも分かり、それが時には数学教育に大切なのではないかなと思いまし た。 ０２Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 私がこの講義を通してまず思ったのは、先生がただ板書するだけではな く自分で考えることが多い講義だと思った。大抵、大学の講義というの は先生が一方的に喋って学生はノートを取るだけだ。しかしこの講義で は、学生自ら手を動かして考えることが多かった。 一番最初の授業でやったＰ進法では縦長の表に３進法や４進法を自分で 考えて書き込んでいった。ある程度、表が書き込んだら友達と答えを見 合わせていた。 パスカルの三角形では一個一個足していきながら、三角形を作っていっ た。 黄金比では正五角形をつくり、その中で相似な三角形を見出して黄金比 を出した。 ヒィボナッチの数列でも増えていく数に驚きながら、計算機を使い、答 えを出した。 このように、数学概論ではほとんど学生が主体的に活動し、何かを学ぶ 講義だったと思う。 私は文系ながら数学が好きだ。 高校でも文系だったが、英語より数学の点数のほうが良かったということ が多々あった。なぜなら数学は解いた後に快感を覚えるからだ。 例えば、難しい計算式があったとする。頭を必死で働かせて解き、答えを 見てマルだったときのあの快感が忘れられない。 そして「また次も頑張るぞ！」という気にさせてくれる。 この数学概論の講義でも難しい組み合わせや黄金比の答えを出して先生が 黒板に書いた答えと同じだった時には嬉しかった。また、最初は分からな くても、先生の解説や友達の話を聞いて「分からない→分かる」になった ときは嬉しい。 授業の最後にやった、自分の誕生日の日にちを当てるからくりを知ったと きには正直驚いた。しかも、この講義で学んだＰ進法と関係していると聞 くと更に驚く。 私はこの講義で数学に対する楽しさと面白さを改めて感じることが出来た。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 先ほども述べたが私は数学が好きだ。 しかし、数学が嫌いという人が特に高校の文系の中で多い。 それは、今の数学教育がしっかりしてないからだと考える。 私が高校３年の頃の数学の先生はあまり好きな先生ではなかった。 私たちは数学を機械的に教えられて、ひたすら問題を解いていたことが 多かった。先生の板書をひたすらノートに取っていた。 私のクラスは文系なので当然数学の嫌いな人が多かった。 しかし、その先生は、レベルが私たちに明らかにあっていない問題を出 すこともあった。 また、受験生ということもあり、受験に必要な知識のみを教えていた。 そのため、数学が嫌いな人は更に数学が嫌いになっていった。 数学の受験指導とよくいうが、受験数学は数学の好き嫌いを生んでし まう。特に高校の数学教育は、受験のための勉強のイメージが強い。 確かに、受験数学をすることによって自分で解く力がつく。 だがその前に、数学を楽しむといったものや数学に関する意欲や関心 が一番だと思う。受験数学は二の次だと思う。 今よく言われてるのは、通知表の絶対評価である。 絶対評価ではまず「児童・生徒のその教科に対する意欲・歓心・態度」 が通知表の一番最初に書かれている。 それほど、教科への意欲・関心・態度が重要だということが伺える。 ただ問題を解くのではなく、数学概論の講義で学んだ「楽しく考える 数学」こそ現在の数学教育を打破する一つの策だと思う。 まずは、「数学＝難しい」という気持ちを生徒が捨て、数学教師が魅 力ある授業をし、生徒を振り向かせることが大切だ。 そのためにもこれからの数学教育は教師の力量が問われてくるだろう。 ０３ ----- 授業全体の感想 ----- 今回この数学概論を受けて，私にとっては大変役に立ったと思います。なぜなら， 多少難しいところはあったものの，公式のできかたや，公式の意味を始めとして，小 〜高校で学び覚えた公式を始めから理解することができたからです。また，小学校の 教師になったときに例えばヘクタールやリットル，グラムなど児童に教えるときに私 たちはその意味を完璧に理解しておく必要があると思います。そういった意味では今 回のこの数学概論は大変役に立つものでした。 講義そのものについてですが，私は毎回授業の最後にするレポートの作成はよかっ たと思います。レポートを作成することで自分がわからなっかたところ，興味を持て たところ，，，，，の様にまとめ，次へのステップとしてつなげることができたから です。また，授業自体もなかなか興味あることや，今まで知らなかったことなどがで てきて面白く授業をうけることができました。 最後に私の思ったことですが，私たちは将来教師を目指している人がほとんどで す。ということは，将来教える立場になるわけです。そのためには，数学を理解する ことは重要です。その意味で今回の講義は良かったと思います。もうひとつ，私たち はうまく教えるためのスキルをみにつけなければなりません。そこでの授業計画など は他の講義であると思いますが，今回の講義でもっとみんなとディベートする時間が 欲しかったです。ディベートをすることで，新たな発見や，理解不充分だったところ の理解ができるのではないでしょうか。その意味で私はそのような時間が少し欲し かったように思います。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は得意な人と苦手な人の両極端に別れる科目のように感じます。というのは， 理論づけて式をたてていくことや，公式を覚える，覚えた公式を応用するなど様々な とっつきにくい部分をもっているからだと思います。わたしも数学は高校まで大嫌い な教科でした。なぜなら，公式が多すぎて覚えれないし，公式を発展させた問題など 私にとっては頭の痛くなるものだったからです。しかし，一年間の浪人生活の中で， 少し数学について正面から向き合う時間が持てました。そこで，公式がどうしてでき たのかや，問題になれていくうちに数学が苦手，というよりは嫌いではなくなってい きました。 この経験で私が思ったのは，数学は公式の出来方をまずはわかること。教える側は どうしてこのような公式ができあがるのかを教えることで少しでも理解を助け，苦手 という意識をなくすことができるのではないでしょうか。そして，もう一つは，具体 的に考えることです。例えば「加比の理」で示すと，「Ａ／Ｂ＝Ｃ／ＤならばＡ／Ｂ ＝Ｃ／Ｄ＝Ａ+Ｃ/Ｂ+Ｄである」というものですが，これは文字で見ると難しく感じ る人もおおくいます。友達もこれで困っていましたが，具体的に，例えば２/１＝４/ ２ならば，もちろん２+４/１+２となって答えは同じになります。これを説明したの ちに再び「Ａ／Ｂ＝Ｃ／ＤならばＡ／Ｂ＝Ｃ／Ｄ＝Ａ+Ｃ/Ｂ+Ｄである」という公式 を教えれば簡単に理解できると思います。つまり，数学教育においては抽象的な公式 をいかに具体的に示すことができるかが重要だと思います。 また，好きな数学をいかに更に好きにさせるか，嫌いな数学をいかに好きにさせる かをこれからまだまだ考えていかなくてはならないと思います。 ０４Ｓ 私は、この講義を通して、数学の奥深さを知るとともに、同時にそれを教え・伝 えることの難しさも分かったような気がします。私は高校時代、理系のクラスに 所属していて、数学は得意分野の一つでした。と言っても、数学に夢中になった といった感じはこれまでなく、ただテストでの得点源だったという程度です。必 要最低限の公式を覚え、聞かれれば簡単な証明もできるといった具合でした。 今はそのわずかな蓄えをもとに塾で数学を教えています。そんな私も、先生が授 業でおっしゃったように、きちんとした理由も知らず、ただ公式を暗記し、そ の結果、受験が終わるとせっかく覚えたものの大半を忘れていってしまうという 人たちの一人ではないかと思います。木を見て森を見ずといった感じでしょうか。 その本質を知らずして、うわべだけの公式にまどわされ、結果その公式さえも思 い出せない状況におちいる。この講義では、自分がおかれているこのような状況 を客観的にとらえることができ、またこの本質たるものの教え・伝えることの難 しさを学びました。現に私自身この本質たるものに気付かず大学まであがってき たのだから、私の歩んできたこれまでの教育課程では、すくなくともそれが伝え られていない、教えきれていないということになります。もし私が高校までに、 この本質たるものに気付かせてくれる先生出逢っていたならば、おそらく社会で はなく、数学の道にすすんでいただろうと思います。事実この講義を受けてそう いう気持ちにかられたからです。これまで私が学んできたものが、それまでばら ばらのパーツとして存在していたのが、根元で結びつき、やっと意味のあるもの になったかなという感じです。しかし、まだまだパーツは点在しています。これ からは、先生にヒントをいただいたのだから、自力でこれらのパーツをかきあつ め、意味のあるかたちへとむすびつけていけたらなと思います。そして、実践と して塾の生徒にこれを伝えられたらなとも思います。私にとってこの講義は有意 義なものとなりました。どうもありがとうございました。 ０５Ｂ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論の授業を受けての感想を順を追って考えてみる。 まず１番最初に思い出されるのはP進法である。実は私は前期に数学概論を受け、P 進法が一番納得のできた単元であった。いままで私が知っていたのは１０進法と２進 法のみで、あとのものに関してまったく知らず、特に１６進法に関しては数字以外で 文字まで出てくるのには驚きであった。現在、われわれになじみの深いのは当然１０ 進法である。したがって、P進法である数を考える場合、数字をP個しか使ってはいけ なくて、最初は繰り上がるところに困惑した。しかしそれにも次第に慣れてきて、P 進法の具体的な計算方法も納得いくようになってきた。考えてみると、１０進法が定 着している現在では、数は０から９までの１０個がすべてであるという考えがあまり にも定着しすぎているように思う。当然といえば当然なのだが、それゆえにどうして ９の次が１０になるのかという数の繰り上がりの仕組みを理解していない、またして いないことはなくても９の次は１０というように一種の暗記のように数を認知してい る人が少なからずいると思う。少なくとも自分はそうであったということに、この授 業を通して感じた。 に印象が強かったのはなんといっても黄金比である。いったい何の比でどういうと きに出てくるのかということは正直いまだによく分からないとこがある。そもそもど うして黄金であるのかということが私の中での謎である。しかし、最初は「これは何 の比なのか？」という疑問に自分の中で納得のいく答えを得るまでは次へ進みたくな かったが、最後はこれはこういうものであると自分の中で定義しそのつもりで授業を 聞くと、不思議とその内容が聞きやすく、分かった気になった。なぜなのだろう？ど うしてそうなるのか？などという疑問はどの教科にも必ずあると思う。そのような疑 問が問題解決の糸口になることもあるが、数学に関して言えば公式や解き方を丸暗記 するまではいかないにしても、教えられたことを素直に自分の物とし、応用するとい うことが大切なのではないかと思う。そうしなければ、分からないという意識はいつ しができないという苦手意識に変わってしまう可能性を大いに秘めているからであ る。理解できない問題をいかに自分のものにできるかどうかが、数学に対して得意意 識をもてるか、または苦手意識を持ってしまうかの分岐点であると感じた。 して最後にフィボナッチの数列であるが、漸化式を導くために地味に数を計算して いったのが印象的だった。思い出してみると、高校のころは漸化式を考えるときにひ とつずつ計算していくことはしなかったが、今回ひとつずつ計算していことで１から やったという充実感があった。数をある法則に基づいて計算していくとその結果でた 答えがまたなにかしらの法則になっており、それが発見できたときは、うれしく公式 をそのまま教えられるよりも頭に残り印象深かった。どんな公式でも自分で導くこと はそれだけの苦労をともなっており、自分の物になりやすいということであると思 う。ただし、フィボナッチの数列を学習した際に重要であった順列と組み合わせであ るが、もうすっかり忘れていて、思い出すのに時間がかかった。高校のころは順列と 組み合わせが得意であっただが、やはり苦労して覚えたものでも使わないと忘れてし まうなと改めて感じた。しかし、いったん覚えたことは１から学習するよりはるかに 少ない時間で理解することができる。そう考えると、いずれ忘れてしまうからといっ ても、一回覚えるという作業は決して無駄ではないと感じる。 今回数学概論の授業を受けて、すこしではあるが数学の根本に触れた気がする。数 の計算であったり、公式を自分で導く方法であるなど、公式などは本来暗記という意 識があった私には、当たり前のことではあるが改めて感心させられた。そういった意 味では新たな発見といった感じであった。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 小学校のころはどうであったか忘れたが、高校レベル数学は暗記科目であると教え られてきた。公式を覚え、とき方を覚え、問題パターンを覚え、確かに暗記が中心で あった。しかし、今考えるのはこの考え方は小学校の算数に関しても、絶対的とは思 わないが、かなり関係はあると思う。暗記というとｌいまだに言われている詰め込み 教育などを連想させるが、そのような一方的に教えるということではない。考えてみ ると、数は自然の原理でもないければ語句でもない。今回学習した‘フィボナッチの 数列’のよう誰かが数に関係した法則をつくり、我々はそれを学習するという感覚で あるが、したがって計算式や図形のなかには当然その原理を理解できずに「どうして そうなるの？」というものもでてくるだろう。目にみえるものではないのでとらえ難 いというものそのような原因のひとつであるのではないかと思うが、数学は「どうし て？」とい疑問にぶつかったとき、その原理のすべてを教え、子どもにすべてを納得 させ理解を得ようというのは、到底無理であると感じる。私は今家庭教師をしている が、数学の問題を解いているときに子どもに「どうしてマイナスとマイナスをかけた らプラスになるのか？」ということを聞かれたことがある。その質問に関して私自身は そうなるものであるととらえて問題を解いてきたが、そのこと自体に納得がいかない 子どももいるのであるということである。これはほんの一部の例であるが、子どもひ とりひとりで疑問に思う箇所は違うだろうし、逆にどうしてそこを疑問に思うのか？ というようなものもでてくるであろう。したがって、このような子どもに対して、解き 方というよりもいかにその教えようとすることの根本にあるものに疑問を持たせずに受け入 れさせるかが重要になってくるのである。そのためには、小学校のころの比較的小 さいころに、数や算数に関する原理を感覚的につかみ、数の領域として子どもたち の頭の中に確立させておく必要があると感じる。目には見えない数というもの事態 に疑問を持たずに次のステップに進めるように、子どもたちが認識しやすいように 日常生活とかかわりを持たせながら進めていくのがよいであろう。 数学は苦手意識を持っている人も多いだろう。些細な「どうして？」の疑問が‘分 からない’になりやがて‘苦手だ、できない’というよになりやすいのではないだろ うか。そして一度つまずいたら起き上がることが難しく、数学嫌いはますます強く なってしまいがちである。このような子どもを少しでも少なくするために、やはり一 番の基礎である小学校の段階の基礎をしっかりと固める必要があり、そしてその部分 が一番慎重かつ大切に行われるべき箇所であり、教育に関して一番難しいのではない かと感じる。 ０６Ｒ 数学概論の授業を受けて、中学校や高校で学んだことをより深く理解することが できました。 Ｐ進法は、今まで習ったことがなかったので、初めはよく分かりませんでした。 １６進法は、パソコンの処理などで利用されていることを知り、覚えておこうと 思いました。 黄金比は、すごく難しかったです。 フィボナッチの数列をしたときも、最終的には黄金比に関係していて驚きまし た。 黄金比は、いろんな場面で出てくるので覚えていたほうがいいと思いました。 順列・組み合わせを学んだときは、高校で学んだことを思い出しました。 高校のときとはちょっと違うやり方だったので、理解するのが難しかったです。 私は、中学や高校のとき数学が苦手でした。 それは、公式を覚えてもそれを応用することができなかったからです。 数学概論の講義を受けて、公式を忘れても自分で導けるようになることが大切 で、公式を導くためにはきちんと理解をしなければいけないなと思いました。 ０６Ｂ 私の数学に対する苦手意識は高校時代あたりから始まりました。次々と新たな 公式が出てきて私の頭は混乱するばかりで、だいぶ苦しまされたのを覚えていま す。高校までの数学の授業ではある程度数学の知識は身に付けたつもりでいたの ですが、公式やその意味についてはまだまだ知らないことばかりでした。 １６進法や黄金比は初めてだったため理解するのは困難でした。また、数列・組 み合わせの問題を解く際は、高校までとは違う考え方で解いたりしたので、これ までとは違った視点で考えることができました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- さらに、数学と数学教育に関して、問題を解いていく上で大切なことに気づく ことができました。それは問題を解いていく上でいきなり公式を与えるのではな く、どのようにして解き、答えを出していくかという過程が大事であって、自ら 考えて公式を導き出すという数学のやり方です。数学教育では、この考える力と ともに答えを導き出す力、また発想力が求められると私は考えました。そこで、 教師は子ども一人一人の考えに気づくこと、また考える力を引き出していくこと が重要な役目だと思います。 この数学概論を通して数学の深さを知り、また数学の楽しさに触れることがで きました。ありがとうございました。 ０７Ｒ 授業全体に関して、１つの分野ごとに時間をかけてやっていったので、公式の みを覚える表面だけの知識にとどまることなく、詳しく数学を理解することがで きたと思う。公式を導くために、共通点や比較できる部分を見つけて公式に近づ いていく方法や、さまざまな例を用いて、図形化したり、日常生活に関する情報 を数学に組み込んでいくことで、より子ども達が分かりやすい指導ができるとい うことを学んだ。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学という教科において、子ども達には必ず、理解しやすい分野と理解に苦し む分野とがあると考える。このような状況の中で、教師は子ども達の理解度や応 用力に随時目を向けながら指導にあたらなければならないと思った。量や数の大 きさなどは、子供たちに概念のみを教授するだけでは理解につながらないと思 う。子供たちの日常生活の中になじみのあるものを例に取りあげて掲示したり、 図形化したりして子供たちが実感として数を理解できるということが、数学教育 に必要なことだと思った。 このように、子供たちの身近なところと照らし合わせて数学を学ぶような授業 計画を立て、子供たちが興味を持って数学を学習できることで、今までの詰め込 み型教育に多い、公式のみの理解から脱却できると思う。そうすることで、自ら の頭の中で公式ができる過程を順序立てして考ていくことができ、その考え方を 発展させて応用問題にも対応できるような、やわらかいものの考え方ができるよ うになると思う。 この数学概論の講義を通して、数学という授業は、内容を具体化し、子供たち が実感として受け入れやすいものほど理解しやすくなるということを感じた。ま た、教育を行っていく上では、常に子供たちの目線で対応し、中身のある授業を 進めていく必要があることを学んだ。 ０９Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- この数学概論は、昔習ったことのある内容をまた思い出すことができたし、更 に新しい知識を得ることができたと思う。しかも、普通に問題が出て、それを解 くという形だけではなく、少し遊び心を加えたような授業もあって、私は、問題 を考えることによって新たな発見をしたり、驚きを覚えたりできた。 ただ、最初のほうの講義では、分からない人はいるかを聞いたり、前に出させ たりしてみんなで授業をしていたのに、後半になるにつれて、私たちの発言の場 が減り、先生が問題を出し、先生が解くといった一方通行の授業になっていたよ うな気がする。 いろいろな内容を学べ、また、驚きと新発見が得られたこの講義は、私にとっ ては意義のあるものであったと思う。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は、「積み重ねの科目」である。だから、一度苦手意識を感じた生徒に、 それを克服させるのは困難なことであると思う。そこで、そのまま授業を進めれ ば、その生徒はますますわからない内容が多くなっていき、最後には考えること を止めてしまうだろう。そうならないためにも、教師は、一人一人の生徒の習熟 度を知り、それに合った対応をしていかなければいけないと思う。また、ある程 度習熟度を認知したら、それに合わせたクラスを作って、２クラス合同の３クラ ス編成などの授業体系にしてもよいのではないかと思う。 また、数学というのは、答えは必ず１つであるが、それにたどり着くまでの考 え方は何パターンもある、という面白い教科である。ただ、解き方を教えるので は応用が利かず忘れやすいが、その道筋から丁寧に考えていけば、よりわかりや すくなるし、頭にも残っていると思う。数学は、答えを知るのも大切であるが、 その道を自分で見つける、その過程がより大切であると私は考える。 大事なことは、数学を「楽しい」「好きだ」「すごい！」と生徒が思えるよう な授業をしていくことであると思う。 ----- 授業全体の感想 ----- この講義を受けて、数学というものに久々触れることができた。この講義は、 ただ数学についての中身ばかりをして、教育学部の授業ではないと感じた。高校 までは数学は得意だったので、高校の自分だったら面白く感じたと思う。しかし 今は、教育という学問を面白く感じるようになった。だから今回の授業は面白い とは、面白いと感じなかった。教育学部の講義なら、数学の教え方を習得できる ような講義内容にしてほしい。二進法などは、知ってて損はしないが、今学習し なければいけないことではないと思う。数学科のみの授業でいいと思う。 講義の前半のほうは一方通行の授業ではなく、学生の意見を取り入れながらの 授業だったので、とてもいいと思った。来年はその授業の形態を前後半通してや ってほしい。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学という学問は、結果は1つなのに、その答えを導く過程はいくつもあると いうところが、数学の面白いところだと思う。物事の見方は1つではなく、いろ いろな見方ができるということを、数学を通して学習できればいいと思う。 数学というのは積み重ねの教科だ。数学を嫌いになるのは、その教師のせいだ と思う。中学校と高校で一人ずつ印象に残る先生にであった。その先生のおかげ で数学が得意になり、受験でも数学を二次試験で使えたのだと思う。この二人の 先生との出会いがなかったら、数学というものは、不得意で嫌いになっていたか もしれない。 教師との出会いというものは大事だ。だから印象に残る教師を目指したい。教 師に、正解はないということが数学とは違うところだ。数学でいうと、無限大だ と思う。無限大の教師になりたい。 １１Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- まず、Ｐ進数についてである。Ｐ進法とは、Ｐつの数字を使い数字を表すもの である。例えば、５進法とは、０，１，２，３，４、の５つの数字を用いて数字 を表す。 一般的に私たちがいつも使っているのは、１０進数である。Ｐ進数は、Ｐの倍数 には０が、Ｐ＾２の倍数には００が、Ｐ＾３の倍数には０００がつくという性質 がある。 Ｐ進数を１０進数になおす方法は、例えば、２３４１という５進数であれば、２ ×５＾３＋３×５＾２＋４×５＾１＋１×５＾０である。逆に、１０進数をＰ進 数になおすには、 なおしたい数字をＰでどんどん割ってゆき、割るたびごとに余りを書いてゆき、 最後０でしか割れないところまでくれば、その余りを下の方から順に書いたらよ い。 例えば、３進数から８進数などなおしたい場合は、一度１０進数になおしてすれ ばよい。 しかし、２進法と４進法、１６進法と４進法には関係があり、対応する数字さえ 覚えてしまえば、計算しなくてもすぐになおすことができる。 幾何学では、主に黄金比（Ｇｏｌｄｅｎ Ｒａｔｉｏｎ）について学習した。 黄金比とは不思議である。黄金比の長方形に正方形をつけるとまた黄金比の長方 形になる。 それから、黄金比ではない長方形に正方形をつけると、より黄金比に近づく。そ して大小関係が入れかわる。以下、正方形をつけ続けると、大小交互に黄金比に 近づく。 数学において、重要な公式の１つに、フィボナッチの数列がある。フィボナッ チの数列を使えば、階段を１歩で１段、または２段登るとき、何通りの登り方が あるかも求めることが できる。この授業のおかげで、高校や中学でやったことが思い出せたり、さらに 深く理解できたのでよかった。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 中学の先生が、「理数系は、客観的な考えをする。文系は、主観的な考えをす る。」とおっしゃっていた。私は、数学が苦手なとき、数学に手をつけるのもい やに思えていた。しかし、 数学は、分からないことが分かるようになったら嬉しいし、ただ単に公式丸暗記 よりも、意味が分かるほうが楽しいし、そういうことのつみ重ねで数学が楽しく 思えるようになったと思う。 数学をすることで、計算ができるようになるとか、すごいとかではなしに、私 は、ものの見方、考え方の広がりを知ることができるということに、意味がある と思う。こういう考え方もでき るんだとか、見方によってはこうにも見える、とか、そういうことは、生きてい くうえで大切なことだし、自分の考えを形成していく上で重要になってくること である。 数学は、基礎が大事である。よって、小学校の時の算数の学習は、大きく影響 すると思う。だからこそ、小学校の先生の責任には、計り知れないものがあると 思う。数学が楽しいと思って 授業もらえるができるか、数学なんて嫌いだと思われてしまうかで、まったくそ の後が変わってしまう。だから、「楽しい授業」というのは、とても重要なので ある。私は将来小学校の先生 になりたいと思っている。楽しい算数ができる先生になりたい。そして、楽しい だけではなく、わかる授業にしたいし、数学で学んだことが、のちのちの人生で 生きてくるような授業にした いと思う。 １２Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論では、P進法、図形、黄金比、フィボナッチの数列、パスカルの三角形、組 み合せ、単位、加比の理に学んだ。黄金比やフィボナッチの数列、2進法、10進法以 外のP進法は、今まで習ったことがなく、最初はよく理解できなかったが、何度か説 明を聞いているうちに少しずつわかっていった。理解していく上で、やっぱり数字 や、式だけでなく自分の言葉で説明することは大切なことだと思った。数学の問題は 解けるけど、説明ができないというのは本当に理解してないと感じた。 数学概論の授業を通して、自分の言葉で説明できるようになることが大事だというこ とを感じた。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 私は、数学は好きな教科だった。答えをある考え方に基づいて導き出すのは、面白い ことだと思う。考える過程もいくつかあるのでいろんな方向から考えていけるのも楽 しいと思う。数学は苦手という子どもたくさんいる。その子達に数学の楽しさを伝え ていくには、やっぱりわかりやすい授業が必要なのだと思う。できるだけやさしい簡 単な言葉で説明したり、図形なら、実際に図形を紙でつくったり、、、様々な工夫が 必要だと思った。数学は理科と違って身近なことに例えにくい。だからこそいろんな 工夫が必要だと思った。 今後、数学を理解していくときには、自分の言葉でうまく説明できるようにしていこ うと思った。また人に数学を教えるときにはいろんな工夫をしてみようと思う。 １３Ｒ 私は数学は中学の頃から好きで、得意な科目の１つだった。そのため、この講 義はとても楽しみにしていた。最初に取り組んだ「進法」は習ってはいたが理解 が曖昧で不安なスタートとなった。しかし、講義を聞きながら落ち着いて考えると すぐに理解することができ、さらには１６進法やＰ進数を１０進数になおす方法、 逆に１０進数をＰ進数になおす方法、４進数と１６進数の関係、進法を使って誕 生日を当てる表を作成することができるなど様々な知識を得ることができた。「図 形」や「フィボナッチ数列」の講義では黄金比というものを習ったが、この黄金比 についてはまだまだ理解不足の点がたくさんある。機会があれば是非勉強した いものだ。この講義を通していろいろな問題に取り組んだが、久々に数学を勉強 したせいか問題を解くのがとても楽しく、新しい知識も得ることができ、数学の楽 しさを再認識することができた。そして物事を上達するにはまずそれを楽しみ好き になることが重要であると感じた。教師になろうとしている私たちは、まず自分の 担当する教科を好きになりそれを正しい知識とともに子供たちに伝えていかなけ ればならない。私はそのことを最も感じた。この講義は私にとってとてもために なるものとなった。 １４Ｒ この半年の講義を通して、私は数学に対しての意識が少し変わったと思う。 私は中学校のときからずっと数学が苦手であり、嫌いであった。しかし、この 講義ではただ問題を解くのではなく、問題の根本的な意味や公式等の意味 をしっかり考えた上で問題を解いていくので、私にも理解がしやすかった。ま た、ゲーム感覚で考えたりしたので数学のおもしろさが少し理解できた。数 学が苦手という人は多いと思う。数字や記号が並び、なんとなく抽象的なイ メージがある。しかし、数学の答えは決まったひとつの答えがあり、その答 えにたどり着くまでもはっきりとした根拠と道筋がある。もっとも明快な教科 であると思う。私が数学が苦手だと感じていたのは、おそらく問題の意味な ど考えずに公式を覚えて解いていたからだと思う。数学を身に付けるにはそ の根底にある意味を理解し、おもしろさを感じることが大事であると思う。 １５Ｅ 初めに私は”数学”と聞いて、重い気持ちになった。でもこの授業の中でお もしろいと数学に対して思える時間があった。 P進法は、初め授業を聞いている時、何がなんだかよくわからなかった。表 にいっぱい数字を並べていってなにをしているんだろうと思った。けれど説 明を聞くうちに、数字同士に関係があることに気付き、１６進法から１０進 法にとか２進法から４進法になど解いていくのが楽しかった。また階段の 上り方が何通りあるかなど普通に考えたらすごい時間がかかるけどフィボ ナッチの数列を使うことによって短い時間で簡単にできることを知った。な どなど数学はいろいろな方向から見て考えて効率よくできる方法を導く。何 でも長い時間がかかれば難しいと感じるしやる気がなくなる。でも、それが 短い時間で簡単にできたらそれに喜びを感じるだろう。その喜びが数学の 楽しさまたは魅力ではないかと思う。 実際、中学校や高等学校で数学を学んでいた時「数学は受験のための学 問」とか「買い物で困らない程度の算数でよい」などと、できたら数学と縁を 切りたいという人が多かったし、自分もその中の一人だったと思う。そう多く の人が思うのは、今まで私が中学校や高等学校で受けてきた授業を振り 返ってみても、教科書の知識の伝達や、試験の点数をよくすることに終始し ていることが多かったからではないだろうか。しかし、数学は本来そういうも のであってはならないと思う。この複雑な世の中のしくみを知ってそれを有 効に活用していくことも数学の大切な役割なのではないかと思う。 今回、数学を学ぶ機会があったので自分で図書館に行って数学の本を手に してみた。すると、その本には「降水確率１０％は、シトシトで８０％はドシャぶ りか？」とか「一人が二人に、また一人が二人にうわさはどのように広まる か？」など興味を引くような題がたくさんあった。そして、読んでみるとその 内容はおもしろかった。改めて数学ってもっと広くて私たちの生活の身近に ありおもしろいものではないかと思った。それに、気付けるように数学を教育 する必要があると思う。どの教科でもそうだと思うが、その教科を好きになる か嫌いになるかというのは、その教科を教える教師によって大きく左右される と私は思う。いろいろな方向から”数学”というものを見せて、教えることがで きたら、よりいい数学教育ができるのではないかと思う。 １６Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 数学を学んだのは、１年半ぶりぐらいであった。問題を解く、考えて答えを 導くというのが、大変久しぶりで、始めは数学を受け入れられていない部分 があった。何か問題を出されても、自分で考えているようで、先生が解答す るのを待っている状態であった。しかし、何回か数学の講義を受けるうちに、 考える、答えを導き出すという過程が大変おもしろく感じるようになり、夢中 で考え、問題を解いていました。そして、授業の最後に自分なりに一日の 講義をまとめるというのは、大変大切な事であると感じました。頭の中を整 理できるし、自分がどこを理解してて、どこを理解していないかも明確にな るからである。また、まとめていくうちに、理解できる事もありました。また、 講義をうけていて、改めて数学という学問は、奥が深く、そしてだからこそ 大変おもしろいものであるということを実感しました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学という学問は、子どもたちの成長にとって、本当に大切なものであ り、欠かすことの出来ない学問であると、改めて実感しています。数学によ り、物事を考える力、物事を解決していく力、忍耐力など、様々な成長して いくために大切な力がついていくのだと思います。このような力というのは、 現代のこどもたちにとって、本当に大切な力であります。しかし、そのような 力をつけていくためには、ただ問題を解かせるだけでは、勿論だめなのです。 教師がどのように授業を工夫し組み立てていき、生徒が自然に、数学の魅 力、面白さに気付き、自ら問題を解決したい、もっとこの課題について考え てみたいとおもえる授業を行っていく必要があります。また、現代の子ども たちにとって、大切な事は、数学を好きになってもらう事が、根底には必要 であると考えています。子どもに、どうしたら数学をすきになってもらえるか というのは、教師しだいであると思います。 魅力的な授業をどのように組 み立てていくか、今後も継続して考えていきたいとおもいます。 ありがとうございました。 １７Ｅ 数学概論で学習したものは、今まで習ったことが無いようなものでした。私たちが 小中高の算数や数学で学んできたことは、数学の世界のほんの一部に過ぎないのだと 思いました。 私は最初、この講義に不安を感じていました。数学に苦手意識があったので、つい ていけるかなー…と思っていたからです。大量の問題を早く、かつ正確に解くのが本 当に苦手です。だから、センター試験でも苦しみました。しかし、小さい頃から、一 つの問題に時間をかけて、答えを突き詰めていくような数学は本当に好きでした。今 回の講義は後者のほうに近かったので、難しく感じながらも楽しく学習することが出 来ました。 この講義では、小中高で学習したさまざまな公式を用いたことが印象に残っていま す。忘れかけていた公式もあって、復習が必要だと感じたのですが、それと共に数学 は積み重ねだ、ということを強く感じました。これまで，小中高でしてきたことが あったからこそ、この講義を楽しく受けることが出来たのだと思います。私は個別指 導の塾でアルバイトをしているのですが、中学生を見ていて特にそう思います。一人 の子は、簡単な足し算引き算が速く、これまで学習してきた公式もよく頭に入ってい るので、新しいことを学んでもしっかり対応出来ます。そして目が生き生きしてい て、数学を楽しんでいるようです。一方ある子は、九九が危うく、これまで出てきた 公式もあまり頭に入っていません。基本的な問題は解けても、少しでも問題がひねっ てあると、すぐに解くのをやめてしまいます。個人差、個人の能力の違いがあると言 いますが、重要なのはどれだけ小中学生のうちに投げ出さずに、数学(算数)と向き 合って力を積み重ねてきたかだと思います。それは生徒だけでなく、教師にも責任が ある問題です。 数学に苦手意識を持つ生徒が多い今、数学教育の有り方を考え直さなければならな いと思います。淡々と数学の公式を教え、ひたすら解かせる授業では、生徒が興味を 持って取り組むことは出来ません。今回の講義のように、身近なものを例に出して、 数学を身近に感じてもらうなどの工夫が必要です。そして、生徒が、数学は面白い！ と思うような授業の工夫はもちろん、数学を決してあきらめる子がいないように、生 徒一人一人と向き合っていく熱意が必要だと思いました。 １８Ｇ 私は高校時代は文系でしたので、数学Vをやっていませんでした。 ですがこの講義は難しいことはあまりせず、 数学Vをやっていなくても取り組めるものでした。 黄金率という言葉もこの講義で始めて知ったのですが、 黄金率がどういうものなのか ・元の長方形から正方形を切り取ったものが元の長方形と相似 ・正五角形の1辺と対角線の比が黄金率 といったように例を出したりすることでよく分かりました。 が、どうにも説明が回りくどいというか、 何が言いたいのか分からないようなことが多々あり、 逆に理解が遅くなってしまうようなところもありました。 また公式についてはどうしても受験対策としての 勉強しかしていませんでしたので、ただ覚えるだけで それがどういう意味であるのかについてまでは考えていませんでした。 その公式が出るまでの計算の過程は習ったりしていたのですが、 それがどういう意味であるのかについては習っていませんでしたので、 講義の中での説明は大変ためになりました。 ただ、どうしても説明が上手くいっていないような気がしてなりません。 一学生の意見ではありますが、その学生の意見こそが大事なはずです。 出来ることなら私のこの意見を受け止め、次の講義へと活かしてください。 １９Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 初め、数学概論ということで高校のときのような数学の問題を解いてい く講義かなと思っていたのですが、問題を解くのではなく、問題の解き方に ついて、なぜこのようになるのかと言った理論的なものを考えていくような 内容でした。ただ問題を解いていくというようなやりかたでは、今までのよ うに機械的に公式を覚えてそれにあてはめていくことになり、なぜそうなる のか本当にその問題について理解したことにはならなかったと思います。 これまで受けてきた数学をもう一度考え直し、やり方を変えるいい機会に なったと思います。 ----- この講義を受ける前とあとでの違い ----- 上にも書きましたが、この講義を受けてみて、数学の一つ一つの問題 を本当に理解して解くという意味がわかりました。ただ単に公式を覚えて それに当てはめて解を求めると言うやり方では、その公式はどのようにし て導くことができるのか、あるいは、この公式はどのような役割をして、どの ようなことが分かるのかなどといったことを理解しないままになってしまい ます。これが我々が教わってきた数学です。しかし、理解してとくことを知り、 数学の面白さに少しずつ気がついた気がします。自分が将来生徒に数学を 教えることがあるならば、今回学んだことを生かして、理解することを第一に 考えながら教えていきたいと思います。 ２０Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 高校以来、久し振りに数学の計算や、公式について学びました。一番興味があ ったのは、フィボナッチの数列についてでした。数列は、高校のときはすごく苦 手でした。先生もあまり詳しく教えてはくれず、なかなか理解できませんでし た。久し振りに数列を見たときに、絶対解けないだろうな〜と思っており、本当 はいやでした。だけど、高校のときとは違ってすごく詳しく教えてくれました。 高校のときみたいに、受験がないためにあせる必要もなく、その部分だけをゆっ くり教えてくれるので、すごく分かりやすかったです。高校のときもこんな風 に、ゆっくり丁寧に教えてくれれば、私はもっと数学が好きになれていたと思い ます。 テストは出来ないだろううなと思っていましたが、自分なりには出来たと思い ます。でもひとつだけ問題をしっかり読まなかったのでまたがってしまいまし た。そのことがすごく心残りです。ちゃんと読んでいれば、解けたのにとても残 念です。 数学の授業はすごくわかりやすくてよかったです。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学を教えるのはすごく難しいと思います。なぜなら、一人一人にあわせるこ とが出来ないからです。すごく差が出る教科だと思います。理解が出来る子は出 来るけど、出来ない子は、まったくできないでしょう。 私は、今家庭教師をしていますが、数学を教えるのが一番困ります。私は、公 式や解き方が理解できているので、深く考えなくても分かるのですが、生徒にし てみたら「なぜこのようなときにこの公式を使うのかが分からない。」といいま す。公式の成り立ちを教えるのにすごく苦労します。そのために、数学の成績だ けが上がりません。本当に数学は難しいと思います。だから、中学校や高校で数 学を教えようとする人はすごいと思います。数学教育はすごく深いと思います。 分からない子にはしっかりと丁寧に指導しなければならないし、分かる子には、 さらに応用問題を解かせなければならない。そんなことをしていたら、すごくレ ベルの差ができると思います。 教育する人は生徒一人一人をよく理解しなければなりません。そして、その個 人に合った指導の方法を考えなければなりません。 ☆先生の授業は、わからないところもありましたが、でも、きちんと教えて くれたので、以前よりも分かるようになりました。前期の間だけでしたが、本当 にありがとうございました。 ２１Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 私は数学が苦手で、今までも成績が悪かったので、「数学概論」という講義タイトルを 聞いたとき、正直嫌だなぁと思った。概論というと何だかそれだけで難しそうだ、という イメージを持ってしまうのは私だけだろうか。今までは「私の脳は文系だから・・・」な んて自分自身で思うようにして逃げてきたけど、教師という立場になる人間がそれではい けないと思わせてくれた講義だった。いざ講義が始まってみると、数学の先生は堅物、な んていう私の先入観を吹き飛ばすような楽しくて、分かりやすい説明をして下さる先生だ った。内容も中学・高校で習ったものから、新しく習うことまで幅広く教えていただい た。途中でいくつかジェネレーションギャップを感じることもあったが、TAのサポートも あり、私にとって講義は有意義なものとなった。数学は特に個人の理解のレベルが大きく 開いてしまうことが多いので、TA制度の導入は効果的だったと思う。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 私は数学に特に注目してものを考えたりしたことがないので、数学に関してはかなり勉 強不足ではあるが、私なりの考えを述べたいと思う。ますなぜ多くの人が数学に苦手意識 を持っているかというと、それは小学生時代など学び始めの頃に原因があるのではないか と思う。大半の人は算数が初めから得意ではなく、問題を繰り返し繰り返し解いていくこ とで理解していく。しかしその初めの時期につまずき、投げ出してしまうと「出来ない、 解けない⇒苦手⇒嫌い」という方向に進みかねない。私も居残りなどをさせられた記憶が あり、当時は「何でこんなことしなくちゃいけないの？」と思っていた。そんな私のよう な子どものためにも、カードや立体模型などの道具を効果的に使って、子どもたちが失敗 しても、またチャレンジしようと思えるような環境を創っていくことが、数学嫌いに歯止 めをかける第一歩だと私は思う。 ２２Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- まずは、講義に対する感想から述べる。私は自分自身が文系ということもあ り、あまり数学に対して積極的に取り組めない感じがしていた。数学＝理解しに くい、わからない、面倒という方程式が私の中に確立されていた。しかしこの講 義で、数学教育がそうであってはいけないということ、実践に活かせると感じれ るものでなくてはならないことを学んだ。「分かる」ということが次のステップ に繋がるという体験もできた。講義では一つの単元にかける時間が長かったた め、理解して次に進めたと思う。しかし学習したことの多くは,既に今まで学ん できたものばかりだった。高校時代は特に数学に対して意欲的にはなれず、試験 前に公式を詰め込むという作業の連続くであったためにすっかり忘れてしまって いた。しかし、「嫌いだから」では済まされないものがあると思う。日本人に数 学嫌いが増えることが日本の技術の成長にも関わるはずだからだ。現にこの講義 で高校時代は理解せずにただ使っていたパスカルの三角形やP進法についても、 何度もやることで確実に理解度は増した。それに理解できれば「嫌い」にもなら ないはずだ。そこで、次に数学と数学教育について述べていこうと思う。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 何故数学が嫌いな人がいるのか。人には得意不得意があるものであるが、実際 数学が得意でない私に言わせれば、一つを理解できなくなるとすべてが分からな いようになるのである。高校では、やらねばならない単位が決まっていて、それ をモウラするために教師は「やり方」を詰め込む。理解できていない生徒は基本 を分からないまま、様々な発展問題に取り組まされる。そして行き着くとこるは 「数学は生きていく上で、関係ないし必要ではない」という考えである。これら の原因は数学と生活や生産が結びつけられていないところにあると思う。日本の 教育は入試のためのものと諸外国から批判されがちであるが、顕著なのが数学で あると考えられる。ものを作る、例えばパソコンのプログラミングにしても、家 の設計にしても、橋を作ったり道路を作る事にしても、数学的知識のいらないも のはない。しかし、パソコンの中身は1と0という二進法によって人の手で作られ ることなど中・高生が知っているであろうか。小学校の間は子供の興味を十分に 引き伸ばせる教育が進められがちだあるが、中・高でも年齢に応じた興味を引き 伸ばす授業展開がされるべきである。となると、受験のための授業かカリキュラ ムも見直される必要がある。例えば、道路や橋、パソコン、日用品に至る生産に 携わる人を学校に呼び、子どもに知ってもらうこともいいと思う。そうすれば、 数学も自分に身近なものとして捉えられるはずだ。ペリーがかつて浦賀に来航し たことがきっかけで、日本は和算か洋算へその姿をかえていった。その頃からペ リーは「数学を生産や科学に結びつけることを拒むような教育がなされてはなら ない」とうたっていた。それが浸透していれば彼が進めたように１）ユークリッ ドにこだわらない２）実験・実測を取り入れた幾何学を重視する３）座標の幾何 学（平面・空間）を取り入れること４）三角法やベクトルを取り扱う５）量の測 定や数値計算を大事にする６）方眼紙の利用（関数など）７）微積分の概念の早 期教育など、我々が試験対策として詰め込んで学んだこれらのことも、必要なこ ととして捉えられるはずである。 ２３Ｂ ----- 授業全体の感想 ----- この授業には、始め、「小難しい」という印象を受けた。 黄金比や、〜の定理といった、聞きなれない言葉がいくつも出てきて、授業に 付いていけるかとても不安だった。しかし、一つ一つの課題をじっくり見直し てみれば、私が持っている知識でも解くことができる内容だったりもして、少 しずつですが、自信が持てた。特に、二進法を使った数当て問題は、自力で種 が分かったとき、とてもうれしかった。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は、理解できればこれ以上面白い教科はないと思う。しかし、理解できな ければ、これ以上苦しい 教科はない。私は、高校時代の試験の中で、最高点も 最低点も数学であった。できる単元とできない単 元の差が激しかったのだ。確 率やベクトルは得意だったが、三角比や数列はてんで駄目だった。それは 教師 の教え方に問題があるのではなく(もちろん、うまく教えてくれるのならそれに 越したことはないの だが）、生徒が、どれほど問題をこなすかという所に理由 があると思う。私も、得意だと言った単元の 例題はたくさん解いたが、不得意 な単元は半ばあきらめという形で、ほとんど手を付けなかったように 思う。つ まり、なるべくして得意単元、不得意単元がなったのだ。 国語や英語と違って、天性のセンスというものが、数学にはあまり関係なく、 どれほど意欲的に問題数 をこなすかに、数学教育の形があると思う。公式を多 様することは、テクニックであり、そのテクニッ クを自由に扱えるようになる には、基本の積み重ねが必ず必要なのである。 数学概論の講義は、私たちがその基礎が完全であるという前提で行われていた と思うので、それがあや ふやな私は苦労してしまった。 数学とは、やった者勝ちの教科であり、教育であると思う。 ２４Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論の授業で、Ｐ進法について、幾何学（図形）、フィボナッチの数列について学びました。 Ｐ進法については、２，３，４，５，８，１０，１６進法のそれぞれの数字を見て、Ｐの倍数のと きは０がつくなど、きまりやそれぞれの関係などを自分でみつけるという作業がとても印象に残り ました。すぐにはみつからないけどよく見て考え、何度も試してやってみるとなんとなくきまりが わかってきたのがとても楽しく感じました。また、１６進法の”数がなくなったから、１桁増える” という考え方が印象に残りました。１６進数については１〜Ｆのカードとおきかえると考えやすかっ たです。 結果だけをはやく求めようとするのではなく、途中の過程をよく考えながらやることが 数学を学ぶ上ではとても大切だと思いました。 幾何学では、五角形の角度を求めたり、黄金比について学びました。ここでは、ひとつのものを いろいろな角度から自分で考えようとし、そして与えられた材料を自分自身で組み立て直す、考え直 すことができてはじめてそれを理解できたといえるということを学びました。 数列では、フィボナッチの数列やパスカルの三角形を主に学びました。順列や組み合わせでは、ど ういう状況でどの公式を使うかを、公式の条件をもとに考えなければならないということが印象にの こりました。 数学の授業をうけるうえで、習ったことをより自分に分かりやすくするために、自分でおきかえた り表現をかえたりすることは大事なことだと感じました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 私は数学というと、もっとも教室で教科書とノートを使って学ぶものというイメージが今まであり ました。そして、なんで生活する上では必要ないこともするのだろうかという疑問を持ったりしてい ました。しかし、私が数学概論をうけて思ったことは、数学は確かに生活している中でも使うような 基本的知識や技能を身につけることができるけれども、さらに、それをもとにものをいろいろな角度 から考えたり、数理的に考察し処理するちからも身につけることができるということを知りました。 数学を学ぶうえで数量や図形などについて自分で関係を調べたり、試行錯誤して確かめたり して意味を理解し、納得することが大切だと思います。そうすると問題を解決できた楽しさや充実感 を味わうことができ、意欲がわくと思います。 そのために、授業では子どもが考える十分な時間や 精神的なよゆうがもてるように教師はしなければなりません。また、数学の内容の系統性が明確であ るという教科の特性をよく考え、子どもが前に学んだことをもとに新たな問題を考えることのできる ような授業づくりが必要だと思います。さらに、その問題を実生活と関連を図りながら授業をすると 分かりやすいと思います。実際に今回の数学概論の授業では、自分できまりを見つけたり試行錯誤し て確かめるということをして理解することができたし、できたときにはとてもうれしかったしおもし ろいと感じました。 ２５Ｅ 「授業全体に関して、数学と数学教育に関する考えについて」 私は数学が得意な方では無かったので、「わからない」とか、「難しい」と感じる子供の 気持ちがよく理解できる。高校のころ数学に極度の苦手意識をもっていた分、友達の倍 取り組み、先生に質問をしていた。そこで感じたことは、基本となる考え方がきちんと理 解できていなければ応用など解けるはずがないということだ。そしてまずすべきことは、 授業を大切にし真剣に取り組むということだ。’数学概論’の講義は教科書が無かったの で予習はできなかったし、先生の説明が早すぎてこんがらがってしまった事がなんども あった。しかし、わかなくてもしっかり聞いてメモをしていたおかげである時納得すること ができたときがあった。先生はこれらの課程でこんな事を教えたかったのかと思えたの で感動した。授業は難しかったが、今期が大切だと改めて実感した。 私は、アルバイトで家庭教師と塾の講師をしたことがある。そこで数学の指導の難しさ を実感した。生徒の理解度もバラバラなので全体的に理解させたいと思うとどうしてもわ からない子の視点でしか指導ができなかった。その方法を進めれば進めるほど授業に 対する自信を無くしてしまった。自分が数学が苦手だったからこそ真剣に考えた。数学 というのは、振り返ってみて理解できることがたくさんあると身をもってわかった。従って、 授業をする立場からは、その習慣の理解を得ようとするだけでなく、生徒が復習したと きに理解ができるような指導や板書が大切であると私はかんがえる。 ２６Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 授業は面白かったです。知らないことも多く、新たな視点ができた気がしていま す。 私は小中学校の算数・数学は嫌いでした。「なぜそうなるのか」がいまいちつかめ なくて。でも点数は取りたいから決まったやり方を身につけて解いていた感じでし た。 高校になると難しくなり、解けない問題も多かったのですが、高校の数学は好きでし た。ひとつのことが分かると芋づる式に答えは出てきて、夢中で解いていました。 しかし、数学概論を受講し、今までの算数・数学は“分かって”解いていたのでは なく、“答えが出るように”解いていたのだということが分かりました。理解とは程 遠い位置にあったように思います。 また、数学というのは、不思議そうでありながら、実はなんの不思議もない学問だ と感じました。すべてのことに根拠と結論があり、単純明快なもので、 ＋、−、×、÷の四つの記号の組み合わせに過ぎないと思えたのです。この点は、ど の学問よりも分かりやすい面だと思います。 それなのに、なぜ、算数・数学嫌いが多くなってしまったのかを考えたとき、教師 自身が数学の根本を理解できていないからではないかと考えました。特に小学校にお いては、専門の先生に教えてもらうことはなかなかありません。そのために、あいま いな算数の授業が、子どもたちをよりあいまいな算数の世界に導いて、算数嫌いの子 を増やしてしまっている気がします。 たとえば、分数の割り算をするとき、なぜひっくり返して掛け算に変えるのか。円錐 の体積を求めるとき、なぜ１/３をするのか。答えを求めるためには、いらない知識 なのかもしれません。しかし、その“なぜ”が分かっているのと、そうでないのは、 大きな違いです。 私自身、今回の講義で反省しました。こう思えたことは、とてもよかったです。今 後に生かしていこうと思います。 ありがとうございました。 ２７Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 授業の始めに、今回は何に関して説明するのかおっしゃられないで、いきな り説明から授 業が始まってしまっていたので、私たちに何の説明をするのか教 えてから始めていただきた いと思いました。説明は、かなり噛み砕いて説明し ていただいたので、授業の最後に授容を 振り返るときにとてもわかりやすく、 納得することができました。特に、何でそうなるのか わからないのに、公式だ け暗記していたり、意味がよくわからないままやり過ごしてきたり していた個 所の説明がほとんどだったので、とてもためになりました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学はよく「何で勉強しなければいけないのかわからない。」といわれるが、 数学でもの 考えると言うことは、とても大切なことだ。証明では、なぜそうな るのか道筋を立てて答え を求めるので、理論的な考え方が身につく。また、 表やグラフや図形は、それを読み取る 力や図式化する能力や想像力が身につ く。そして、計算していくことにより、計算力や考え る力が身につく。このよ うに、数学はただ計算するだけではなく、いろいろな力が身につき 自分を高め てくれるものであると思う。また、計算が解けたとき、問題が解けたときのうれ しさや達成感や喜びを、もっともっと知っていき、教えていくべきであると思 う。 ２８Ｒ この講義で印象に残っていることは、学生が質問したことに対し、理解するまで説 明をしてくださったことです。他学部とは違い、教育学部での数学の授業は学生の能 力差、進度の違いが大きく大変なのではないかと思います。私は数学が得意という訳 ではないのですが、高校生の頃理系のクラスにいたので少し授業のスピードが遅いと 感じました。 今回この講義をうけて、数学教育での習熟度別の指導について考えました。習熟度 別に分けてしまうことはどの子が出来ていて、どの子が出来ていないかはっきりと分 けてしまうことになるし、問題点も多いかとは思いますが、分からないのに授業が進 んでしまったり、逆にわかっているのになかなか進まない、というのも大きな問題で あり、その対策として他に方法はないのではないかと思いました。習熟度別に分ける ことによって、高機能自閉症やアスペルガーに気づくことも出来るのではないかと期 待します。 その他にも、教師は授業の前の準備をきちんとしてこなくてはいけない、というお 話も心に残っています。自分が納得いくまで練ったものでなければ子どもたちも手を 抜いた授業だと感じると思います。 私は中学校の理科の教員を目指していますが、準備を怠らないこと、生徒の習熟度 の差に気を配ることは理科でも同じだと思います。毎回の授業にそれだけの準備を し、何十人といる生徒に目を配ることは時間的にも、力量的にも難しいとは思います が、出来る限りの事はしたいと思いました。 ２９Ｄ 私は、高校までは「数学」を勉強することに対して、ただ単位を取るためだと か受験のためだとか、やりたくないのに嫌々取り組んでいたことが多かったと思 う。数学は難しいうえに普段の私生活で役立つようなことは少なく、学ぶ意欲も あまりなかった。特に受験期には、数学の楽しさを感じることもなく、ただただ 公式や解答の仕方などの知識を詰め込むだけだった。しかし今回、１年以上数学 から離れていた状態で久しぶりに数学に触れたときに、その問題を理解し自分で 解けるということに喜びを感じた。ただ公式に当てはめて考えるのではなく、ど うしてそのような公式が成り立ち、問題が解けるのかを理解できたときは達成感 を感じられた。残念ながら十分に理解できなかった単元もあるが、今回の講義で 学んだ数学の分野は、規則性を見つけ出したりするなど少々パズルやゲームのよ うな感覚で解く単元が多かったので、本当に楽しみながら学ぶことができたと思 う。その中で強く感じたことは、自分が教える立場にたったときには、決まり決 まった型にはめて授業をするのではなく、子どもが自ら試行錯誤し自分自身の中 で納得がいったうえで理解できるような授業を行わなければならないということ だ。まずは数学の中にある楽しさを自分で発見できるようになることが大切であ り、教師は子どもがそう感じられるように工夫していかなければならない。 また、今回数学概論の講義を受けて、自分にはまだ全体的に数学的知識が十分 に身についていないことが身にしみてわかった。これはどの教科においても言え ることだが、自分が十分に理解できていないことを子どもに教えられるはずがな い。そして、答えへのプロセスの仕方が幾通りあったとしても、数学の場合は答 えはひとつであり、あいまいな答えなど存在しない。だからこそ、自分自身が根 本からよく理解しておかなければならない。公式も、たとえその原理を子どもに 教えることはないとしても、教える側に立つのであれば、公式の意味やどうして そのような公式が成り立つのかなどの本質まで理解しておく必要がある。 これらのことを踏まえて、数学の授業では表面的な理解ではなく「本質」を大 切にすることが重要であると私は考える。そして、もし自分が子どもに数学を教 える日が来たならばそれを大切にして指導していきたいと思う。 最後になりましたが、菅原先生、半年間本当にありがとうございました。 ３０Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- まず、講義全体に関する感想から述べていく。私自身、文系ということもあ り、数学は高校時代苦手教科の一つであった。私が考えていた数学に関する意識 としては問題の数をこなして、より解答スピードを早くし、正解率を上げるとい う言い方は悪いが、学習というよりもどちらかと言うと、作業てきな感じがあっ たのである。その点、今回学んできた『数学科概論』はその様な要素あまりはな く、数学の原点となる公式や定理についてを学び、例えば黄金比やフィボナッチ の数列などといったこれまで知らなかった知識を学べたことから、興味を持って 意欲的に講義に参加できたと思う。高校の時の講義は、一つの単元にかける講義 数が非常に少なくなく理解できなっかた生徒はとりあえず置き去りにして、授業 方針に乗っ取ったスピードで先に進むといったようなものが展開されていた気が する。この様な形の講義では、できる子は優越感、できない子は劣等感を双方感 じるようになり、ますますその差は広がって行くと言える。しかし、今回の講義 は一単元にかける講義数が十二分にあり、また内容がこれまでにした事のないも のであり、またなかなか深い内容のものであったので、苦手な者にとっては理解 する時間が十分にあったし、得意なものにとっては新たな発見が多くあったと思 う。以上のことから、感想のまとめとしては、今回の講義をと通して数学に関す る以前の嫌悪感とも言える意識を少し払拭できたという事と、時間をかけたら自 分のような数学が苦手な者でも理解し、様々な考えを持てるということに気づき 自身が持てた。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 次に、数学と数学教育に関する私の考えを述べる。前述に、私の数学に対する イメージをを述べたが、この様なイメージはおそらく、現代教育の一つの問題と なっている“詰め込み教育”や“受験戦争”が生み出した数学に対する意識だと 言えるだろう。興味関心よりも知識理解を重視し過ぎた教育方針だと言える。確 かに、この様な学習法でも、困難な問題を正解できた時の快感のようなものを味 わう事ができ、そこから興味関心を得る生徒もいると思うが、苦手な生徒にはそ の様な快感を味わうことは出来ないであろう。そこで、重要となってくる要素が “基礎の確立”と“学ぶ意味”の二つを私はあげる。まず一つ目の“基礎の確 立”であるが、例えば素振りをする事なくプロ野球選手になれた者は居ないし、 骨組みなくして立派な家は建たない。これらと同様に、やはり数学においても、 困難な問題を解いて快感を得るためには、基礎の確立が必要であると言える。二 つ目の“学ぶ意味”であるが、例えば生活の中でこの様に使えると言った話や今 回の講義で菅原教授が加比の理を説明する際に例えとして出された野球の打率に 関する話をすることで生徒達は、数学に対する興味関心が湧くと言える。以上が 数学と数学教育に関する私の考えである。 ３１Ｅ 授業の感想・数学に関する考え 大学に入ってというもの、数学に触れる時間は無いに等しい状況の中、この授業 に出席することとなりました。私は毎回の小レポートにも記している通り、数学 と名のつくものは敬遠してしまいがちです。何故、と言えばやはり、「わからな いから」です。ただ、授業の中で取り扱った内容は無理の無いものを厳選されて おり、高校から大学へ入るまでの受験勉強に比べれば易しいものだったと思いま す。その中において所見だったのが黄金比でした。この黄金比について、私はこ の言葉が数学をおおいに表している言葉のように思えました。「数学的思考」と いう言葉を使うとすれば、この思考法の１つの表現として黄金比がありこの思考 法の苦手な私にとっては黄金比とは何ぞや、という事を理解するのは大変時間の かかる作業でした。正直な感想を述べれば、黄金比を知って何になるのか、と思 ってしまいます。この授業を受ける以前と以後で変わったということはここに大 きく関わっています。強いては私の数学と数学教育に関する考えともつながりを 持っていると思うのです。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学とは実用的な学問という側面よりも、深めていくという探求的学問という側 面が強いと思います。授業を受けたあと考えたのは、やはり苦手、というだけで はくくってしまえないものだということです。それが果たして実生活に役立つか どうかは疑問の残るところですが、一人の教育者を志す者として学問を修めると いう態度で数学とも向かい合わなければならないと思います。数学を指導する側 に立てば如何に分かりやすく子供達に伝え、如何に飽きさせないようにするかと いうことが重要になってくると思います。とくに小学校課程で学ぶ算数について しっかりとした土台を作ってあげられるかどうかで子供の数学に対する苦手意識 の有無が決まってしまいます。所詮は実用的ではないので、というような屁理屈 を言う者は実際多いとは思います。ですが結局学問を学ぶことのどこに意義を見 出すかという点において、数学が何も特別なことは無く、その意義の下に教育を 進めていかなければなりません。 私は数学を学ぶことにより見通しを明確に持つという力が備わると思います。そ れは鉛筆を紙の上で走らせることだけに留まらず生きていく上で持っていれば非 常に役立つ力でしょう。私のように数学を苦手だと感じる人は少なくありませ ん。ですが数学教育を受けたかどうかで計算が得意になっただとか対数や微分積 分、行列の問題を解けるようになったとかいうことは全く問題ではないと思うの です。例えば発展途上国における人口爆発の要因の一つは初等教育の不行き届き だと言われています。日本では十何人も子供をもうければ経済的に苦しくなるの が分からないそんなことはますないですから、極端な例にはなりますが、そうや って数学教育はしっかりと身になっています。 深めていき学びたい、という意欲を育てていくことにこそ数学を教えていくやり がいがあるのでは、というのが私の数学教育に対する考えです。日本では現在受 験の道具としての役割を果たし終わった所で大半の人が数学を学ぶことを止めて しまいますよね。ですから私が将来教員になったとして、たかが道具のみでは終 わらせたくないと思わせることができれば私の教育はよかったのだと思えること でしょう。そしてそう思わせる教育というのを模索していかなければならないと 感じました。以上を今回のレポートとさせていただきます。 前期の週１回の授業ということで短い期間でしたが、興味関心の湧いてくる授業 をしていただきありがとうございました。 ３２Ｓ 私は数幼い頃から数学に対して苦手意識を持っていたので、数学科概論の講 義についていけるか、講義が始まる前から不安だった。 しかし、第１回めの講義内容が、偶然にも私が数学の中で唯一興味があったＰ進 法についてであったので、当初抱いていた不安が少し軽くなって授業に取り組め たことを記憶している。 授業後に、毎回復習としてプリントに自分の言葉でまとめて授業内容を記録した が、そのお陰で一回ごとに頭の中を整理でき、非常に役立ったように思う。 人の言葉を記録する方が簡単だが、より物事を理解するためには自分の言葉で まとめる方がよりよいということを実感した。この方法は、他の教科、また勉強を離 れても使えると思う。一つ一つを、区切りごとに整理することを今後も色々な場面で 実践していきたい。 今でも数学はやはり少し苦手だが、数学科概論を受講する前と後では、数学に対 して抱いていた嫌だという先入観は薄らいだように感じる。 今回の受講を契機に、この夏休みを利用して、中学時代の教科書とノートを味方に し、苦手分野を克服しようと思っている。 ３３Ｅ 〔授業の感想及び、数学教育について〕 私にとっては少し難しいように感じた。Ｐ進数は普段の生活では、パソコンなどの 機械に使われている事しか知らないし、黄金比も、言われてみれば、、、というくら いで、掴みにくかった。 正五角形の作図について、答えをきちんと示してほしかったし、次の時間のはじめ に、前回の授業の復習をすると、もっと分かりやすかったのではないかと思う。 数学を専門としている人ばかりではないので、どうしても分からない人はいると思 うので、そこで分からない人はそのままではなく、何とか説明や、言葉を変えて教え ると、数学の楽しさみたいなものが、もっと伝わると思う。 あと、もう少しアシスタントの方をうまく動かしたほうが、よかったと思う。 “数学教育について”などと偉そうに言えるほど数学を理解しているわけではない が、数学が苦手な者としては、詰め込むことより、理解していくこと、無駄な知識を 増やさないこと、という考え方に強く賛成する。いくら便利な道具を持っていても、 使い方を知らなかったり、探そうとしなければ、ガラクタに過ぎないと思うからだ。 また、単位の授業で、大きくなるにつれて想像できなくなるから、言い換えて、ど れくらいの大きさか想像できるようにすることが大事だと思った。 子供たちにとって、解るということは喜びであり、次のステップに行くための大事 なことだと思う。数学科教員には、粘り強い指導と、日本語表現の多様さが求められ るのではないだろうか。また、子供に様々な数学の不思議を教えて、興味を持つよう にできたらいいと思う。 半年間ありがとうございました。 ３５Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 中学，高校と，分からないままうやむやになっていたことを，解きほぐして整 理することができた授業だったと思う。なかには，やっぱりどう考えてもいまだに理 解できないものもあるのだが，数学に対する意欲や，楽しさといったものを少し思い 出すことができた。本当によかったと思う。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は嫌いではなかった。少なくとも小学校まで，「算数」と呼ばれていた頃 までは，得意教科の一つだったと思う。理解できなかった公式やら考えやらはなかっ たし，それが学習への自信にきちんと繋がっていたのだろう。 それが中学になり，算数が数学に変身したあたりから，徐々に理解度が減少し てきた。学習における詰め込む量が多すぎて，予習どころか復習もままならなくなり ，それではテストも捗々しくなく，自信が持てなくなり……という，典型的な悪循環 に陥っていた。中学での学習内容を基盤とし発展させている高校数学は，それ以前に 数学の地盤が地崩れを起こしているのだから，さもありなん，である。そしてそのま ま現在へと至る。 書きながらだんだん「なんでこんなことになったのだろう」とか切ない気分に なってきたが，しかし考えてみるとわたしは，天邪鬼なことに「数学自体は嫌いでは ない」のである。苦慮してようやく問題を一問解いた時の達成感というか清々しさが大 好きなのである。語学系や社会科などの文系の科目にはない，違った面白さがある。 寸分の狂いもない，これぞ答えである！というゴールが用意されていて，それを見事 当てられたときは，本当にうれしいものだ。 逆にいうと，どんなに考えても分からない，理解に苦しむ内容だからこそ，公 式が頭に入らなくなり，問題を解くのが嫌になり，数学が苦手になっていくのだ。ど うにかして数学の理論なり秩序なりを理解できるようにしてゆけば，おのずと「数学 嫌い」「数学の苦手意識」は薄れてゆくはずである。 たまに，「数学は，数学の好きなヤツだけやればよいではないか」というよう なことを考えることもある。しかし，数学はなにも高等で近づきがたいものばかりで は決してないと思う。理論や秩序に沿って考察する数学の解決手法は明快で，論文の 書き方や問題解決の方法としても優れている。数学を学ぶということは，そういった概念， 人生を生きていくうえでの知恵を学ぶということでもあるのではなかろうか。 いずれにしろ，「達成」できたからこそ次へと続ける自信が湧き，「達成」で きなかったからこそ次こそはと意気込むことができる。数学の根底にあるものと同じ ，しごく単純明快で確固とした図式だ。数学教育とは，小さくはそうした細かな「達 成」感を拾ってゆくことを，大きくは学習を通して，生きる知恵や自信を付けること を目標とするものであってほしい，と願ってやまない。 ３６Ｂ 数学は、昔から好きな科目でした。新しい単元を習うたびに、わくわくした 気持ちになりました。算数、数学の好きなところは「答え」がはっきり決まっ ているところです。答えがしっかり決まってはいますが、その答えにたどり つくまでの「解き方」にはいろいろなパターンがあるというところが、とても 自由な感じがして面白いと思います。ひとつの問題があるとして、その答 えはひとつですが、答えにたどりつくまでの解法はひとつではありません。 この「別解」を考えることが、とくに大好きでした。 以前、ひとつの問題を何人かで考えられる限りの別解を出し合った思い 出があります。それは確か正方形を横に、縦に、階段のように重ねていっ て、その階段の周りの長さを考える・・・という問題でした。私は頭が固く、 普通に数える数列をまず思いついたのですが、線をスライドさせて、数えや すい形を思いつく人もいれば、数列の面白い解き方を考え付く人もいました。 とても有意義な時間を過ごせたと思います。 「数学概論」の授業の中でも、先生がすぐに答えを言わずに学生に考えさ せる場面が多く、私はその時間が大好きでした。ときにひとりで考えさせ、 ときにまわりと相談させる授業形態は、私の意欲を大きくかきたててくれま した。自分なりに答えの筋道を立てて、そして正しい答えにたどりつけたと きの喜びはとても大きかったです。このように、ひとつの問題についてじっ くり解き方を検討することができるのも、数学の魅力だと思います。模範解 答はありますが、いろいろな発想を持って考え方を膨らませていくことはと ても大切なことだと思います。 これは、数学に限らず、様々な分野でも言えることだと思います。スポー ツにしても、どうしたら伸びるのか、どうしたら勝てるのか、様々な方法を 考えて、様々なトレーニングの中から、そのときそのときの自分に合った、 チームに合った練習を考えることが、大きく結果につながると思います。た とえば教育に関しても、模範解答に頼りすぎずに、自分自身の見解をしっか り持って子どもと接することが、教員に求められている姿勢だと思います。 私は数学の中でも、途中の「筋道」が確認できる記述問題が好きです。ど うしてそのような答えに至ったが、採点者に伝わるからです。私は、同じ不 正解の中でも、白紙で出しての「×」と、欄をめいっぱい自分の考えで埋め ての「×」とでは、大きな違いがあると思います。前者では、本人がどこが わかっていないかよくわかりません。全てわかっていないととらえられてし まうかもしれません。しかし後者では、「ここまではわかっている」とか、 「ここの計算間違いから、答えがずれている」とか、正解へたどりつくまで の道がよく見えてきます。やり直しもしやすいと思います。聞かれたことに 対し、自分なりの、自分ができる限りの答えを導きだすこと、この姿勢を私 は数学からも学んだように感じます。 何かを聞かれて、「わかりません」と言ってしまえばそれまでですが、 「私はこう思います。」と自分の見解を述べることが大切だと思います。そ の答えが花丸をもらえることもあれば、三角かもしれないし、もしかしたら 採点者の意図にそぐわなければ×をもらうかもしれません。でも、「白紙」 では100パーセント×です。これからの生活の中で、様々な問題に出会い、 答えを求められる機会がどんどん増えていくと思いますが、最後まであきら めずに答えを導き出そうとする意思を、これからも持ち続け、その気持ちを 育てていきたいと思います。 ３７Ｅ 私はこの数学概論の講義を通して自分で考えてみることの大切さを学びました。 高校までの数学は公式を覚えその公式を使って決まったパターンで問題を解くも のでしたが、大学ではまず公式から自分で導き出し、それを使って問題を解くと いうことが求められます。この数学概論の授業で、その能力を身に付けることが できたと思います。公式を導き出すときに大切なことは、まず数字をどんどんあ てはめてみるということだと思います。例えば、フィボナッチの数列を習いまし たが、この公式を出す前にまずはどんどん数を求めていき、フィボナッチの公式 を出しました。既成のものを使うのではなく、自分で一から考えて求めていくと いう姿勢は社会に出てから特に必要とされるものだと思います。高校までの数学 の教育までで、数学の基礎をしっかりと学び、大学の講義ではさらに数学という もの自体の根源から考えてみることで改めて数学というものの本質を捉えること ができるのではないかなと思いました。数学を嫌いという人が結構いますが、そ れは多分高校までの数学で公式を使って通り一遍通に解くということに対しての 嫌悪感が原因ではないかなと思います。だから大学での一から考えるという教育 が大切だと思います。今の社会は情報が溢れすぎていて自分にとってどれが大切 でどれが不必要かとか、どの情報に従って行動すればいいのか迷うことがありま す。こういう情報化時代だからこそ自分で考えてはたしてその情報が正しいのか どうかを考える姿勢が大切だと思います。そして大学の数学の授業こそそういう 考える姿勢を身に付ける場所だと思います。この数学概論で学んだ考える姿勢を これからの指針として残りの大学生活を送りたいと思います。 ３８Ｂ 私が今までやってきた数学は、公式を覚え、何度も繰り返し問題を解い てパターンを暗記するというものでした。私はこのやり方でずっと大学受験 まで過ごしてきました。しかし、このやり方だと、数学から少し離れるだけ で、解けていた問題がすぐに解けなくなってしまっていたように思います。 これは、ただ単に公式を覚えるだけで、本当に数学を理解しきれていな かったからだと思います。先生は、「数学は何も覚えなくていいというの がありがたい。（しかし、大切な言葉はきちんと覚えなければならない。 ＜例：組み合わせの数、パスカルの三角形など＞）」とおっしゃっていま したが、私もそういう風な意識を持って数学に取り組めていたら、苦手意 識を持たずに、より数学を楽しみながら学ぶことができたのではないかと 思います。また、先生が単位の話をなさったときに、「私たちは、毎日の 暮らしの中でその量（例えば、牛乳パックやペットボトル）がどんなものか 把握することが大切であり、教科書に書いてあるから・・・という理由で理 解できていると思っていてはいけない。私たちが生活の中で、きちんと数 を使いこなすことができれば、その感性が自然と子供たちにもちゃんと伝 わる。」とおっしゃっていました。将来教師になる可能性がある私たちは、 子ども達の数学嫌い、数学離れをなくすためにも、ただ単に公式を詰め込 むだけの授業ではなく、数学の面白さや興味深い点を伝えることができる ような授業をしていかなければならないと思いました。そのためにも、私た ち自身がまず数学を楽しむことが一番大切になってくるのではないかと思 いました。 ３９Ｒ この講義を受講して初めに感じたことは、今まで自分がいかに公式を 鵜呑みにし、その公式に数値を当てはめるだけの算数または数学をし てきたか、ということだった。大学受験のための数学はまさに、たくさん の問題をこなし問題感覚をつかんでいく（例えば、こういった形式の問 題はこのやり方、公式を使うといいな、といったようなもの）丸覚えの数 学であったように思う。なぜこの公式は成り立つのか、この公式は本当 に使えるものなのか、という疑問は少しも持たずに使っていた。こうい った学習をしてきたために、高校を卒業して２年たつ今、すでに半分以 上もの公式、問題の解き方を忘れてしまった自分がここにいる・・・。 これは、自分の今まで受けてきた教育がそういった、教授されたもの をそのまま受容するという一方通行の教育であったことを、暗に意味し ているような気もするのだが、そういって、今まで受けてきた教育を批 判しても、これから教育を受ける子どもたちの教育は少しも改善されな い。そこで、この講義を受け、「あぁ、自分もこういった授業を受けてい れば、少しは違ったかもしれない。」または、「もし自分が教師になった ら、これだけは子どもたちに身に付けてもらいたいな。」と感じたものに ついて紹介しようと思う。 それは、「単位の感覚を生活の中に取り入れる」ということであった。 私が受けてきた義務教育９年間の算数・数学科教育の中で、唯一これ は、１kmという単位を自分の感覚として身に付けることのできた授業 だったな、と感じる授業がある。それは自分の小学校から歩いてどこ までが１kmであるかを調べる授業だ。実際に計測器を持って歩く前に、 どの辺りで１kmになるか予測して測定した。その頃私にとって1kmは すごく長い距離だとばかり思っていたので、学校を出て少し行った食 事処で１kmになったときは、驚いたし、今でも1kmと聞くと、「あぁ、あ そこまでくらいか。」と自分の中で１kmの基準となっている。 こういうふうに、その都度、実際に歩いてその単位感覚を養うことは できなくても、ちょっとしたきっかけがあるときに、そのチャンスを逃さず に、子どもたちの中の単位の感覚をつなげていくことは、十分可能であ ると思う。例えば、遠足で稲佐山に登ったときには、「稲佐山は300mく らいあるんだよ。東京タワーは333mだから、だいたい同じぐらいだね。」 と話すだけで、ものすごく高い！！という感覚しかない子どもの感覚の 中に、稲佐山と同じくらいなんだ。という感覚がつながる。これを聞いて、 稲佐山が高いと感じるのも低いと感じるのもその子の自由だし、400m リレーをするとあっという間に300m走ってしまうのに、300mが縦に伸び るとすごく遠くに感じるんだな、など感じるだけでも、今後のその子の感 覚に残っていくと思う。 今まではこういったことを考えもしなかったので、こういった生活に密着 した算数、というものを考え、意識することができるようになってよかった と思う。これから、私ももう少し単位に気を配ることができるようになりた いと思う。 ４０Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 今回の数学概論を受けて、私の数学に関する考え方が変わった。 私は、中学校の頃から数学が苦手であった。 そして、高校に進学するとますます数学が苦手になっていった。 その理由として、私の中に、数学は公式を暗記してそれを応用す るという教科にしかうつっていなかったからである。 そのためか、公式がどのような成り立ちでそのようになったかを分 からないので、公式を忘れてしまったら問題は解けなかった。 そして、公式は私の中で記号でしかなく全く意味を持ったものでは なかったのである。そのため、数学をおもしろいと思ったことは無 かった。 それが、今回の授業で少しずつ変わってきた。私は数学をおもしろ いと思うことができたのである。 特に、私がおもしろいと思ったのは、フィボナッチ数列であった。 高校の頃の教科書にも出てきていたようであるが私の記憶には無 かった。それだけ、印象に残る単元でなったということであろう。 今回の授業で先生が取り扱っていたようなひとつひとつ書きすこと で、フィボナッチ数列を導く方法はとてもおもしろかった。 nの数がふえていくにつれて法則性を自分の力で見つけ出せたこと で、anの数を出していくことがとても意欲を持って取り組むことができた。 そして、その表からフィボナッチ数列の漸化式を導いていけたことは 大変分かりやすかった。また、anを組み合わせの方法でも解けること も大変おもしろかった。 一つ一つ計算していたのでは莫大な時間がかかりそうな大きい数も 短時間で解決できる公式というのはなんて画期的なのだと思うことが できた。 こういった意味で、今回の授業は大変おもしろく参加することができた。 そして、数学に対する考え方がおもしろくないものということから、おも しろいものへと変化していくことができた。 私の中で、暗記するということから理解するものへと変化していったか らであろう。 そして、今回は、理解することができたからであろう。 そういった意味でも、数学の導入を重視された今回の授業は大変よ かったと思う。 ４１Ｄ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論は、数学から離れて約二年経つ私には、刺激的な授業 だったように感じます。それは、ずいぶんと使われていなかった 脳(知識)をフル回転させ、問題を回答し終えた、事への達成感と 満足感のためだと思います。その達成感と満足感は次の課題 (数学に限らず)への意欲につながっているようです。私にとって 数学はある意味、起爆装置のような意味を持っているのかもしれ ません。半学期だったとはいえ、とても興味深く面白い授業を受 講できたことに感謝します。ありがとうございました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は算数とは違い、普段の実生活には到底役に立つものでは ないように思う。それは紀元前300年前のギリシャの数学者ユー クリッドの時代も同じだったようだ。学生の一人が「こんなことをし て何の役に立つのですか？」と尋ねたらしい。確かに！算数の次 元なら役に立ちそうだが、数学の域に入ってくると役立つようには 思えないし、実生活に連結することも難しい。だからと言って、数 学の域を切り捨てたらいい！なんて安易な考えは全くもって感心 できない。なぜなら真理の追求こそが学問なのだから。家庭科さ えできれば生きていける。しかし現在家庭科だけの学校なんて存 在しないし、今後も存在しないだろう。それほど学問とは役に立た ないものなのではないだろうか。役に立つからする。役に立たない からしない。ではなく、役に立たなくてもする。それが学問の本質だ し、そのお陰でこれまでに数学の世界が広がったのだ。つまり、数 学とは真理を追究した結果生まれた世界であり、数学教育とはそ の世界を子どもに紹介することであると考えた。 ４２Ｄ ----- 授業全体の感想 ----- 私は中学・高校を通して数学が苦手でした。自分では頑張っているつも りなのに、なかなか正しい答えにたどりつくことができず、最後には諦めて しまうことが多かったように思います。 「正解にたどりつけない→諦める→理解できないまま次の問題へ」この繰 り返しがさらに数学を苦手に、嫌いにしていったのだと思います。 今回、数学概論の講義では、１つの問題をいくつかに分けて説明がなさ れたので、たいへんわかりやすく感じました。順を追って理解していけば、 難しい問題も納得して解けるんだなぁと思いました。簡単なことを組み合 わせて考えることで、一見難しい問題も解けることがわかりました。 今まで、公式や定理は、理解するのではなく、記憶していました。その公 式や定理がなぜ使えるのか、全く理解しないまま、条件に合えば使ってい ました。また、その条件も曖昧に覚えていて、誤った使い方をすることもあ りました。 しかし、今回は証明や類似の形で公式や定理を理解することができま した。公式や定理の導き方を理解することができたので、納得して使うこ とができました。 数学が苦手な人間に、数学に取り組む意欲を与えるのは、正解にたど りついた時の達成感だと思います。しかし、それを味わうためには、やは り数学の基礎をしっかりと理解することが重要です。数学は積み重ねが 必要な学問だと感じます。基礎からしっかり理解して、積み重ねていけ ば、私も少しは数学が好きになるのではないかと感じています。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は順序立てて考えたり、論理的に物事を捉えることの基礎になる と私は考えます。順を追って論理的に考えることで、一見困難に思える 事柄も、解決できることがあります。こういった可能性を確かめ、体験で きる学問が数学であるのではないでしょうか。 このような論理的、数学的な考え方の利点を、日常の生活の場で生か していくためには、数学のより深い理解と、問題解決への意欲が必要で す。このことから数学教育はたいへん重要であると言えます。子ども達 に、数学的な発想の利点を教え、それがどのような形で利用されている かということへの理解を促し、さらに自分たちの生活の中でどう生かして いくか考える力を育むことが、就学教育だと考えます。 学校で学ぶ数学と、自分たちの生活とをいかに結びつけるかが重要 なのではと私はｋん感じます。私も含めて、数学が苦手という子ども達 は、学校で学ぶ数学の理論、公式、定理、またそれを定着させるため の問題などと、自分たちの生活の中で生じる疑問とを、結びつけて考 えることができていないのだと思います。だから、数学を学ぶこと自体 に疑問を抱いてしまい、数学から遠ざかってしまうのです。 数学と日常生活で生じる疑問とを結びつけて考えることができれば、 数学の面白さ、便利さが体感できるのではないでしょうか。それができ れば、学校での数学教育にも意欲的に取り組むことができるし、数学を 学ぶことへの意欲も高まると思います。 数学的な考え方を、数学の学習の場だけでなく、生活の場においても 使うこができる力を育むのが数学教育であると私は考えます。 ４３Ｅ 私にとって数学は嫌いな教科ではありません。もともと好きだったわけではありま せん。 私が好きになったのは、数学の問題が解けるようになってからです。 公式を用いて問題を解き、答えが合ってると安心して次の問題に挑むことができる、 という感じでした。 子どもたちも同じであると思います。問題が解けるようになると、数学をすることが 楽しくなる、もっともっと 難しい問題に挑戦していく、と気持ちがなっていくのではないでしょうか。 私は数学概論の講義を受けて、P進数がとても印象深く頭に残っています。 高校で２進数と１０進数を習いましたが、いまいちよくわかってませんでした。数学 概論では、２進数や１０進数 のほかにも３進数、４進数、５進数というようにもっとたくさん出てきましたが、 １６進数と１０進数の関係や、 ４進数との関係などを考えていくうちに楽しいと思いながら講義を受けることができ ました。 私は数学はもちろんですが、どの教科においても「楽しい」と思えることが大切なん だと思います。 特に数学は好き・嫌いがはっきり出る教科の一つだと思います。まず、そうならない ためのひとつとしてあげられるのは、先生の数学に関しての理解度・考えであると思 います。先生が、数学が嫌いだったらその楽しさを教えることができないし、楽しく 授業をすることはできません。教えるということは難しいことです。 ですが、自分が苦労して理解した内容であればあるほど、きっと子どもたちにはわか りやすい教え方ができると思います。私は、高校の時がむしゃらに数学を毎日解いて いた気がします。 子どもたちが数学の勉強頑張ろう！と意欲が出るように先生は促さなければならない し、それなりに先生自身が勉強していなければならないと思います。 ひとつの答えからいくつもの枝分かれをして多くの答えが導き出せる数学は本当に魅 力的な教科であると思います。これから、たくさんの子どもたちが数学を好きになっ ていってくれればと思います。 ４４Ｇ ----- 授業全体の感想 ----- 授業全体に関して、私たちに分かるにはどう説明を改善したらよいか先生方に考えて 頂いたお陰で、私は、黄金比（の値）つまり比の値と捉えればつまづいていた所が すっと理解できたことが強く印象に残っています。それが理解できたというのも、比 の値の概念を私が忘れているから、答えが何を意味しているか不明だったことも原因 の一つだとも分かりました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学と数学教育に対する考え方は、授業を受ける前は、”数学は予習・復習をとに かくすることが大事”と思っていました。授業を受けたあとは、最初の先生のお話に もあったように、”数学（数学だけに限らず）は先生のお話を集中して聞く。そして、 先走らず、ペースを合わせて、一つ一つこなしていくことも大事”と実感しました。 ４５Ｄ この数学概論の授業を受けて、今まで小・中・高と算数、数学を学ん できてそれなりにわかったつもりでいたけれど、いかにこれまでの 自分の知識が上辺だけのものであったかということが明らかになった。 今までの数学は、やはりどこか高校受験・大学受験に向けてのもの ものであり公式に当てはめることだけにとどまり、その公式がなぜそ うなるのか、どこからこのような式が導き出されているのかそれほど 詳しく学ばなかったし、自分で疑問を持ち考えてみることもなかった。 私の数学がそれほど伸びなかったのはここに問題があったのかもし れない。学習指導要領の内容の中には「気づく」ことなどが取り上げ られている。自分が教える立場になったときには、ただ単に一方的に 教え進めてしまうのではなくできるだけ子どもの疑問を引き出せるよ うな授業を展開し、その疑問に対して子どもたちが自分たちで筋道を 立てながら答えを引き出して行けるように手助けをするというような 形で関わっていきたいと思う。 ４６Ｄ 私はこの数学概論の講義を受けて、強く感じたことは、自分が教員 となって現場に立ち、子どもに数学を教えていくためには、その教え る内容はもちろんのこと、それ以上のこともしっかりと学び、理解し なければならないのだということだった。今まで数学概論で勉強して きたことは、すでに高校や中学校でやってきたこともあったが、フィ ボナッチの数列や黄金比などのものは、まったく触れたことのない分 野だった。そのためとても難しかった。ただ、講義の中でやってきた 例題などのように、数学を単なる勉強としてしかとらえるのではなく て、自分たちの日常生活の中にとりこんで考えていくことで、「数学 をなんとなく嫌いになってしまう」ということがなくなるように感じ た。私は、これからの数学科教育もそうであるべきだと思う。数学を 苦手と感じてしまう前に嫌いと感じてしまっては、そこから抜け出す ことは困難である。まず、日常生活になじみのある数学という考えが 根底にあれば、そう簡単なことで数学を嫌いになってしまうことはな いのではないかと思う。私自身数学は苦手ではあったが、好きな教科 のひとつだった。でも、今回の講義で自分の学力が落ちていると感じ たことも確かなので、数学概論の講義が終わったからといって、今ま でのようにまったく手をつけなくなるのではなく、これを機にまた勉 強しなおしていきたいと思った。 ４７Ｄ 今回数学を受けて、数学の授業を受けるのが久しぶりだったので、面 白かった。また、習ったことのないところだったのですごく考えさせら れた。数学は、内容を理解できれば問題をどんどん解いたり、色々な方 向から理解を深めたり、考えたりできるのでとても面白いと思う。また、 色々な発見や、ひらめき、工夫などができるので、問題が理解できると、 とても楽しい。 数学は、生活の多くのことに結びついていて、色々なことが数学でわ かったりする。たとえ、その数を出すことが生活においてなんら影響し ないとしても、その現象や物事の中には、色々な数があったりするとい うことは、面白いことだと思う。 数学教育において、子どもの理解をいかに深めることができるかとい うことは、とても力のいる、難しい問題ではないかと思う。数学を教え る時、問題の世界が目に見えないということがたくさんある。それで戸 惑うことがあるのではないかと思う。問題での速さの違いを見ることは、 難しい。100%というのは、どういうことなのか。物が違えば100%も違う。 こういった混乱が、あったりすると思う。だから、教育において、いか に色々な変化に対応できるような基礎をかためてあげられるかというこ とが、大切なことの一つであると思う。 数学は、わかればわかるほどに楽しく、達成感のあるものであると思 う。その楽しさを、数学教育で、教えてあげることも大切であると思う。 ４８Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- 私は数学が好きなので、久しぶりに数学の問題を解いたり、講義を聞けて楽しかったです。 身の回りのことと数学との関係に気づけたり、数学についての新しい知識を身に付けることが でき、とても良かったです。しかし、自分が数学を教えることを考えると、とても不安な部分 が多い気がします。なのでもう少し、数学の授業のやり方や、教え方などを教えて頂けたら良 かったなあと思います。それと、講義の最後に書いていた、感想文というか講義のまとめとい うか・・・分かったこと教えてもらったことを、自分の言葉で書くっていうことで、とても難 しかったです。自分では分かっていても、それを人に伝えるというのは、難しいということを 改めて感じました。これから教師を目指す者として、自分の言葉で表現する力を身に付けるこ とは、とても重要だと思いました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- やはり数学を嫌いな子は今でも多いようなので、数学教育は他の教科に比べて難しいのだな と思います。しかし、その分とてもやりがいが有ると感じました。私は数学が好きなので、子 どもたちにも同じように、数学を好きになってもらえるような授業をできる教師になろうと決 意しました。 私たちの生活ととても関連の深い数学を好きな子がもっと増えるように、私たちは日々努力 しなければいけないのだと思います。 ４９Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論の講義を受けた中で、数学は、わからなくても何かのきっかけで何か１つ 理解できると、そのまま全体がすんなり理解することができる面も持っているとい うことを身をもって感じた。また、単位や情報処理については、自分のこれまでの 経験や日常、そしてこれからの生活に近いものだったので、興味を持って取り組む ことができたと思う。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- これらの体験を踏まえて、数学教育はなるべく日常のもの、身近なものに例えて感 覚的にわかりやすくして単元に入ったり、時々途中で、自分は今どんなことをして いるのかと振り返ったりしながら行うと良いのではないかと感じた。また、特に中 学生以降であるが、一度数学で躓いてわからなくなってしまうと、そのまま苦手と してしまってその後の学習まで難しく感じてしまう子どもがいるように思われる。 そういった子どもたちが、どこかで「これはわかった」と感じ、少しでも「数学は 面白いところがあるんだ」と思えるようにしていけば、『数学嫌い』な子どもを減 らしていけるのではないかと感じた。 ５０Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 今回の数学概論の授業を受けて、数学を久しぶりに勉強してみて、やはり高校の時に 比べ自分の数学的思考力の衰えが切に感じられました。 しかし、先生の「一日のうちに出来るだけ分かろうと努力し、苦手分野を無くすこと が重要だ」という言葉を受けて、自分なりに頑張ってみました。時にはどうでもいい 質問を先生にしてしまうこともあり、申し訳なかったです。「小学校以下だ！」と言 われた時には相当ショックを受けましたが、逆に起爆剤となりテスト勉強を頑張るこ とができました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 算数や数学は、私は小学校の頃から居残りをくらうほどの苦手分野であり、どうして も好きになれませんでした。ですが、中学、高校と、やる気のある素晴らしい先生に 恵まれ、まだ「苦手」ではあるものの、数学に対する構えのようなものはいつしか取 り除かれていました。そして、やればできる！と思えるような、自信を持てるような 結果が高校のセンター模試で出たときに私と同様に喜んでくれた先生の笑顔が今でも 忘れられません。 今の教育は習熟度別のクラスでの授業が主流ですが、私のクラスでは個人の頑張り次 第で年三回、下克上が行われる仕組みになっていて、それが余計に生徒たちを頑張ら せる要因にもなっていました。昔は一斉に皆を同じスタートラインにおかせ、同じだ け詰め込んでいたと思うので、それよりは個々人の能力にあったきめ細かな指導がで きると思いました。私はそのような環境の中で数学を学ぶことができてよかったです。 これからも出来るだけ家庭教師のバイトなどを通じて、数学や算数の勘を無くさない ようにしていきたいです。半年間、授業をしてくださり、ありがとうございました！ 講義全体としては、高校時代に文系と理系で学習の程度に差があって内容的に難しい ところもあったかもしれないが、ある課題に対して自分で考えていく時間が十分にあ ったことが、良かったと思う。もう少し、学生同士が互いに教えあったり相談しあっ たりするような場面があれば、学生たちの積極性がもう少し増して、良いのではない かと感じた。 ５１Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 今まで自分が受けてきた数学を掘り返してじっくり考え直すような内容だったと思い ます。最初はＰ進法について学習しました。Ｐ進法についてはこれほどまでに考察し たことなく、公式の導き方、発展など、新たな発見の連続でした。次は図形について 学習しました。ここでは最終的に黄金比の内容に帰着するものでした。黄金比につい ては中学校の時に少し学習しただけで、それがどんな意味合いを持っているのかと いったことは全く考えていませんでした。しかし、今回の学習で、黄金比が持つ意味 合いや、数学的な広がりを感じることができました。とてもおもしろかったと思いま す。いずれにせよ、この数学概論は今まで習ってきた数学の思考のしかたとは大幅に 異なり、考えるということを重視して取り組むようなないようだったと思います。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 正直言って私は数学があまり好きではありませんでした。そしてこの気持ちは今もあ まり変化はありません。私のこの気持ちの源泉は中学時代の数学の受け方にあると 思っています。当時の先生は私たちに数学を押し付けていたような観があったので す。もちろん私にもだめなところがあったのですが、もう少し生徒に考えさせ、楽し く取り組ませるような教育があったならば、いい授業が展開されていたことは間違い ないと思います。 現在の教育は知識重視・偏重の教育だと言われています。学ぶことの楽しさが存在し ないと、やる気は起こらないし、新たな感動は生まれてこないと考えています。数学 に関しては、ただ公式を覚えさせるのではなく、その公式が出来た経緯・背景などを 同時に学習することができ、生活に直結した数学が習得できたなら、数学はもっと楽 しいものになると確信しています。私は、数学に限らず、子どもたちに自ら学ぶ意欲 を燃やし、その教科について発展を進めていけるような指導を理想としていきたいと 思っています。そのためには前述したように、生徒主体の授業を展開しなくてはなら ないと思います。これからの教育に大切なものはこれに尽きると考えています。 ５２Ｒ 各項目での感想を一言にしてまとめた ○P進法 普段の生活では10進法ばかりなので他の進法を扱う時にとまどった。しかしこれは普 段つかっているものしかみえなくなってそれが当たり前に感じてしまうけどコン ピュータでは2進法が普通になっているわけでもっと多面的な見方が必要であると感 じた。 ○図形 紙の大きさから話しがあったがいつもコピーのとき紙の大きさがわからずいちいち確 認していたけど話しを聞いてそういう風に決めていたのかと思った。数が大きくなる のに紙の大きさは小さくなっていくので混乱していた。長方形の形から黄金比の話し になって三角関数の話しになって正五角形と話しが広がっていって数学の世界は広い なあと感じた。 ○フィボナッチの数列 理解するのに時間が一番かかった。組み合わせと順列の区別をして最後は漸化式まで いった。ここでも黄金比がからんでいて奥が深いと感じた。 数学と数学教育に関して授業を受ける前と受けた後の考えの変化（全体的に） 上の質問に対して私は今までの数学教育を自分自身がどのように捕えてきたかを中学 校と高校と大学と順をおって書いていくことにしました。 @中学校の頃 私は中学高校と特別数学が嫌いではありませんでした。だからといって数学ができた わけじゃなかったですが。とくに図形の問題が好きで中学校での空間図形のところは 大好きでした。図形をいろんな面から見てこういう考えでとくかそれとも他のやり方 か・・・と解く間にいろいろ思考錯誤していくのが面白かったのを覚えています。あ と中学校の先生が大好きで自然と苦手意識がありませんでした。 A高校の頃 高校に入って大学受験でセンター試験用の問題を解くうちに数学はパターンを覚える ものだと自分の中で決めつけてしまいセンター特有の問題に慣れた頭になってしまい ました。この文章表現がきたらこの公式でこういうやり方で解くんだという思考回路 ができていました。しかしこれでは傾向が変わった問題が出た時が困りました。こん な問題見たことないから解けるはずが無い、とあきらめてしまうようになってしまい ました。数学本来の考えることをしなくなってしまいました。その頃から数学が好き でもなく嫌いでもない感じになっていました。 B大学に入って まず大学に入って数学を解く機会がとても減りました。今センター問題を解く自信は ありません。今回数学概論を受けてみてとても久し振りでどんなことをするのかと 思っていたらいきなり最初からP進法からはじまって驚きました。私は二次関数とか ベクトルとかするのかなっと思っていました。しかも私はあまりP進法が得意ではな かったのでどうしようと心の中で感じていました。どうして私が苦手であるかという と文章をよんでその文章から何を求めるかを読み取らなくてはいけないからです。私 の頭の中のパターンが使えないからです。私は考える力がないんだなとつくづく思い ました。全体を通しても普段やらないような事をやったのでとても新鮮でした。数学 で大切な考えることを再度確認することができました。たぶんこの講義をうけたから 今までのがあまりにも考えることをやっていなかったのだなあと感じる事ができまし た。 新しく知ることができたことをあげると ○数学を数学としてだけで捕えるのではなく日常のことなどのいろんな見方をもつ。 ○一つ一つの問題が単独なのではなく関連つけて最初にわかったことを次にどうやっ て生かすことができるか ○分かった事＝説明できるではない ○黄金比が沢山の所で利用されている ○気付くことの大切さ ○単位の間隔を生活の中に取り入れることで算数教育に役立てる ○抽象的なものと具体的なものを結びつける ○普段いつも見ているものが当たり前の様にみえるが実はそうではない（片寄った見 方をしている） ５３Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論の講義を受ける前、数学は好きな方だったので久しぶりに数学に 触れることが出始まってみると、これまでの数学の授業とは違ってうまく 授業内容をつかむことが出来ず、始まる前のやる気がどこかへ行った感じ でした。毎回の授業の後に「今日は何を学んだのだろう」と授業自体を理 解していても、それをどのように使うのかがわかりませんでした。これま で、よく「何のために数学をやっているのだろう。」と思うことがありま した。でもそれは今回の講義を通して何となく分かりました。私は何をす るにしてもそのものごとに意味を求めすぎていたのだと思います。そして、 自分が分からなくなったときに「何のために・・・」と考えることで、そ のときぶつかった問題から逃げようとしていたのだと今思います。意味付 けは逃げ道作りだったのでしょう。うまくつかめなかった数学概論の授業 を終え、それでもテストは解け、最終的には何かをつかんでいる自分が今 ここに居ます。このように途中があやふやで最後に理解できることは倍以 上に嬉しかったです。数学という教科は時として意味を求めずに学び、教 えることも必要だということを感じました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 今回の講義では上記のようなことを感じることが出来ました。それは数学 教育においてとても大切なことです。それからもっと数学教育にとって大 切なことは楽しむことだと私は思います。小、中、高どこで教えるにして も楽しいのと楽しくないのでは子どもたちにとって大きく違ってくると思 います。講義の最後に出た誕生日当てゲームのような、学びながら、みん なで一緒にできるものを取り入れることで子どもたちのやる気を引き出す こともできるし、子どもたちの主体性、積極性がより発揮されると思いま す。数学の「学」の字がもし「楽」の字だったらもっと子どもたちもとっ つきやすいのではないでしょうか。私は小学校へ行きたいと思っているの で、なおさら数の楽しさを子どもたちとわかり合うことが大切だと思いま す。 ５４Ｅ 文系として入学した私は,大学に入学すれば「数学」という学問に触れる ことはないと思っていました。しかし,そんなに甘くはありませんでした。 時間割表を見ると「数学概論」という文字が私の目に一番に飛び込んで来 ました。すごく心配でした。先輩に聞くと,「難しいよ！」という言葉が返 って来ることが多く,その事がますます私を心配にさせました。そんな気持 ちの中始まったこの講義は,全く私の考えていたものとは異なりました。高 校までの「数学」の授業とは全く雰囲気が違い,楽しい「数学」の時間でし た。「数学」というよりはむしろ「算数」のような感じもしました。とに かく,菅原先生やTAの方が大変よく指導してくださったので,数学が嫌いな 人も楽しめるものだったと思います。私の中でも気持ちの変化がありまし た。これまでは,「私には数学の問題は解けない。」という負の考え方が先 行していました。それは,高校までの数学教育がワンパターンの教科書の解 き方を中心とした教育だったからだと私は思います。今回の概論では,1つの 問題でも様々な角度から捉えればたくさんの解き方があるという私が今まで に受けた授業にはない革新的なものでした。中にはそういう先生もいるのか もしれませんが,実際問題として少ないと思います。 私は今塾で中学生に数学を教えています。それで感じたのは今の子どもた ちは計算ができないということです。しかも諦めも早いです。問題を見てで きるできないを判断しています。解こうともしないでなぜすぐに諦めてしま うのか私にはわかりません。もう1つ驚いたことがあります。それは「円周 率」に関してです。私たちが学習したときは「円周率＝3.14」でしたが,今 は「円周率＝3」で習うそうです。信じられません。また,子ども達にとって それはマイナスの効果であると思います。円周率を学習する前に小数の計算 を学習しますが,その計算の練習というか,小数の1つの使う場として円周率 があるのではないでしょうか。そこに今の数学教育に矛盾を感じます。 学力低下と言われていますが,だからと言って基礎事項の練習の場や実際 に使う場を失わせては意味がないと思います。もっと日常生活に密着した 「数学教育」というものを子ども達に提供すべきだと強く思います。 ５５Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 授業に関しては初めとても難しく感じた。P進法について学んだ時も、大きな数が 並んでいて難しかった。しかし、ややこしく感じたことも規則性や構造を見つけてい けば、今までとは違った見方ができることに気付いた。そして意外にすっきりしたも のに感じた。また1つの規則性を見つけ、さらに詳しく規則性を見つけることによっ て新しいものが見えてくることが興味深かった。 フィボナッチの数列については、結果にたどり着くまでは長くかかったが、過程を 根本から理解していれば公式も確実に理解することができた。このことから公式は覚 えるものではないということを痛感させられた。 また、数学概論の中で数学は生活とかけ離れたものでなく役立つものである知り、 そう考えると楽しく思えた。 これまでの高校数学のように問題を多く解くのではなく、なぜそうなっていくのか ということを考えていくことは難しい反面、それを完全に理解すれば案外単純なこと をしてきたようで興味深かった。数学は覚えるものではないと思ってはいたが、数学 概論の中で公式の意味等を考えていくという経験を実際にすることができ、改めて数 学は覚えるものではないということを再認識した。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学教育に関して私が重要だと思うことの１つは筋道を立ててしっかり考えるとい うことである。ただ公式や解答をまる覚えすることは意味がないのである。たとえ問 題が解けたとしても、どうしてそうなるのか、その根本は何を意味しているのかを理 解した上で解いていかなければ自分のものとして身につけたことにはならないと思う し、他の公式や考えへとつながっていかないからである。考える癖をつけることは数 学の力を伸ばすだけでなく、日常生活をしていく上でも、物事を理解する力になる等 様々なことで役立ってくると私は思う。 2つ目に重要だと思うことは教師が子ども達に数学の楽しさを分かってもらうとい うことである。数学は難しいと感じることがよくあるが、解れば楽しいし充実感が得 られるものである。その楽しさを教えられるようにすることは数学を理解してもらう 上で大切であり、楽しいと思えるからこそ興味深く取り組め、もっと知りたいと思 い、考えることへつながるはずでる。こうできるためには教師自身が数学を根本から 理解していることは欠かせない。また、苦手意識を持たせないためには数学を日常生 活とかけ離れたものとしてではなく、関係しているのだということを意識させながら 授業を展開していくことである。このことは加比の理から内分の話について学習した 時に特に感じたことである。 さらに、ひとつのものを様々な角度で理解していくことである。こうすることで 違った見方ができ、さらに理解を深めていくことができる。 このように数学教育を充実させることは、数学を理解するだけでなく、子ども達に 考える力をつけさらには生きる力を身につけさせることへとつながるのではないかと 私は思う。 その意味でも数学教育は子ども達に考える機会を与える時間であり重要なものであ る。 ５６Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 授業は本当に高校で学習した内容から一歩踏み込んでいて、高校で学習した内容 を忘れつつある項目は少し受けていて苦しかった。しかし、ちゃんと前回のとこ ろを復習して次回の授業が続いた内容であれば、ほんとうにわかりやすく授業を 受けられました！ レポートも数学なのに図を使わず説明する機会など無く、これは内容をしっかり 覚えている人でないとレポートがしっかり書けないと思いいつもあせっていまし た。 でも私はその機会を得られたことで、長々と説明するよりも短時間で的を得た発 言やレポートを書いた方が自分以外の人にとってもとてもいいことだと気づけま した。 私にとってはすごく大きな発見で、今までのレポートなどの書き方を変えるきっ かけになりました。 ●数学と数学教育に関する考え… 私は数学といったら、法則など知識などの数学と、法則などを作り上げるまでの 考える数学が思いつきます。 知識など今私たちが使っているものも数学だし、数学者などが考えながら、また 新しい法則を見つけるのも数学です。そんな新しい法則や、事実を見つけようと する活動が数学にとって大事なものではないかと思う。 これが、私の数学に対する考えです。 だから私が、もし教師になれたら子どもたちに算数がまず数学の基本であること、 そしてそれを使えば今まで知らなかったことも理解できるようになることを教え なければいけないと思う。 そのあとの数学教育では、もし私が数学教師なら知識だけの法則を使わせて問題 をとかせるのでなく自分の今まで習った内容で法則を考えられそうにないかまず 生徒自身に考える力をつけてほしい。 考える力は繰り返すことでついてくるからその大事な経験になると思うからです。 だから、数学教育は以上に述べたことを私なら大事にすると考えました。 ５７ 私は、この講義を受けることができて良かったと思います。なぜなら、この講義 のおかげで忘れていた数学についてのことを思い出すことができたからです。高 校までは、かなり数学という教科に自信を持っていたが、いまとなっては、頭の 片隅に残っているもののほとんど忘れてしまっていました。この講義によって、 数列のこととか思い出せましたし、なによりも物事を考えることができて良かっ たと思います。この講義は、もともと数学が得意だった理系の人たちだけが受け ているのではなく、文系の人も多数受けていました。それなのに結構難しいこと を講義で行ったのは、物事を別の方向からみる力を養ったり、考えて答えを導く 力を養ったりするためなのではないのだろうか。その点この講義は、すばらしい ものだったとは思うが、なにぶん難しすぎたとも思う。もうすこし簡単なことを 教えても良かったのではないか。只単に教授の自己満足という形の講義になって いた。私は、もっと生徒を引きつけられるようなおもしろく、尚かつ教えること の狙いを遂行できうるような講義をしたい。 ５８Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論という授業でP進法の考え方、またフィボナッチの数列や黄金比につ いて学んだ。数学といえば、高校までやっていたように基本を理解し、それを 応用し複雑な計算問題を解いていくことを思い浮かべるが、この授業ではどち らかというとパズルを解いていく感じで取り組むことができた。もともと数列 という分野は苦手だったのでフィボナッチの数列はあまり理解することができ なかったが、P進法のところは完璧に理解することができて面白かった。難しい 計算問題がいやで数学科ではなく、頭の中のイメージである程度結果を予測す ることができる物理学のために理科を選択したが、数学もこのような問題ばか りなら面白いと思った。現在の高校までの数学の授業では公式を無理矢理詰め 込ませ、計算問題を解けるようにさせるだけだから、子どもたちは覚えるばか りになり、数学を嫌いになるのではないかと思う。数Vや数Cなどの複素数平面 や微分積分では問題の状況を読み取るのも難しいので本当に理解している人し か解けない。このような授業ばかりだから数学嫌いの子どもが増え、学力低下 につながっていくと思う。もっと基本的なことからきちんと理解させていくよ うな教え方をしないと、詰め込ませるばかりの教育ではいけないと思う。私は 理科や数学も同じようにイメージすることが大切であると思う。頭の中でイメ ージすることで問題は解けるし、また逆に言うときちんと理解していないとイ メージすることはできない。将来、私が教師になったら、このように自分が望 むような教育を実現させたいと思う。 ５９Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 数学科教育の授業では高校とはまた違った内容を学習し、とても おもしろかったです。新しく知ったことも多くて授業はとても充実 したものであったと思います。特に黄金比にいたってはその存在す ら知らなかったので、とても驚かされました。さらにこんな見方が あるのか、このような考え方があるのか、このようにすれば子ども も分かりやすい、など数学の内容だけでなく考え方やとらえ方まで 学ぶことができました。これは数学以外にも使えることで新しい一 面を見つけることが出来たような気がします。今回の数学科教育の 授業は私にとってとてもためになるものであって、さらにとても意 義のあるものとなりました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学教育に対する考えについての私の見解について以下に述べる。 私が小学、中学、高校という学生生活を送ってきて友達が最も嫌 いという教科が多かったのが数学である。私自身は理系ということ もあって、さほど数学嫌いではないが、高校の時は好きであるとも 言えなかった。その原因は解けない問題が増えたという事が第一の 理由としてあげられ、やはり点数が取れなくなってくるとつまらな くなってくるのは当然である。さらに学校の数学は一回つまずいて しまうと取り返しがつかないようになり、先生やクラスも待ってい てはくれないし、だんだん周りより取り残されていくのは自然な流 れである。内容も芯から理解できるものは少なく、ただ公式を丸覚 えして解き方だけを習うというのがほとんどである。このようなこ とがあるから数学が嫌いになる子どもは増える一方である。これを 改善するためには教師がもっと数学を楽しく学べるような工夫を考 えたり、公式なども丸覚えさせるのではなく、公式を自ら導かせて より頭の中に鮮明に残るようにするような働きが必要だと思う。や はり今の状況を変えなければ数学離れしていく一方であるので、一 刻も早い改善が必要だと考えられる。私達がこのような事態を大き く受け止め、より良い数学の授業が行えるように考えていかなけれ ばならない。 以上が私が考える数学教育に対する考えである。 ６０Ｄ ----- 授業全体の感想 ----- 今回、数学概論の講義を受けて一番強く感じたことは、数学はお もしろいということです。私は、中学のころから正直、数学が得意 でありませんでした。今回の講義では、数学の最も基礎となること を学ぶことが出来たように思います。一番始めに習った、１０進法。 高校の時には２進法までしか習っておらず、１６進法を習い、理解 したときはとても嬉しかったです。今までに習った数学の根本的な 意味を理解できたように感じます。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は私たちの生活に最も身近な教科だと考えています。そのた め、子どもたちに数学を教えるとなったとき生活に身近なことを例 に出して授業を行うとより理解できると感じます。私が今まで習っ た授業は、自分の生活に全く関係していないような授業のように感 じていました。そのため、勉強しても意味がないというようになっ てしまいました。数学が嫌いな原因はそこにあるのではないかと考 えます。数学が生活の一部であるということを実感しながら勉強し ていくことで、より数学を理解することにつながるのだと思います。 ６１ 今回数学概論Tを受講し、単元ごとの内容を理解するだけでなく、 子どもたちに分かりやすいよう教えることができるようにならなく てはいけないのだということを実感した。P進法は高校であまり詳 しく学ばなかったが、この講義中に学んでおもしろいと感じた。最 後の授業で行ったP進法を使った誕生日あてゲームなども授業の中 に取り入れると生徒も楽しみながら学習できると思った。毎回授業 の最後にその日の講義の内容を振り返ったり感想を書いたりしたこ とで、数学概論Tに関しては学習内容をしっかり整理することがで き、よかったと感じている。テストでよく分からなかった漸化式の 問題の復習はきちんとやりたいと思った。 ありがとうございました ６２Ｄ 講義全体を通して、数学また数学科教育について 私は、“数学とは受験科目として『解く』ということが重要であり、数学 を学ぶ上での最終目的は問題を 『解く』ことにある”という考えを持っていた。私 自身もともと問題を解くことが好きであったし、主要5科目の中で数学が最も得意で あったため、講義でも出された問題を解くことはできるだろうと思っていた。しか し、講義を受けていく中で、数学は『解く』ことが目的ではないということに気づか された。今まで何気なく使っていた黄金比にも、発見した人や発見するきっかけとなっ た出来事があり、数字ひとつひとつに意味があることを学んだ。法則の理論を理解し て使ってこそ、本当に自分の力になるのだと思った。 今回私は、自分自身の数学に対する考え方を改めることができた。将来教師 として、子どもたちに数学を教えていく中で、私は今回学んだように、子ども たちひとりひとりが『解く』ことに重点を置くのではなく、『解く』までの過 程に興味を持つようになってほしいと思う。数学の問題は、その他の教科の問題と違 い、答えはたったひとつしかない。しかし、考え方や解くための方法は多くあ るのである。私は、今回の講義を通して、そのことを学んだ。数学の本当の おもしろさはそこにあると思う。このことを、子どもたちにわかってもらう ことが、数学においても、また数学科教育においても最も大切なことであると思 う。 ６３Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 最初の授業で、先生が「授業がわからなくなるのは、説明を聞いて ないからだ」とおっしゃった時、今までの自分を振り返ってその通 りだったかもしれないと感じた。苦手、苦手と決めつけてしまって いて、説明を聞くことをおろそかにしていた。実際、授業の最初の 段階でそのように言われてその授業をしっかり聞くと、よく理解す ることができた。進法や幾何学、数列の授業すべてが理解すること ができた。ただ、最後にした数をあてるゲームは、よく説明を聞い てなく、テストではできなかった。このとき、本当に説明を聞く、 人の話を聞くことの大切さを痛感させられた。また、進法や単位な どの授業では、物事を違う視点から考えることを教わった。発想の 機転という感じも受けている。数学の授業であったが、それ以上に 人の話を聞くことの大切さや違う視点から考える、発想のやわらか さに気づくことができた授業だった。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 現在の社会の状態では、やはり偏差値、高学力が望まれていると 言える。教育もそれに応えるかのような教え方になっているのでは ないかと考える。つまり、受験をたえず意識した教え方、授業では ないかということである。数学の場合は特にそのことが色彩強くで ていると思う。基本的な考え、やり方は簡単に教え、受験で勝つた めのノウハウを深く教える、そのような授業である。少なくとも私 が高校の時受けてきた数学はそうであった。理解というよりは、つ め込みという印象であった。これは本来の数学科教育とはほど遠い ところにあると考える。私は本来の数学科教育とは、数学を解く楽 しさを教えるところにあると考える。その意味において、今回の数 学科概論のような授業がもっと広く行われるべきだと思う。確かに 私たちに受験のプレッシャーはないと言え、解く楽しさを知った授 業であった。ゆとり教育が進む中で、つめ込み教育から数学を脱却 し、解く楽しさを学ぶ授業が展開される社会を目指していくべきだ と考える。 ６４Ｒ 今回数学概論Tを受講し、単元ごとの内容を理解するだけでなく、 子どもたちに分かりやすいよう教えることができるようにならなく てはいけないのだということを実感した。P進法は高校であまり詳 しく学ばなかったが、この講義中に学んでおもしろいと感じた。最 後の授業で行ったP進法を使った誕生日あてゲームなども授業の中に 取り入れると生徒も楽しみながら学習できると思った。毎回授業の 最後にその日の講義の内容を振り返ったり感想を書いたりしたこと で、数学概論Tに関しては学習内容をしっかり整理することができ、 よかったと感じている。テストでよく分からなかった漸化式の問題の 復習はきちんとやりたいと思った。ありがとうございました。 ６５Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- 授業全体の感想としては、まず初めて知ったことがたくさんあり驚きが多かっ たということです。初めて知ったことの内容をあげると、まずP進数を10進数に 直す方法や、8進数や4進数に直す方法です。次に図形には色々な定義があるとい うことです。今まで自分は図形を少ししか見ていませんでした。しかしもっと図 形をくわしく見ることによって、もっとより多くの定義や法則などを発見できる ことがわかりました。また黄金比というものもはじめて知りました。黄金比とは どのような数かというと、一つは（１＋√5）/2と、1.618039…と、１を引くと 逆数になる数など様々な言い方があります。一番難しかったのがフィボナッチの 数列です。自分が数列が苦手ということもあり、今でもよくわからない部分があ ります。最後にこの講義をとおして思ったことは、数学は途中の過程をはぶくか ら嫌いになると言われましたが、確かにその通りだということです。そして数学 は細かく途中の過程をきざんでいけば、おもしろいものだと気づきました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学教育については教材の具体的な目標や内容そのものだけでなく、指導に際 しては次の点も考慮し、学習を効果的にしなければならないと思います。 ○生徒がその教材に興味・関心をもち、自主的・自発的に学習するにはどうした らよいか。 ○教科書・教材・教具や教育機器を効果的に活用するにはどうすればよいのか。 ○数学にはどうしても生徒の学力差がでてくるが、なるべくひとりひとりの生徒 の学力の実態を把握して、それなりに伸ばしてやるにはどうすればよいか。 ○指導した目標が生徒にどのくらい達成されたかの評価をどのようにすればよい か。 上のどれ一つとっても、容易なことではないですが、絶えずよりよい数学教育を 目指していかなければならないと思います。 ６６Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- この数学概論では、高校のときと同じくらいのレベルの数学 を学びました。私は数学が苦手です。高校に入り、難しくなっ ていくのにつれ、解けない問題や理解できないことが増え、次 第に、わからないところをわからないままにするようになりま した。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学嫌いの子どもが増えている今、私のように、数学に対し て苦手意識を持ち、一つ一つの公式などの意味をしっかり理解 できていない人が教師になっても、説明がぐちゃぐちゃになり、 子どもたちに数学(算数)の楽しさをきちんと伝えることは難し いと思います。だから、私は自分のために、そして子どもたち のために、努力したいと思います。 この授業を受けて、きっと先生の言ったことの半分くらいし か理解できていないと思います。しかし、私がここで高校生の ときのように、わからないことをそのままにしておくことは、 先生に対しても、私が数学(算数)を教える子どもたちに対して も、とても失礼なことだと思います。なので、複雑な問題や計 算は、分解することで、わかりやすく簡単なものになるという こと、また、日ごろから数学と日常生活を結び付けて考えるこ とを頭に入れておき、自分の言葉で他の人へ説明できるような 理解ができるようこころがけ、わからないところは最後まで追 究したいです。そして、理解したことを子どもたちにもわかる 言葉で表現し、教えることで、子どもたちも自分の言葉で説明 できる、といった理解ができるような授業を作っていきたいで す。 久しぶりに数学に触れて、忘れかけていたことを思い出すき っかけとなりました。このきっかけを有効に利用し、先へとつ なげていきたいと思います。 ６７Ｄ 履修届を記入する際、時間割で「数学概論」という文字を見た 瞬間、正直な所「どうしよう・・・絶対難しいだろうし、初等教育 で何で数学なんてあるんだろう？本当に嫌だなあ。」と思いました。 でも実際講義を受けてみると、回を重ねるごとに、これまで自分 の生活から完全に切り離して考えていた数学が、ちょっとずつ結 びついてきました。ただ、講義の最後に提出するコメントでも書 いたことですが、第一回目の講義の時に決めた「人に教えること ができるぐらいの数学の力を身に付ける」という目標は完全に達 成することができませんでした。将来子どもたちに数学（算数） を教える立場になるかもしれないのに、自分では問題を解くこと はできても、人に分かってもらえる説明をすることができないの が今の私の状況です。つまり、何となく分かった気でいるけれど、 実際には理解できていないということだと思います。講義を受け て、そのことを改めて感じることができた今ならまだ間に合うと 思うので、今後の数学教育に必要と考えられる、身近な事象に結 びつけて考えることの、もっと確かな力を身に付けていきたいと 思いました。自分のような数学に苦手意識を持つ子どもたちを少 しでも減らすために、自分の数学に対する苦手意識がどこから来 ているのかということを、もう一度じっくり考え直し、数学教育 に関わっていこうと思います。 ６９Ｄ 私は数学が非常に苦手で、数学概論という授業にとても不 安を感じていた。しかし、P進法や図形を自分で解くことが楽 しく感じられ、改めて数学の本質がわかったような気がした。 その日の授業で理解できなかったところが多々あった私にと って毎回のレポートは実際困難な部分があり、すらすらとレ ポートを書き終える人たちを不思議に感じていた。私にとって 数字や記号のみで表されたものを文章にするのは非常に難 しかった。それは今まで数学を暗記教科としてとらえていたた めだと思う。公式も見たまま覚えればいいのだから、その意 味を考える必要はないと思っていたのだ。 しかしやはり文章で人に説明できるようにならなければ、本 当に理解しているとはいえないとこの授業で再確認させられ た。また、P進法を表に書き表したり授業の最後に行ったよう なゲーム式の問題は、子どもたちの数学教育にとって欠か せないものだと感じた。子どもたちがそれらに興味・関心を抱 き、数学に対する意欲を高められれば良いと思う。数学嫌い な子どもをなくすには早い時期から数学を好きになる必要が あると私は感じた。 ７０Ｄ 今回この数学概論を受講して、今までの「ただ公式を覚える数学」 とは違う、公式の本当の意味、公式のでき方について考え学ぶこと ができた。特に「組み合わせ」の講義では、色々な例題を元に、表 や、絵を用いて、なぜその公式にたどり着くのかを知ることができ た。高校の時に学んだ際は、ただ覚えた公式を問題に当てはめて解 いていたため、いつもどこかに疑問が残っていた。当然人に教える のも自分が納得していないため、困難だった。公式のできるまでの 過程を学ぶことができて、本当によかったと思っている。また、黄 金比については、はじめほとんど理解できなかったが、途中からわ かってきた。しかしながら、フィボナッチの数列については、最後 まできちんと理解することができなかったのが、ざんねんなことで あった。自分なりにもう一度ノートを見直すなどして、学習してみ ようと思う。 講義ありがとうございました。 ７１Ｒ 数学概論では主に数の規則について学習した。 講義の際、頻繁に例えが用いられていて比較的わかりやすかったと 思う。また、そういったイメージしやすい授業の仕方というのはと ても大切なことだと思った。 それは数学だけでなくすべての教科についていえることである。 私は大学では理科を専攻しているので数学と関わる機会も多い。 数学は好きな教科だが、今回の講義を受けて、簡単な数列だけでも とても奥深いと感じた。 黄金比はデザインの分野でも頻繁に出てくるものなので、今回の講 義でその理屈を理解できてよかったと思う。 大学に入ってから数学を勉強する機会がほとんどなかったのでとて も貴重な講義だった。 ７２Ｓ 数学は私の最も苦手とする科目である。だから、授業中に理解する ことができないし、人が簡単だと考えているところも私にはとても 難しく感じていた。授業後の感想もなにを書くか毎回悩んでいた。 授業内容自体はフィボナッチの数列や黄金比など聞いたこともなか ったので難しく感じたが、興味深くもあった。また応用でやった数 当てなどもおもしろかった。算数、数学は教師になる上でもちろん 必要である。大学で数学の授業をもういちど勉強し、高校で勉強し てきたことをすっかり忘れていることに気がついた。これでは教師 になどなれないと思い。今数学の勉強を懸命にしている。何故数学 が嫌いになったのかといえば、理由は授業があまりおもしろくなか ったからである。小学校で算数をしているときからそうかんじてい て、中学校、高校に入ってもそうかんじていて、勉強に失敗してし まった。今体験的な授業が非常に大事にされてきている。わたしは そういった授業は本当に必要だと思う。小学校の頃は自ら体験して 行うような授業は楽しみの一つでそのおかげで社会などは大好きな 教科になっていた。考えてみると、算数、数学にはそういった授業 が少なかった気がする。授業の内容のことを考えると体験的な授業 を行うにはむずかしく、教科書中心の授業になりがちなので、私が 教壇にたつときは気を付けて、教材などをよく利用し、子どもたち の興味を引くような授業をしようとおもう。 ７３Ｓ 今回の数学概論を受講して感じたのは、数学は公式だけを暗 記して関わる教科ではないということです。 私は昔から算数・数学が嫌いでした。計算が嫌いだったわけ ではありません。考える過程が頭の中で整理されていなかった り、理解できていなかったりしていました。それは、いくつも の虫食い穴みたいになり、いざ何かの問題に直面し解かなけれ ばならない時になると、その過程に必要な知識の引用ができな くなっていました。そのながれのまま、ずっと私は「私は数学 は嫌い。才能がない。」と思っていました。しかし、まったっ く数学に興味がなかったわけではありません。二次関数などに は興味がわき、よく先生に質問に行ったこともありました。こ の授業を受けて「興味はあるけど嫌い」という数学に対しての 私の心の矛盾は「嫌いではなく苦手なんだ」という事実である ことに気が付きました。 算数や数学の授業に限らず、全て科目に関して「苦手を嫌い と受け取らせない」授業を提供する事が教師に求められると思 います。そのためには、実生活と結びつけた授業内容で考える 過程を設けなければならないと思います。そのためには教師の 事前準備や知識が十分になければならないと思いました。 ７４Ｓ 私は小学校の算数を学習する時点で、数にかかわるものが苦手で、 それは中学校・高校に入学しても変わることがなかった。数学概 論の講義を受けるにあたって、どんな難しいことをするのだろう かと本当に不安だった。P進法や黄金比、フィボナッチの数列を学 んでみて、最初は意味が分からないと思ったけれども、期末試験 で一生懸命に数学に取り組んでみて少しは理解できた気がする。 多分菅原先生も私をはじめ、数学が苦手な人が多いと思われる中 で講義をしてこられて試行錯誤をされたと感じる。菅原先生は丁 寧に説明を入れてくれたので、考えやすかった。 次に、数学教育についてだが、数学が苦手な人はとても多いと思 う。なぜ数学に苦手意識をもつか、その原因は理解するまで指導 するための十分な時間がないということが挙げられる。理解でき ないまま先に先に進まれると理解できないことが本当に積もり積 もってしまう。数学だけではなく他の教科にも当てはまることだ が、それが一番の問題だと思う。 ７５Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 数学を学ぶ目的について考えてみた。数学を学ぶことで養われる最も 大きなものは，問題が解けたときに味わうその喜びではないだろうか。 また，物事を深く考える力，決断する強い意志，広い視野で捉えること のできる力は生きていく上で必要な力であり，それを身につけるには数 学的な見方・考え方を学ぶのが一番効果的であると考える。 もし，生きていくうえで，物事に対して短絡的な発想・思考しかできな かったら周囲の誤解を招いたり，判断を誤ったりしてしまうことから， うまく社会に適応できず，自分の能力を発揮できないままになってしま う。社会で自分を生かしていくためにはまず，じっくり考えることがで き，的確な判断ができる能力が必要となる。それを育むために最も適し ているのが数学であると考える。問題解決能力や論理的思考を高めるこ とはもちろん他の教科でもできる。しかし，数学は知識偏重の教科では ないことからも，先にも述べたように問題が解けたときに味わう喜びは 他の教科では得られないものがあるのではないかと考える。 近年，“数学離れがおこった。数学を学習するのをいやがる生徒が増え た。”という言葉をよく耳にする。しかし，そこで“だから数学を教える のは数学を勉強したい生徒だけにしよう。”という誤った考えが出てきた らどうであろう。この考え方は，生徒の学ぶ意欲や学ぶ機会，また学ぶこ とによって得られるであろう様々な能力を始めから奪ってしまうことにな り，数学を学ぶことで身につく生きる力を生徒に育むことができなくなっ てしまう。これからは社会の一員として今まで以上に自己責任が厳しく問 われる時代となる。また，現代では国際交流も一層盛んになり，透明性の ある社会をつくることが世界的に求められている。そのためには，一人ひ とりが，社会が公開し発言する情報の中から必要なものや有益なもの，そ うでないものを正しく的確に判断しそれを活用していく能力を身につけな ければいけないと考える。 このように，数学を学ぶことによって得られる，あらゆる事物を捉えると きに必要とされる様々な能力を，生徒自身が自ら獲得していくために，小 学校の算数科から中学校，高校の数学科へと連続性をもって段階的に学習 を進めていく必要があると考える。加えて，習熟度別学習や異年齢集団と の学習の場を設けることで生徒自身が伸ばしていきたいところや克服した いところを把握し，意欲的に学習が進められていくことが学ぶ楽しみにも つながるのだと思う。そして，そこに数学を学ぶことで得られる最も大き なわかる喜び・できる喜びが生まれるのだと考える。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 私が算数・数学を苦手だと思うようになったのは，小学６年生の後半，文 章問題に難しさを感じるようになってからだ。解答・解説を聞いて考えても， 見て考えてもなかなかそうなる理由がつかめず，いつのまにか算数から遠ざ かっていくようになった。中学に入学して最初に出会ったのが正の数・負の 数でここでは自分のなかに“−（マイナス）”の考え方を定着させるのに本 当に苦労したことを覚えている。例えば，単純ではあるが“−15−29＝”な どという計算を暗算するのに時間がかかっていた私は，頭の中に数直線を思 い浮かべて解くようにした。先生からもそう習っていたのかもしれないが， そのときの授業形式が説明後ひたすら練習問題を解いて順番に答えていくと いうものだったため，自分の当たる問題の答えが間違っていないか確認する のに精一杯で，理解に至っていない状態であった。しかし，先に述べたよう に，数直線上で考えたりして自己学習を進めていくうちに「負の数」がわか るようになり，そのときにはじめて問題に対する理解とできた喜びを実感す ることができた。 今回の講義では，そのときにはわからなかったものも学習を進めていくう ちに何を求めようとしているのか，出た答えが何を意味するのかがわかるよ うになり，先述したような体験と同じような感覚をまた味わうことができた。 大学ではより高い専門性が求められるため，社会科である私は数学に触れる 機会が少ない。初めの頃は苦手意識や抵抗もあったが自分で解けるように なると，意欲や楽しさが生まれ，例えば，二進数を十進数へ，それをさら に四進数へなおしたり，同じ問題で数字を変えて解くことにおもしろさを 感じるようになった。そして，これが児童・生徒の学びに一番必要なもの だと再認識した。 今回の講義を通して，児童・生徒ができる喜びを自ら感じ，「わかった！」 と大きな声で嬉しそうに話す姿が全員に見られるよう，多くの興味・関心が 抱ける授業を展開していきたいと思う。 ７６Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- この講義は講義題目に“概要”と入っていたので、春休みは単位を 落とすのはないかとかなり心配で実家から高校の時に使っていた参 考書も持ってきました。高校の頃は文系で数学はUＢまでしか習っ ていなかったのでそれ以上のことを理解しなければいけなかったら と思うと不安だったからです。 実際の講義では、Ｐ進数や黄金比など習ったことのないものも多か ったですが、数学と言うより、ちょっとしたパズルを解くような感 じで久しぶりに頭を使ったなという気がしました10進数などは聞い たことはあったけど何のことか知らなかったので、理解することが 出来てよかったです。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 今まで数学というものに対して特別な考えというものを持ったこ とはないけど、数学は生徒にとっては最も苦手な教科の一つである といわれているのをよく聞く。やはり、それには数学が理解するの に大変な教科であるということが関係していると思う。ここで、数 学教育に関する考えである。数学教育で大切なことは、私の中学校 と高校の経験から考えると、数学を好きになることと嫌いにならな いことであると思う。難しい教科であるからこそ生徒は数学を敬遠 しがちになり、興味を失い、最終的に数学を苦手な教科にしてしま うのである。 数学を理解する難しさというものは変えようがない。しかし、そ れを少しでも和らげようとする環境は変えることが出来るはずであ る。つまり、生徒が数学に対して興味を持つようになればいいので ある。それには、教師の存在が非常に重要であると思う。教師が一 方的に黒板と授業をするのではなく、しっかりと理解できるように 生徒中心になるような授業を目指すべきである。そのためには習熟 度別に分けたクラスが必要だろう。習熟度別に分けることで理解力 に差のある生徒も以前の授業形態よりも授業を受けやすくなるだろ う。生徒中心というどの教科についても言えることが、数学教育に 関しても重要なことだと思う。 ７７Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 私は数学概論の講義を受けて、数学というのは公式を暗記するので はなく、その公式を導き出すことに意味がある教科だと思いました。 たとえば講義の中では「黄金比」が多く登場しましたが、その「黄 金比」とはいったいどのような性質を持つのか、ただ１＋√５／２ と暗記しておくのではなくその数が出てくる過程について考えなが ら導き出す、といった作業によりさまざまな角度から理解を深める ことができました。 数学のおもしろさはそこにあると思います。数と数の関係を実際 に計算していくなかで理解でき、たとえば「フィボナッチの数列」 の中に「黄金比」が登場したりして新しい事実を発見したりできま す。高校の時の数学の先生は「公式は覚えるな。自分で作れ！」と 言っていましたがその通りだと今感じています。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学というと他の教科より得意・不得意が顕著に現れる教科だと 思います。そのひとつの原因は「暗記する数学」にあると思います。 先に述べたように、数学の醍醐味は答えを導く過程にあります。そ このところが理解できていないと数学を教える教師は良い授業がで きず、数学嫌いを増やす原因になってしまうと思います。 小学校１年生で算数を習い始めるころから暗記によるのではなく、 実際に計算してみて答えを導き出す活動を重視し、数学の面白さを 伝えていく必要があると感じました。将来私が教師になったときに は以上のようなことを心がけていきたいと思います。また、数学の 面白さを伝えることができる授業を行うためには、私自身が数学が 得意でその面白さが十分にわかっていないといけません。現在私は 数学がやや不得意ですが、数学概論の講義の中で学んだことを生か して頑張っていきたいと思います。 ７８Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 私は数学が大の苦手です。なのでこの講義にも初めは不安を抱い ていました。たくさん考えなければいけないという意味で大変で したが、高校のときまでの「暗記」の大変さは感じませんでした。 この講義で学んだことは、数学は暗記する学問ではなく、考える 学問だということです。 公式は暗記するしかないと思っていましたが、考えさえすれば公 式も自分で導くことができると、この講義で身をもって理解しま した。 私が数学のなかで特に苦手としているのが数列で、数列のなかで も特に漸化式が苦手でした。しかし、フィボナッチの数列を考え るなかで、漸化式の仕組みをスムーズに理解することができまし た。公式だけを暗記して、公式の中身を理解しようとしていなか ったことが、私の数学嫌いの元凶だと思います。なぜそうなるの かを考えることこそ数学には必要なことだと実感しました。数学 概論の講義を受けて本当によかったです。 大変でしたが、数学に対する見方がこれまでとは変わり、とても ためになりました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は考えることが重要視される学問だと思います。児童・生徒 が算数・数学を学ぶ際にも「考える」ということをしてほしいで す。考えさせるための工夫は教師がするべきであり、私もその方 法を参加観察実習等で学びたいと思います。結果ではなく過程を 考えることが数学を学ぶ上では重要であり、規則性だけに目を奪 われてやっていても、過程を考えなければ自分の頭には何も残ら ず得るものがないと思います。 小学生に算数を教えるのも同じで、公式だけを学ぶのではなく、 公式に辿り着くまでの過程を学ぶほうが子どもたちの記憶に残る し、得るものが多いと 私は考えます。 数学を考えるさいに注意しなければならないことは、焦って考え てはいけないということです。早く結果を出すことも大切なこと かもしれませんが、 焦らずにじっくり考えることのほうが結果的には得るものが多い と思います。問題を解くのが遅い児童・生徒もいると思いますが、 時間の許す限り考える時間を与えたいと思います。 ７９Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 今回前期日程で受講した数学概論の講義の感想としては、率直に言うと、数学 というものは私にとって、高校時代、文系のクラスに所属していて、大学受験に 必要科目だからという考えから、受験対策、対応だけを重視した中身の薄い学習 したことのない分野であった。それに乗じて、私は、すべての志望大学を数学１ 科目で受験できるような大学を志望していたということもあり、パターン化され つつあるセンター試験対応だけの数学の勉強しかしてきていなかった。さらに、 大学入試から丸一年、全く数学に触れることがなかったため、今回の講義にその つけが回ってき、はじめは全くといっていいほど理解できず、講義についていく ことすら難しい状態だった。しかし、受講を重ねるにつれて、うっすらと私の薄 い記憶が戻り始め、先生の前回分についての復習的な講義があったおかげもあ り、講義の内容の理解も深まっていったように感じる。さらに、黄金比やフィボ ナッチの数列、加比の理といった、私が今まで習ったことのない新しい事柄が出 されるとそれについて理解しようという意欲、また、それはどのような仕組みを 持ちどのようなことがいえるのだろうといった関心が芽生え始めたと強く感じて いる。なかなか最後まですべてのことを理解するところまではいかなかったが、 今回の講義で、いわば数学から逃げてきた私のなかの数学に対する考え方が変わ った。数学に関して「面白い」と感じることのできた今回の講義は自分にとって非 常に有意義で価値あるものであったと感じている。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- この感想を踏まえて私が数学教育に関して考えることは、理解する面白みを実 感させ、数学に興味、意欲、関心を持たせることが数学教育に欠かすことのでき ない重要事項であるということである。私の経験から、問題が「解けた」と一番感 じることのできる科目は、この数学であると考えている。記憶を重視する科目で はなく、理論上で正か否かがはっきり表される数学の問題が解けたときというの は快感であるといえるだろう。その快感が私が感じた「面白い」ということであ り、興味、意欲、関心につながる最も重要なこととなった。理解を進める上で、 時にわかりやすいゲーム形式にしたり、身近な例えに置き換えたりなどすると、 数式や図形だけを並べたものよりも理解が進みやすくなる。そういったことも含 めながら、理解する＝面白いということを生徒達に伝えるような数学教育の成立 を目指すことが必要だと私は考える。 今回の講義を通じて数学というものを考えると、現在の学習低下の問題にも直 結しているように感じる。そのため、数学教育の充実は、教育全体でも重要な役 割を担っているものなのだと強く感じた。 ８０Ｓ まずは、就職活動等で講義を多く欠席してしまったことを謝罪させていただきたいと 思います。 さて、講義ですが、単位の話や、二進法の話などよく解っていなかった事を 色々教えていただきました。数学は正直好きではありませんが、あまり苦痛と思う事 はありませんでした。 思えば、高校で数学のレベルが上がって、ついていけなくなって文型を選んだような ものです。 数学は演習が大事だとは分かっていますが、それとともについていけなくなる人も多 いと思います。 高校数学で数学についていけなくなる人が増えてしまっている理由のもう一つは、 今やっている数学が何の役に立っているのかということが見えにくいことです。 受験にしか使えずに、実際の生活で使えないというのが実情です。 なかなか難しいのは解っていますが、数学を実際の生活のリンクさせて学習させると 面白いし、 理解しやすいように思います。 半年間という短い期間でしたがありがとうございました。 ８１Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論に関しては自分の中にあった知識の回復と新たな知識の習得が主であっ た。最初に出された授業での2進数は、同じ数である１や２がp進数のちがいでまっ たく違う意味を持つということだったが、私は2進数のことがすっかり頭の中から取 り払われていて内容を再度理解するのに苦労した。またそれと同時に、十進数以上の 数、16進数のことは習得していなかったので新鮮味もある授業だった。授業内容につ いては時々理解するのに時間を要するものや黒板の内容だけでは判別できないものも ある自分で考えつつ、周りの意見も使用する結果となった。先生が使用されていた例 −例えば組合せの授業での際のお盆とコップの例−など、最初はどういうことだろう と首をかしげるものであったが、途中から徐々に説明を重ねるにつれ、その意味が解 っていく形式だった。私としても一度の説明で終わらずに何度も皆の意見を聞いて説 明を繰り返してくれていたのでかなり理解深まる授業だったと思う。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 教育学部である私や他の学部の人にとって、数学は重要な学習過程の一つである。 しかし、これらの学問は世間一般を生きるうえではさほど見た目必要とされていな いように見られている節がある。これらの学問は確かに表舞台では見えにくいが社 会の根底において確実に私達の生活を支える一部である。2進数はコンピュータの 処理演算能力の働きに大きく影響を与えている。確立や組合せはそのまま確率論な どで経済、主に商業関係において重要である。数列の概念も計算式に関わるものと なっている。数は文字から派生した学問では文学に次ぐ、世界で最も多用される学 問である。数学はその数を高く高く突き詰めていったものであり、更に可能性を持 つものである。今の数学教育はただ情報を生徒に与え続けるだけで、それが具体的 にどのような意味を持つのかが説明されないまま授業が進んでいく。授業と日常の 関連化は授業理解へのヒントになると私は思う。また問題を解く過程についても重 要だ。解き方にもいくつかの筋道はあるが、無茶苦茶な理論を出してそれが正解し ていても結局「問題を解いた」事にはならないし楚入れまでの授業も学習も無駄と なってしまう。答えが合っていればよいというのではなく、その答えにたどり着く 道筋にこそ醍醐味が隠されている。「合っているかいないか」よりも「いかに解い たか」が重要なのだ。これは逆に言えば教師にも言える「いかに生徒に理解させる か」ではなく「いかに自分が理解しているか」と考え、改善していくことで、数学 の授業は生徒にとってとても有益なものになりえるだろう。 ８２Ｄ ----- 授業全体の感想 ----- 大学における数学概論の授業は、一般的な数学の授業と比べて考える時間が多くあ ったように思う。Ｐ進法の図表作成や最終回の３１種の数字当てゲームなどは遊び心 があり特に面白かった。数の不思議を身近に感じることができた。 私は、いわゆる数学アレルギーの人間である。なぜそうなってしまったのか、自分 史を振り返り、後段で今後の数学教育について考えてみたいと思う。 始まりは明確に記憶していて、中学１年の｢空間図形｣で数学が嫌いになってしまっ た。中学卒業までは数学担当の先生との信頼関係により、なんとか学習困難を免れ てきたが、高校入学後すぐに｢お客さん｣になってしまう。 高校１年次の数学は、途中式を丁寧に書いてくれる先生だったのでノートがわかり やすい反面板書が多くどんどん授業が進むので、授業中は考える余裕もなく機械的に 板書を写すだけで面白くなかった。 高校２年次の数学は、逆に板書が簡略すぎて後で見てもよくわからなかった。また 文系クラスで数学の苦手な生徒が多かったので、授業の進むペースはゆっくりで良か った反面、正規の時間内（週５時間）に授業内容を終えることは困難であった。そこ で日本史や現代文・古典など文系科目を振り替え、数学の授業が週７〜８時間ほど行 われていたため、正直なところいやになってしまった。しかし、数学の苦手な生徒た ちのためにボランティア（？）で授業数を増やし、放課後の補習まで行っていた担当 教員の熱意には頭が下がる思いだ。 高校３年次は数学科目が選択となり、私は履修しなかった。２年間で３年分数学の 授業は受けたという疲れが見えていた。そして今回の数学概論は、実に４年ぶりの数 学の授業であった。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 私自身は希望の勤務先が幼稚園（保育園）・小学校・養護学校小学部であるため、 ｢数学｣というよりもおもに｢数概念の形成｣や｢算数｣の世界をフィールドに子どもたち と関わっていくことになる。しかし幼児期〜児童期の段階で数学的思考にネガティブ なイメージを持った子どもは、なかなか修復が困難になってくるだろう。 ポジティブなイメージを持つために、第一に数学（数概念）と生活を結びつけるこ とだ。まずは｢３｣という数詞、｢さん｣という呼称、｢●●●（具体的な事物）｣をマッ チングさせなければならない。ただ１０まで機械的に発語できるだけではあまり役に 立たない。また、５００−１００＝４００を機械的に早く計算できるよりも、５００ 円を持って買い物に行き１００円のジュースを買ったら４００円お釣りが来ましたと いうような経験を重ね、結果として５００−１００＝４００が理解できるような指導 が大切であると私は思う。 第二に、子どもたちの好きなこと、例えば遊びや食事の中などに数学的要素を意図 的に入れることが考えられる。すいかをどのような切り方をしたらみな平等に食べら れるか、１００円の持ち金でいかに魅力的な駄菓子を組み合わせることができるか、 ジグソーパズルやトランプゲーム、ウォークラリーのチェックポイントにちょっとし た計算を入れるなど生活場面やレクリエーションの実際において様々な配慮が考えら れる。 数学に限ったことではないが、教室の授業だけが学習ではない。また、学習は楽し いことが一番である。楽しくなければ、内容が長期記憶としては残らないだろう。子 どもたちには多種多様な学習場面を提供し、それをきっかけとして個々の価値観にお いてたくさんの発見をしてほしい。 ８３Ｅ 授業中、先生はよく「生徒に分かるように説明しなくてはなら ない。教師の傲慢な教え方で数学嫌いを決してつくってはなら ない。」とよくおっしゃっていました。私はこのことを聞いて 考えさせられたことがあります。 どうして数学は好きな人と嫌いな人にきっちり分かれてしまう のかについてである。その最も大きな理由は、誰もが思うよう に教師の教え方である。 算数の時点ではまだ日常生活に即していないとは言えない。教 科書の内容も日常生活に沿って書かれてある。だが、数学にな った時点で即日常から離れたように生徒には思えてしまい、ま ったく別の世界のことだと思ってしまう生徒は少なくない。そ して、高校では文型と理系にきっぱりと分かれてしまう。先ほ ども言ったようにこのことは教師の取り組み方に大いに関係し ていると思う。 数学の教師に関してのみということではないが、先生という名 のつくものみな多少なりとも傲慢なところが多いのではないか 。教室のみんなが授業中、数学の世界に入りきったものとして 、入っていない生徒にはよくわからないと思われる言葉をしゃ べる教師は少なくない。自分の担当する分野にはとことん自信 を持ってないといけないのは確かではあるが、その自信が傲慢 さになってはいけない。よく、失敗したことのない人には失敗 した人の気持ちが分からないというが、数学でも始めからつま ずかなかった人はつまずいている人には教えることはできない 。こう言い切ることは非常に危険なことであるが、そうでもな いと思うことが最近よくある。 私がアルバイトで教えているある中学生は、多くの人とは極め て異なる感性をもっている。ごく当たり前と思われるような内 容が何度説明しても理解できない。何日か経って「君はこのこ とをどう考えているのかな？」とこちらから尋ねると思わぬ答 えが返ってきた。その後、そのようなことは何度もあった。そ れぞれをよく考えてみると「確かに、そういう考え方もできな いことはない。」ということばかりだ。私のように今まで言わ れるがままに何でもやりこなしてきた者には、疑問に思うはず もないようなことばかりだった。そのような生徒は決して「お かしい」のではない。私はすばらしい感性の持ち主だと思って いる。身の回りのすべての物事に興味、疑問をもっている。そ のような生徒にはその子に合った教え方というものがある。教 師も自分の世界に浸っている場合ではない。ではそのような感 性豊かな子どもは少ないのか。いや、決して少ないとは思わな い。世界中に、日本だけでもどこにでもいると私は思う。その 結果の一つとして、数学は好きな人と嫌いな人にきっぱりと分 かれてしまうのだと思う。 当然、数学に関してのみのことではないが、この授業を通して 教師はできるだけ多くの感性に触れていることが必要だと思っ た。それには非常に多くの経験が必要である。そのことは決し て簡単なことではない。しかし、教師たるもの、人の人生を側 で支えていくことが最も重要な職務だと私は思っている。そう 考えると、当然のことのように、すべくしてすることだと私は 思う。 ８４Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 今までの数学の授業の中では、言葉で表現するということをあまりやってこなか った。公式を覚えれば、たとえそれが理解できていなくても試験に臨み、問題を 解き、それで終わりという形だった。今回の講義を通して、言葉を使って表現す ることで人に伝える方法を練習することができてよかった。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 中学高校のとき、実際の生活と、授業で習う数学とがどのように関わっているの かまったくわからないまま授業を受けていたように思う。公式を覚えて演習をこ なすだけの作業に何も面白みを感じられなかった。日本の子供たちの数学の成績 は世界でもトップクラスにもかかわらず、数学が好きだという子供は少数だとい う調査結果を見たことがある。実際の自分たちの生活と数学をもっと結び付けら れるような数学の授業があれば、もっと興味を抱くことができるのではないかと 思う。 ８５Ｓ ----- 授業全体の感想 ----- この授業では、いくつかの単元で数学をしていったが、なんのためにその分 野をしているのかがわからなかった。だから数学の概論の授業としては、ちょ っとちがうという感じがした。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学は生活する上では、大部分のことを使う機会がないように思う。理系の 専門的分野に進まない限り、使わない公式や考え方もたくさん習っているよう に思う。僕は文系で、難しい数学とはあまり関係のない分野を目指しているの で数学は発想力をつけたり、想像力をつける学問との見方をしている。文系だ から数学は関係ないわけではなく、数学から学ぶべきことはたくさんあると思 う。だから数学教育は必要な教科だと思う。 ８６Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- 私はこれまで学校教育の中で数学の学習は他教科にくらべて好きなほうでした。確か にこれまでの授業の中でわからないこともたくさんあり、おもしろくないこともあり ましたが、受験勉強の中でそんなことは言ってられず、どうにかくらいついてきたよ うなものでした。ただ、今回の数学概論ではこれまで私たちが学校教育の数学の学習 で学んできたものが歴史上いかに発展してきたのか、また現代社会の中にどういかさ れているかなど、わたしにとってはたいへん興味深い講義でした。 たとえば、黄金比についても、聞いただけでは納得できずに図書で調べ、黄金比が名 刺やタバコケース、新書版の本など日常生活のさまざまなところで使われていること がわかりました。なぜここまで人間は黄金比を好むのであろうか、そんな疑問さえ出 てきました。 それから、私たちが日ごろ何気なく活用している１０進法もP進法としてさまざまな 考え方をすると数というものが本当におもしろく感じられました。 授業全体に関しても、はじめの講義でおっしゃった「聞かなければわからない！」と いう言葉の通り、少し聞いていなかっただけでついていけなくなりました。そして、 数字や記号で表されたものをことばで表現する難しさを痛感させられました。数学で はよく簡略化されているものが多く、実際それがなにを意味するのか、ことばで説明 しようとすると戸惑ってしまうことが多くあります。それらを鍛えることができたの もこの講義のおかげだと思います。 私はテストではほとんど失敗しました。あとで振り返ってみたらなんだ！というとこ ろばかりで、自分自身のつめのあまさに反省しています。 しかし、私はこの講義においてたくさんのことを学ぶことができました。新たな数学 の一面をしることができたようにも思います。ありがとうございました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 私自身、数学は好きなのでまわりの友達が数学がきらいというのがあまり信じられま せん。しかし、全国的にみても数学は中学校でも高等学校でも生徒に嫌われる教科の 上位にあります。その原因はずばり数学を教える教師にあると思います。以前こんな はなしをある友達から聞いたことがあります。その子は数学の授業中先生の話を聞い ていたにもかかわらず、わからなかったところがあり、職員室に向かったそうです。 まず、その子は先生から話をちゃんと聞いていればわかるはずだと怒られたそうで す。その後、授業のときとまったく同じ説明を受け、わかるはずもなく、先生の顔色 をうかがっているとしかたなしに「わかりました」と実際はわかっていないにもかか わらず返事をしてしまったということでした。それ以来、その子は職員室に向かいま せんでした。当然だと思います。先生にしてみれば教えている内容はあたりまえのこ とで簡単すぎることかもしれません。しかし、その内容をはじめてきく人にとってみ れば、それはたいへん難しいことにほかなりません。そのことを先生はまずもって自 覚することです。その考えなしに、生徒にわからせようなど無理な話だと思います。 特に学校教育は大きな変革をみせ、授業時間数は減るが受験戦争はますます激しくな り、学校外学習による個人差は大きくなり、どのように授業をつくっていけばよいの か、本当に頭が痛くなると思います。 ただ、私の数学のとらえ方はあくまでも思考力であり、人間の知恵だと思います。大 人になって、方程式や関数など高校時代に苦しみ覚えたことはほとんど直接使うこと はありません。数学研究者になれば、まったく別の話しですが。人間がこれからも文 明を発展させていくならば、数学は絶対に不可欠なものでしょう。しかし、私たちが 日ごろ何気なく生活をしている中で頭の中では数学的感覚が大いに活用されているの です。それはきっと中学校、高校時代に問題に取り組み、試行錯誤した結果だと思い ます。 私はこれからも数学を学びつづけ、それを教育現場でどう活かすかを考えていきたい と思います。 ８７Ｒ 半年間この数学概論の講義を受けて、今まで受けてきた数学の授業 と少し違う印象を受けました。今まで受けてきた授業はただ教科書に 書かれている問題を解いているだけという感じで、数学と実生活があ まり結びついているような感じはしていませんでしたが、身近にある もので例えながら考えていくことで少し数学を身近なものに感じるこ とができるようになりました。また、問題を考えていき、自分でその 答えを導き出せたときは達成感というか、満足感を感じることができ、 「自分で解くことができたときの喜びを感じることができる」という ことが数学はいいな、と思いました。 私は塾でアルバイトをしており、中学生や小学生と話をしたりする のですが、中学生に授業中にいただいたプリントを使って誕生日あて をしたのですが、不思議そうになぜ私があてることができるのかを考 えていました。また、とても興味を持って友達にやってみようと言う 子もいました。同じことでも「数学の問題」として考えるとどうして も難しいものだという意識が働いてしまい、私にはわからないと初め から考えることを投げ出してしまったり、興味をもてなかったりする 人もいると思います。したがって、身近にあるものと関連付けながら、 子どもたちが興味を持って考えることができるような教育方法を考え ることが重要なんだな、と思いました。 ８８Ｒ ----- 授業全体の感想 ----- もともと算数も数学もあまり好きではなく、特に高校に入ってからは授業について いくのが精一杯という状態だったので、はっきり言って高校数学は嫌いでした。だか ら、はじめ数学概論の授業を受ける前は、「微分積分とかの授業だったら絶対ついて いけない！どうしよう！」と思っていました。でも授業は、わたしが小学校・中学校 ・高校と受けてきた算数、数学の授業では取り扱わなかった「Ｐ進法」「黄金比」と いうものを題材として授業が進められていったので、正直に言うと安心しました。た だ、「Ｐ進法」については、小学生のときに学習塾で習っていて、ほんの少ししかし なかったけれど、一番興味があったところだったので、今回この授業で詳しくできて よかったと思います。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- どうして数学（算数)という教科が子どもたちの大半に嫌われているのか、この授 業を受けながら少しずつ考えてみました。低学年のときから算数を嫌いだという子ど もはあまりいないように思います。しかし、中学年ごろから徐々に算数嫌いの子ども が増えてくるようにいわれます。子どもがまず算数を嫌いになるのは、小数・分数が 理解できないからだと知り合いの先生が言っていました。そして、一度算数が嫌いに なったら子どもは勉強しなくなります。そして算数は国語などと違って、ずっと段を 追って理解しないかなければならない教科であるだけに、ひとつ分からなくなるとそ の後の勉強が理解できなくなります。……こうして算数嫌いの子どもは生まれるのだ と思います。段階を追って学習していかなければならない教科である数学は、前後の 学習のつながりが最も大切な教科だと思います。先生が一人一人の子どもが確実に理 解できるように指導をしてくれれば、それが最も理想的だと思いますが、子どもの人 数や授業時間、また教師の指導力などの関係でどうしてもそれは不可能です。 子どもがなぜ算数（数学）を理解できないか。それには教師の指導方法が深く関係 していると思います。例えば確率の問題でいうと、順列は『Ｐ』を使って、組み合わ せは『Ｃ』を使って求められると教えますが、どうしてそうなるのかということは教 えられません。算数や数学には、どうしてそうなるのか知らないが、ただ公式として 教えられた、というものがたくさんあるように思います。理科の実験が特にそうなの ですが、ただ結果だけを覚えるのではすぐに忘れてしまいますが、実験をしてその結 果が生じる過程を見ると、どうしてそうなるのかということ自体が理解できて、結果 がすんなりと頭に残ります。数学や算数の公式もそうなのではないかと思います。た だ公式を教えるだけではなく、どうしてこの公式が生じるのかという過程を教えるこ とが必要なのではないかと思います。また、前にも書いたように、数学（算数）とい う教科は、他の教科と比べても前後のつながりが深い科目なので、小学校で算数を教 える先生も、中学校や高校と同様に、大学で数学を専門的に学んだ教師であることが 望ましいのではないかと思います。 ８９Ｅ 数学概論の授業を受けてみて解法の暗記は出来ていたが、なぜその解法を使 えば解けるのかというところまでは初めて知った。中学のときは一番好きで 得意だったが、高校に入りやる気を無くして、1個わからなくなりそのせい で次の単元がわからなくなり、その次も…という悪循環にはまり、高3の頃に は数学が大嫌いだった。でも受験で絶対必要だったため仕方なくという感じ で高1の基礎からやり直したら、やっぱり数学が好きだったんだ。ということ を思い出した。わかればわかるほど解ければ解けるほど楽しくて仕方ない、 また次の問題を解きたいという感じで最後のほうは数学と英語で他の教科を カバーできるくらい自信を持っていた。数学教育という観点から見てもっと も大切なのは解法を（丸暗記）させることじゃなくてこうなるからこう解け ばいい、というのを（理解）させてあげることだと思う。暗記というのはわ すれればそれでおわりだが理解したことはなかなか忘れないし、解法を忘れ たとしても、作り出すことだって可能だ。そしてとくことの楽しさを教えて あげること。他の教科とは違い、数学では答えを導くまでのプロセスが大事 だから、解く楽しみを知り、何度も解くことが成績アップにつながると思う。 ９０Ｄ 先生の講義を受けて、高校までの数学とは違った世界を知ることができたように思 い、数学におもしろさを感じました。Ｐ進法の学習では、普段使われている１０進法 をＰ進法にかえたり、その逆をしたりしました。２進法を４進法にかえるときなど規 則があることを知り、驚きました。黄金比の学習では、ある長方形から正方形を切り 取った残りの長方形が元の長方形と相似になるという長方形のたてを１としたとき、 よこの長さを求めるには元の長方形のたてとよこの比と、小さい長方形のたてとよこ の比の方程式をつくると求められることがわかりました。また、正五角形の対角線の 長さも黄金比を使って求めました。正五角形のなかには、ひし形ができていることを 初めて知りました。フィボナッチの数列の学習では、ｎ段の階段の登り方の数をフィ ボナッチの数列であらわすことができることを知り、苦手意識があり、自分とは遠い ものと思っていた数学が少し近いものに感じられるようになりました。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 次に数学教育について私なりに考えてみました。最近、数学に対して苦手意識を もっている子どもが多いようです。そのような子どもを少しでも減らすためには、子 どもたちが数学っておもしろいな、と興味をもつようなことを普段の授業に取り入れ ていくのがよいと思います。例えば、先生が講義をしてくださったような誕生日当て ゲームなどです。また、階段の登り方の数を数列を使って求めることができるなど、 数学が日常の生活と大きく関わっていることを教えていくことも、子どもたちに数学 に興味をもってもらうのに効果的だと思います。このように考えると、数学の教師に は、先生自身が数学を好きであること、子どもの興味を引き出すような教える力が求 められると思います。 ９１Ｅ ----- 授業全体の感想 ----- 数学概論の授業は、数列や三角比、黄金比、フィボナッチなど様々な事を学べ て、とても良かったです。私は高校時代、とても数学が苦手だったので数学の 勉強を避けてきましたが、今回、数学概論を受講して数学のおもしろさが、わ かって、数学への考え方も変わって本当に良かったです。 ----- 数学と数学教育に関する考え ----- 数学と数学教育に関して思うことは、ここ数年、小学校の教科書で円周率が ３．１４が３に簡略化されたり、台形の面積の求め方が削除されたりと、数学 という教科のレベルが低くなっているように思います。私は、私たちが習って きたように、これからの子供たちもレベルを低くすることなく、いろいろな数 学の知識を学ぶべきだと思います。 半年間ありがとうございました ９２Ｅ 今回の数学概論の授業を通して、改めて学習することがたくさんありました。最初の P進数は、始めの決まりがわかれば、２進数から１０進数までは順調に解けるのです が、いざ見慣れない１６進数となると、なんだか得体の知れないものに思えてお手上 げ状態になってしまいました。しかし、冷静に」なって考えていくと、ただアルファ ベットが使われているだけで、ほかの進数となんら変わりがないことがわかった途端 何の違和感もなくするする理解することができました。それと同時に「わかった！」 という手ごたえのある喜びを感じることができました。今までは受験勉強のための数 学でしかなく、理解することよりも、公式をひたすら覚えて、どれとどれを組み合わ せたら、その問題に対応できるのか、という風な学習に重点をおいていました。つま り機械的な作業に近いものだった気がします。しかし、案の定受験が終わった途端に すっかり忘れてしまい、あんなに時間をかけたことが、無駄のことに思えてしまうの は否定できません。どうせ同じ時間かけるのなら、いつまでもしっかり頭にのこる勉 強をしたほうが断然いいと改めて実感しました。学校教育においても、理解すること に重点をおいた授業に切り替えるべきだと思います。理解力には個人差があり、確か に時間はかかることかもしれませんが、将来を見据えて考えると、すごく価値のある ことだとわたしは考えます。 ９３Ｅ 数学概論の講義を通して、私は、「知っていることと教えることは違う」という言葉 の意味をしみじみと感じました。 教える側に立った時は子供たちが学ぶ内容と同等のレベルの理解だけでは足りず、 教える内容のさらに一歩進んだ内容を理解していなければ子供たちの納得ゆく授業 にはならないし、質問に適切に対応することはできない。と私自身考えました。 幾何学や、フィボナッチの数列、n進法について学び、数の根本的な考え、概念を 理解することができた授業だったと思っています。 私にとってとても有意義な講義でした。 ９４Ｓ 数学概論の授業では数進法に始まり、加比の理やフィボナッチの数列、黄金比など 様々なことを学習しましたが、それら、それぞれのものが、つながりを持っている ということが印象的でした。私は中学、高校と数学は苦手で、積極的に、自分から 関わろうとはしていませんでしたし、数学内のそれぞれの単元につながりがあると いうことを意識していなかったので、一つの単元ができるようになったら、それを 次の単元に活かそうという意識も持っていませんでした。そのため、数学概論の講 義を受けて、例えば、黄金比の長方形に正方形を付けると、また黄金比の長方形に なり、また、黄金比で無い長方形に正方形を付けるとより黄金比に近づくというこ とが、加比の理やフィボナッチの数列に対応していることなど、一つ一つがつなが りを持っているということを学んで、数学で大切なことは、何を覚えたかではなく、 何を使っていくかということだと感じました。数学概論の講義を通して学問が、段 階を持っていることの意味を考えることができました。自分が解決したいと思う課 題がある場合、その課題を解決するために課題解決に必要な手段が必要となり、そ の手段を導き出すための手段がまた必要となる。というように、ひとつひとつ段階 を追ったり、つながりを持たせることで、課題を解決していかなければならないと 考えました。学ぶために学ぶということの本質が数学にはあるように思いました。 私は社会科を専攻していてこれから、数学という学問からは遠ざかっていくかもし れませんが、この、何を使って、どのようなことを創造していくのか、つながりを 持たせ、その意味を考えるということは、これからも考え続けていかなければなら ないと思いました。例えば、生徒にとって、特に受験生にとっては社会科は暗記科 目というイメージが強いようです。１１９２年に鎌倉幕府が成立した。それがどの ような意味を持つのか、それを使ってどのようなことを考えていくのか、その思考 の方法や意味を教えていくのが、教師の学習者に対する使命だと、数学概論の講義 を通して考えました。 ９５Ｓ 授業全体に関して数学と数学教育に関する考え まず講義の中でも言われていたように、数学は公式を覚えて問題を解くだけ のもの、という考えを捨て去らなければならないと思う。生徒になぜこの公式 になるのか、と聞かれることが考えられる。そのときに答えられなかったり 「とにかく公式を覚えてから質問しなさい」といったような答え方をしてしま うと、せっかく生徒が持った学ぶ意欲を蹴ってしまうことになる。 そこで我々は数学を学んでいく上でどのようなことを頭に入れておかなけれ ばならないかということを考えると、今までに習い理解した知識や法則を使っ て、新しく習う公式を考察していかなければならないと思う。それと同時にた まには遊び的な要素を含んだゲーム等を考えてみても面白いと思う。我々が受 けてきた数学教育は公式を覚えてひたすら練習問題を解くというものであった。 今からの数学教育では、そういったものを捨て去り、児童生徒の想像力をかき たてるような数学教育にしていかなければならないと思う。