これは、2005年 8月11日から14日までの４日間の集中講義「幾何学T」
の感想文です。内容はユークリッド幾何学のシムソンの定理とその拡張、
射影幾何学はパップスの定理、デザルグの定理、パスカルの定理などを
通じて、二つの幾何学の違いを観察することでした。学生は、合同でも
相似でもない、射影変換に初めて遭遇したので、かなりの戸惑いがあっ
たようです。
かなりの時間を作図という活動に割いたのもこの授業の特徴で、一方
的な授業と比べて理解が深まったという意見が多く見られました。また
「助走」と称して、利用する定理もおさらいの意味でもう一度証明して
から使うなど、忘れている学生のために気を使ったので、それもおおむ
ね好評でした。
２点を固定して、比を媒介変数とするアポロニウスの円束のグラフを
描く、２定点からの距離の和（差）が一定という定義から楕円（双曲線）
の方程式を求め、適当な数値でグラフを描くといった基本中の基本があ
やふやであることも困ったことです。
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103014 ＵＭ
今回の幾何学Tの講義では数学の奥深さを感じた。図形に関する様々
な定理を学ぶ中で創造的かつ、多角的にものごとを考えることの必要性、
また、頭で考えるだけではなく手を動かすという行動を通して自らある
事柄（共通点など）に気づくことの大切さを実感した。立体的に図形を
とらえて考えたとき、射影幾何学の双対が難しかった。図形を想像しに
くかったからだ。反対にシムソンの定理やチェバの定理は図を何個か書
いてみると、成り立つということが自らの感覚でも理解でき、すごく受
け入れ易かった。これは最初に記述した「自ら手を動かす」ということ
の重要さを示していると思う。
次に、この講義を通して学んだ数学教育全般に関わることについて述
べたい。先生の「後で自分が見直したときに分かるようにノートはとり
なさい」という言葉に、講義は一方的に話しを聞くという受け身ではな
く、自ら何かを吸収しようと積極的に受けることが大切なのだと感じた。
また、先生が講義の間何回もおっしゃった「言葉が大切である、言葉を
話せない人が増加している」という話がとても印象に残っている。一見
すると『言葉』というものが重視される教科は国語のように感じる。数
学はあくまでも『数』について学ぶ教科である。しかし『数』を理解す
るために、『言葉』を理解する能力、言われた『言葉』を自分なりに解
釈して飲みこむ力を身に付けておくことが数学教育の基本であるのだと
感じた。この『言葉』に関する指導は得に小学校の教育現場において大
切であると考える。『悲劇の再生産』となる子供たちを作り出さないた
めにも教師を目指す私自身がきちんとした言葉を使って相手に自分の意
志や考えを伝える能力、また、言われたことを理解できる能力を身に付
けておく必要があると感じた。私は、小学校の教師を目指している。現
在、子供たちの理数離れは進んでいるといわれる。この原因の一翼は教
師にあると思う。小学生の子どもにとって全く未知のもである計算記号
との出会いや図形との出会い、単位との出会い、これらが教師からの一
方的な知識を与えるだけの授業を通して行われているのであれば、それ
は児童にとって苦痛でしかなく算数の授業の中に何の楽しみも見つけ出
せない。児童が算数に興味を持てるように単元ごとの導入は視覚で分か
り易く理解できるように工夫したい。この事は『数学のセンスを身につ
ける』ということにもつながっていくと考える。
教科書改訂に伴い学習指導要領に示されている学習の内容は削減され
ている。学ぶべき量が少なくなったということは表面的に見れば児童に
とっては喜ばしいことである。しかし、長い目で考えると内容の削減が
児童にとってよいことであるとは言えない。ひとつの事を定着させるた
めにはその周りを浅く勉強するよりも時間は少々かかるかもしれないが
『助走をつける』ということが必要だと先生はおしゃった。私も同じ考
えだ。小学校の教師となったときこの講義を受けたことによって気づい
た授業のあり方などっを踏まえて授業を構成できたらと思う。
103034 ＫＲ
今回４日間の講義を受けて図形によってたくさんのことを考えること
ができるということを学びました。まず初めに学習したことは定理１つ
１つを別々に覚えるのではなく、結び付けて学ぶことで真に理解でき、
そしてそれを活用することができるのだと思いました。定理を覚えてい
るつもりであるが、うまくそれを活用できないのはそのせいではないか
と感じました。
また、自分で実際に図形を書きながら、その定理を証明していくこと
によって、実際に目に見えて定理がわかり、その定理について理解する
ことがたやすくなったと感じました。初めからもう結果が見えている図
形を書くのではなく、与えられた条件をもとに実際に図形を書いていく
ので、考えながら書くことによってより一層理解を深めることができま
した。
定理を１つ１つ別々に覚えるのではないというところで、すごいなと
感じたのは双対性についてのところでした。私は今までこのような関係
が図形において成立するということを全く知りませんでした。今回の講
義でこのことを知ってとても驚きました。双対性の関係から定理を覚え
ていくのは、おもしろいし、一気に２つの定理を学ぶことができるので
とても好都合だと感じました。これは、関係性によって学ぶことが重要
であり、またそのようにすることでそれについてより一層の理解をする
ことができるのではないかと思いました。これを通して、その時間の教
科書にでてきたものだけを教えるのではなく、それについて関するもの
は一緒に教えなければならないということを実感させられました。
このようにしたことで私自身は覚えやすかったし、以前に学習したも
のは再確認することができ、より一層の定着をはかることができました。
だからこのような学習指導法を行わなければならないと思いました。
また、今回の講義を通して感じたことは、生徒１人１人の理解度を確
かめていきながら授業を行わなければならないと思いました。定理など
について、教師がひとりでに黒板に向かってしゃべる授業をやってしま
ってはいけないということです。教師の机間巡視を適度に取り入れるこ
とが必要であると感じました。その中で生徒がどのくらい理解している
かを知り、その上で授業を行っていかなければならないと感じました。
今回の講義では、生徒の理解度を確かめてくれていたので、授業も聞き
やすく、理解することができたと思います。理解できていないとおもし
ろくないので聞く気がしないのです。理解できる授業をすることで授業
は成り立つのです。だから、私も生徒の理解度を確認しながら、理解で
きる授業を行えるようにしたいと思いました。
４日間という短期間であったが、多くのことを発見でき、理解するこ
とができたと思います。これらのことを大切にし、これからも数学につ
いてもっともっと学んでいこうと思いました。
103035 ＫＴ
私は、８月１１〜１４日の菅原先生による幾何学Tの集中講義を受講
いたしました。１１日の初日に私は寝坊の為遅刻をしてしまったため、
すぐに授業内容に入りこめず、今何をしているのかが把握できませんで
した。板書をノートに書き写す作業だけでいっぱいいっぱいになってし
まい、先生の説明をずっと聞き逃し、また何をしているのかわからない
という悪循環になっていました。遅刻をして本当にすみませんでした。
遅刻は自分にとって本当にマイナスにしかならないのだと反省しました。
講義の内容は主に定理を示し、自分たちでその定理に従った図形を作
図し、そして、その証明を考えるというものでした。定理が示され、自
分で図形にしていく作業は、慣れるまでなかなか手が動かず、何をどう
していけばよいか戸惑っていました。
そこでの私は、早く先生が説明をしてくれないかなぁと考える作業を
蔑ろにしてしまっていたため、わからない状態でいました。その上、私
自身が高校の時文系で数V・Ｃを受けていないことで、わからないこと
をあまり負い目に感じることもなかったため、「わからない」ままでい
たのだと思います。
講義が進むにつれ、考えて手を動かすように努めると、共線点からパ
スカル線などを引くことも出来るようになり、また、５点を決め、パス
カル線の傾きを変化させることで、残りの一点を定めることが出来、双
曲線や楕円の二次曲線を引いたり、その点の軌跡を見つけることができ
ました。そして、グラフの正しい書き方など、新たな発見だけでなく、
改めて理解することも出来ました。
また自由度においても、先生の板書、説明と同時に、自分の頭の中で
点と直線や曲線を用いて、どのような図形になるかを考えることで、円
の自由度は３、放物線の自由度は４、二次曲線の自由度は５などが理解
できたのだと思います。
今までの他の講義などは、先生の説明を受け身的に聞き、そして板書
をノートに書いていくので精一杯で、‘自分で考える’という作業があ
まりにも欠けていたように思いました。
数学教育において、最も重要なことは、自分で考える作業であると思
いました。今回のこの集中講義でもそうですが、私が読んだ本『博士が
愛した数式 著者/小川洋子』においても、わからないからと言って考え
ないのではなく、わからないからこそ、何度も何度も考えて、そこから
答えを導いたり、新たな考え方を発見することができ、また、そのとき
考え・悩み・試行錯誤した分だけ、喜びや感動、楽しさや面白さを実感
できるのではないかと思いました。
４日間の集中講義、お疲れ様でした。ありがとうございました。
103056 ＺＳ
こんにちは。瑞慶覧です。先生はもう京都へ戻られたんですか。近い
うちに、外国へ数学教育の指導をされに行くとお伺いしました。お身体
にお気をつけください。そしてたくさんの方々へ素晴らしい教育を広げ
伝えてきてください。それではレポートにうつります。
今回の講義において、たくさんの図形を描いたことが印象的でした。
初回の講義では、なぜこんなに図形を描かせるのだろうと思いながら、
授業に取り組んでいたことを思い出します。それは少し面倒くさいとい
う気持ちがどこかにあったのだと思います。大学における普段の授業で
は、先生が黒板に描いた図形を写すくらいで、自分で図形を描く、とい
う作業がほとんどありませんでした。そのために、このような気持ちが
生まれたのかもしれません。しかしこの４日間を通して、はじめの面倒
くさいという気持ちから、図形を描くことは楽しいことだ、という気持
ちに自然と変わっていっている自分に気が付きました。また、図形を描
くことで積極的に授業に参加することができ、授業内容をちゃんと理解
できているような気がしました。逆に、説明だけをばーっと聞いていた
所は、理解し難い部分もありました。このことから、受け身ではなく、
積極的、自主的に生徒が授業に参加できるかどうかが、教育において大
きなポイントだと思いました。そして私が教師になった時、そのように
生徒を導くことが自分の役割だと感じました。私は、今まで授業での導
入が肝心で、ここで生徒に興味を持たせるかどうかが一番の問題だと思
っていました。そのため導入で失敗したら授業自体味気ないものになっ
てしまうのではないか、という心配がどこかにあったような気がします。
しかし導入の大切さに対する気持ちは今でも変わりませんが、展開の内
容においても、いくらでも挽回できたり、楽しく発展させたりもできる
のだと実感しました。今回の集中講義でも、その授業を進めるにあたっ
ての大切なポイントを学びました。
自分で考えながら、積極的に授業に参加させることは前にも述べまし
た。やはりこのことを実現させるためには、その前にちゃんと生徒にあ
わせた授業の流れが必要です。そこで菅原先生は、生徒が考えたり質問
をする時間を十分に与えてくださったり、生徒が質問したことにはきち
んと答えてくださったり、ということをされていました。一番私が助か
ったことは、授業を行うにあたって、あることがわかっているのを前提
に進める授業内容において、その前提となる内容をわからないと言った
時に、それについて怒らずに、一から説明していただいたことです。や
はりわからないことをそのままほったらかしていると、その後の内容も
ちんぷんかんぷんになると思うし、説明していただいたことで、先生へ
の安心感というものも生まれた気がします。先生が授業中に「先生とい
うものは授業において、自分が納得して進めることが多いが、生徒はそ
んなすぐに納得、理解はしない。」とおっしゃった言葉もかなり、なる
ほど、と思い、印象に残っています。生徒の立場からするとその言葉は、
そうだそうだ、当たり前じゃないか、と思う部分も出てくると思います
が、先生の立場となると自分が内容を理解しているだけに、自分が教え
ている範囲で皆が理解できているはずだと考えてしまうかもしれない、
と思いました。私が教師になったときは、先生のおっしゃった言葉を忘
れずに、生徒と共に、じっくりゆっくり取り組んでいけたらいいな、と
思いました。次に、その理解した部分を、板書の言葉だけではなく、生
徒が自分の言葉で表現することの大切さも学びました。自分の言葉で書
くことにより、その分印象に残っている、ということもあるし、自分の
普段慣れ親しんでいる言葉で表現されているので、後から見直しても内
容を思い出しやすいと感じました。私達は最近、何かしら自分の言葉で
表現することが苦手になってきている、と言われます。しかし私達は教
師になったとき、生徒にこのことを伝えなければなりません。そのため、
普段の生活から、状況を言葉に変換する訓練をする必要があるな、と思
いました。困った時は黙ってしまうのではなく言葉で表現する努力をし、
また人にあらゆる場面を言葉で伝える工夫をしていこう、と決意しまし
た。
今回の集中講義では、実践することの大切さや、わかる自分ではなく、
わからない人と共に進むこと、状況を言葉で表現する大切さなどを学び
ました。今後これらのことを忘れず、普段の生活から心がけていきたい
と思います。ありがとうございました。
103117 ＮＮ
集中講義を振り返りながら、数学教育について考えたい。講義の中で
わからなかったところは、「シムソンの定理」や「カルノーの定理」、
「メネラウスの定理」や「チェバの定理」の証明である。まず、シムソ
ンの定理では、内接四角形の対角の和が180度になることを忘れていたた
め、すぐにはわからなかった。また、証明するために、自分で円を書く
作業が難しかった。講義の中では理解したつもりだったが、課題に出さ
れたカルノーの定理の証明を自分でしようとしたら、すぐにはできなか
った。そもそも、カルノーの定理の証明はシムソンの定理と同じように
するのだが、講義では実際に自分の手を動かさずに、先生の説明を聞い
て納得していたので、実際は理解していなかったのである。その後、シ
ムソンの定理を見直し、１つ１つの作業の意味を確認することで、カル
ノーの定理を自分で証明することができた。したがって、数学では基礎
をしっかりと身に付けておくこと、見ているだけで納得するのではなく、
自分で考えて演習をして理解を深めることが大切である。また、「メネ
ラウスの定理」や「チェバの定理」の証明は、数式だけの証明で、あま
り実感がわかなかった。講義の中で、具体的な数値をあてはめて本当に
成り立つかを試したり、定理を使った演習をしたりすると、この２つの
公式や証明が身近なものに感じられたと思う。
講義の中でわかったことは、たくさんある。まず、アポロニウスの円
を考えるとき、まったくイメージがわかず、先生が黒板に図を書いたと
きも半信半疑であった。しかし、その後に文字を使ってなぜそのような
図になるかを証明し、納得することができた。自分がわからずに興味を
持っていたので、論理的に証明することのすばらしさを感じた。次に、
楕円と双曲線の式の証明である。私は、大学に入って２つの図形の式を
初めて見たのだが、なぜそのようになるのか疑問に思っていた。自分で
式を証明することになるとは思わなかったが、実際に証明したことで、
図形の性質や式の意味を理解することができた。このことにより、この
式を応用することもでき、証明したことを簡単に忘れることはないだろ
う。
また、立体の切り口の証明は一番心に残るものであった。立体の切り
口がどのような図形になるかはわかっていても、それをまさか証明でき
るとは思わなかった。先生が楕円になる証明をしたが、すぐには証明の
ながれをつかむことはできなかった。しかし、双曲線になる証明をどう
しても自分の力でしたいと思ったので、楕円の証明と図形を見比べなが
ら真剣に考えて、やっとのことで証明することができた。あたりまえに
思っていたことや、証明することができないと思っていたことから、実
際に証明できるという意外性に強く関心を持ち、積極的に証明に取り組
めたと思う。
そして、講義全体を通して作図や図形をイメージすることの繰り返しか
ら、文章を読んだだけで、作図をする図形の見当がついたり、立体のイメ
ージをしたりできるようになった。斎示座標やｚ＝１平面で考えることを
定義したあとに、普通では交点を持たない２直線が定義したことを使うと、
交点を求められることを知り、これから学ぶ内容に対する期待が高まった。
まとめとして双対の正体を考えたが、立体をイメージする力が養われてき
たこと、内容に対して強く興味を持っていたことから、難しかったことも
理解することができた。つまり、図形をイメージすることの訓練と、学習
内容に対する関心から、力を発揮できたと考えた。また、難しいことを理
解できたことにより、わかることのうれしさや達成感から、次に学ぶこと
への関心も高まるだろう。
以上のことから、数学教育を考えた。子どもたちが数学の力を発揮する
ときは、おもしろく、興味が持てるような問題に出会った瞬間である。ま
た、力を発揮するためには、数学の基礎の積み重ねも必要である。基礎の
積み重ねとは、公式の暗記ではなく、なぜそうなるかを証明したり、人に
説明したりできるほど理解することである。今回の集中講義でやったよう
に、公式の証明をするだけでも、数学の楽しさを学びながら理解を深める
ことができる。したがって、教師は公式をただ教えるのではなく、なぜそ
うなるのかを一緒に考えたり、子どもたちがさまざまなことに対して疑問
を持つように工夫したりする必要がある。そして、基礎を定着させるため
には、自分で考えながら演習を繰り返すことが大切である。図なども、自
分で試行錯誤し、戸惑ったり悩んだりしながら描くことで、イメージでき
るようになる。数学の勘も磨かれるのである。次に、おもしろい教材を使
うことが大切である。子どもたちが心を動かされるような教材は、私たち
も心が動かされるものである。また、子どもたちがどのようなものに興味
を持つのか、どのような問題が身近にあるのかを知らなければならない。
おもしろい教材は、自分自身が多くの問題や公式などを学んだり、日ごろ
疑問に思っていたことなどを見つけたりすることから、見つけ出すことが
できる。まずは、自分が数学の理解を深め、数学の楽しさに気づく事が大
切である。教材には、新しい発想や、物事を数学で解明するなど、子ども
たちの意欲を引き出させるようなものも考えられる。子どもの数学の力を
発揮させるためには、先生がどれだけ子どもたちと数学を楽しめるか、適
切な助言や励ましができるか、にかかっていると考えた。
103121 ＮＹ
幾何学Tを受講して，たくさんの新しいことを知ることができたととも
に，数学や数学教育についてもっと真剣に考えていかなければならないと
改めて感じた。
講義では図形を作図することが多くあったが，図を描くことでどのよう
な定理なのかを視覚的に理解することができるし，頭の中で考えるだけで
はわからないことがみえてきたりし，手を動かすことの重要性を実感した。
また，問題文からその意味を読み取り，作図することでその文が何を言い
たいのかを考えることになり，理解につながるものであると思った。講義
の中で，様々な定理を学んだが，定理と定理に関連性があるものもあり，
どういう条件であれば同じなのかをしっかりとおさえ，同時にどのような
問題において定理が使えるのかを考えていかなければならない。また双対
性や，図形を見る際に線分で捉えるのではなく直線でみるということもお
さえておかなければならないと思った。
講義において，先生の言葉の中で特に印象に残ったものが二つある。一
つは，「言葉を大切にする」ということである。現代社会で，言葉を正確
に使うことができている人が減ってきている。私たちは教員になったとき
に，数学に限らず数多くのことを子どもたちに伝え，教えていかなければ
ならないという責任がある。私たちが正確な言葉で伝えなければ，子ども
たちは次の世代へきちんと伝えることができないし，言葉で説明する力が
どんどんおちていってしまう。よって，私たち自身が言葉をもっと大切に
していくことが使命ともいえる。数学を学ぶ以前に言葉を正確に使えるよ
うにしなければならないと感じた。
もう一つは，「理解をするということは，別の言葉に言いかえることが
できるということだ」である。このことは数学だけではなく全てのことに
当てはまると思う。これには納得した。教えられた通りの言葉を覚えてい
るということは本当に理解できてなく，分かった気になっているだけとい
う可能性がある。学んだことをしっかりとかみ砕き，自分の言葉に置き換
え，自分のものにしていくことが真の意味で分かったといえるのだと思う。
講義を受けて，自分が今持っている知識が確実なものでないということ
を痛感した。講義最終日の講義終了後に，「１ｍ２とはなにか？」「１リ
ットルとは？」ということを聞かれ，考えてみたがはっきりとした言葉が
思いつかなかった。定義や定理をまだはっきりとおさえられていないこと
に今気づくことができたのは自分にとってはよかったと思う。教壇に立つ
までに，子どもたちに確かなものを教えることができるように，これをき
っかけとして勉強していきたいとおもう。そして今まではあまり気にして
いなかったが，言葉を大切にしていきたいと思う。
103128 ＨＹ
今回、４日間の幾何学Tの集中講義を受けて、幾何学の知識はもちろ
ん、そのほかにも様々なことを学ぶことができた。
幾何学の講義中、図形に関するたくさんの定理が出てきたが、その定
理を学ぶにあたって私が印象的だったことが、その定理を満たす図を実
際に自分たちで作図をしたことだった。最初は特に何も考えず、言われ
たとおりに作図をおこなっていただけだったが、それらの作業を繰り返
しているうちに、自分で実際に作図をした方が、その定理についての理
解が深まり、また、さらにその定理の内容をしっかりと記憶できること
に気づいた。定理として示されている文章を読んだだけでは、この定理
は一体どういうことを示しているのだろう、となかなか理解が出来ない
ようなものでも、実際に作図をしてみることによってその疑問が解け、
理解できるものが多くあった。この経験から私は、ただ何らかの形で導
かれた結果だけについて考えるのではなくて、その結果はどのようにし
て導かれたのかとか、その結果はどういったことを示しているのか、と
いうことなどを実際に自分で積極的に考えてみることの大切さに気づい
た。それらを考えてみることによって、同じものでも理解の度合いは大
きく違ってくることが言えると思う。講義の中で先生もおっしゃってい
ましたが、最近の子どもたちは私たちも含め、そのような作業などを通
して自分である問題について積極的に考えていこう、という姿勢が少な
いように思われる。結果さえ覚えておけば、確かにテストや受験の問題
は解けるかも知れないが、それはほんの一時期の記憶としてしか残らず、
使わなくなるとすぐに忘れてしまいかねない。覚えたことをきちんと自
分の知識として長い間残していくには、今回の講義でやってきたように
様々な問題について積極的に疑問を持ち、手を動かし、さらに考えてい
くことが大切であると思った。
また、先生は講義の中で「言葉の大切さ」や「視野を広くすることの
大切さ」についても話をしていた。これは前に述べてきたようなことと
も関連してくると思うが、この２つの点について今の子どもたちを考え
てみると、先生もおっしゃっていたが、教師が黒板に書いてあることだ
けをノートに写して、それらを自分の言葉としてまとめようとはしない
し、また、ある問題が与えられたときを考えると、その問題の解答につ
いて様々な角度から考えようとしない子どもが多いように思う。しかし、
この「言葉」と「視野を広くすること」は前に述べてきたこととも関連
して、非常に大切なことであると思う。講義の中で、先生に教わったこ
とについて、それらを自分の言葉でまとめたり、また、ある定理につい
て様々な角度から視野を広げて考えていったりしていく中で（特に、あ
る定理について、数値を変えても同じことが成り立つことを考えたとき
（シムソンとカルノーの定理）などは、おもしろくてとても興味が湧い
た）、それらをするのとしないのとでは本当に理解の仕方や興味の湧き
方が違うなと感じ、と同時にそれらの大切さを深く感じた。
この集中講義を通して、数学教育というものは、ただ単に数学の知識
を生徒たちに教えるのではなく、それらの知識をいかに分かりやすく、
また、子どもたちがいかに理解できるかを考え、教えていくことが大切
なものなのだと感じた。そしてまた、それを教えていく私たち教師側も、
数学の様々な知識に対して、学ぶことへの積極性を持ち、その知識につ
いて様々な角度から考えることのできる力を持っておかなければならな
いということを深く感じた。
今回の講義を通して学んだことを、11月の教育実習ではぜひ生かして
いきたいと思っている。４日間ありがとうございました。
103140 ＭＳ
私は今回の集中講義「幾何学T」を受講して、幾何学はもちろんのこと、
数学教育や教育全般のことについても学ぶことができた。
菅原先生は私たちに、実際に作図をしたり、自分で考えてみるなどの時
間を多く与えてくださった。大学の授業は、ただ先生が一方的に話をする
だけのものが多い。私たちは黙って先生の話を聞き、必要なことをノート
に書くことぐらいしかできない。そのような授業に慣れてしまっている私
は、この集中講義の当初、作業をする時間を与えられても、戸惑うばかり
で何もできなかった。しかし、実際に作図をして定理を理解できたときは
本当に嬉しかったし、数学を「おもしろい」と感じることもできた。菅原
先生がよく、「自分でもう一度繰り返してみなさい」とか、「もう一度説
明してみなさい」とおっしゃっていたが、やはり自分で考えて他人に説明
できるようになって初めて「理解した」ことになるのだと思った。
私は今回、自分が今まで持っていた知識がいかに安っぽいものであった
かということを実感した。それは言い換えれば、物事の根本をわかってい
ないということだ。ラジアンについて学んだときに、π＝180°であること
は知っていたが、１ラジアンについてはまったくわかっていなかった。こ
のようなことでは子どもたちに数学を指導することなどできないと思った。
教育においてはどの教科にも当てはまることだと思うが、数学においては
特に、教師が根本的なことを理解していなければならないと思った。また、
私は中学・高校時代、さらに大学に入ってから学んだ公式や定理なども忘
れているので、もう一度勉強しなおす必要があると思った。
数学では、まったく関係のないことのように思えるもの同士が、学習を
進めると深いところで関係を持っていることがよくある。今回の集中講義
でそれを再認識したのは、ユークリッド幾何学のアポロニウスの円につい
て学んだときだった。菅原先生がいくつか例を出して黒板に作図してくだ
さったので、前に学習した内容とのつながりがよくわかって面白かった。
数学教育では、助走をつけることも必要だとわかった。その場では跳び
越えられないような高いハードルも、助走をつけることによって簡単に跳
び越えることが可能になる。数学もそれと同じで、結果だけを考えると難
しくて理解できない内容でも、それ以前の内容から復習し、結果までの過
程を一つ一つ理解していくことによって、さっきまで理解できなかった内
容が簡単に思えることもある。数学教育では一つ一つの学習の積み重ねが
大事なのだと思った。
菅原先生へ
４日間ありがとうございました。宿題がわからなくて困ったり、朝から
ずっと数学漬けで疲れたりもしましたが、先生が授業中に作業をする時間
をくださったり、わからないことはいつでも質問できる環境を作ってくだ
さったので、とても充実した４日間になりました。これからは数学教育に
ついての学習を深めるだけでなく、言葉を自由自在に使えるように頑張り
ます。ありがとうございました。
101240 ＭＳ
ユークリッド幾何学の内容はとてもよくわかりました。証明も解説も
丁寧でした。しかし、途中で今何を扱っているのか判らなくなることが
よくありました。状況を読んで何をすべきか自分で把握しなければなら
ない状況もあったと思いますが、先生が何について解説しているのか、
何を私たちに求めているのかがわからず、混乱してしまうことも多いで
した。板書等でも、どの項目と何が関連しているのかが分からなくなる
ので、もっと言葉なり、板書なりで整理してほしいと思いました。先生
は話に一貫性があると思っているかもしれませんが、私たちにしてみる
と、何故突然先生の言う話になったのかが分からないときがあります。
話に関連性がないので、余計なことは「今のは余計だ」とか、「今は必
要ないけど」と行った言葉が、ほしいです。先生の言ったこと全てを聞
いていると、今何をする必要があるのか分からなくなることがありまし
た。
作図はとても楽しいでした。線をたくさん引いているうちに軌跡など
が見えてくると、もっと大きな紙を使って書いてみたいと思いました。
103222 ＩＹ
今回初めて菅原教授の講義を受けましたが、第一印象は難しい、の一
言でした。私は今まで幾何学について、梶本先生の講義で学んできまし
たがそのほとんどが理解できないままテストを受けていました。そのこ
とで幾何学に苦手意識がついてしまいました。
菅原教授の講義を受け始めて、最初はその意識がありなかなか積極的
に取り組むことができずにいました。ところが、菅原教授の講義は図を
書くといった作業の多いもので、受け身ではなく積極的に取り組むこと
ができる講義でした。そのため、自分から進んで取り組む楽しさを感じ、
気が付くと無我夢中で作業をしていました。苦手意識はいつのまにか消
え、４日間という短い期間でしたがとても充実した日々を送ることがで
きました。そして、この集中講義を受けてたくさんのことを得ることが
できました。幾何学についての知識はもちろんのこと、学習に対する意
識の大切さや、自分の姿勢次第で講義をプラスにもマイナスにもするこ
とができるということなど、教師になる際に生徒の立場を考えることに
もつながるようなことも学ぶことができました。
私が菅原教授の講義を通して学んだことは、生徒が受け身になるよう
な授業は絶対にしてはいけないということです。それは生徒の授業に対
する積極性の低下や苦手意識を生じさせる原因になり得るからです。そ
うなってしまったら生徒の学力の低下は免れないだろうと考えます。生
徒の学力の向上を考えるならまずその部分から考えていかなければいけ
ないでしょう。菅原教授の講義は、私の幾何学に対する苦手意識を取り
のぞき、積極的に取り組む姿勢までも身につけさせてくださいました。
私も教師になったらこのような授業をしなければ、と強く思いました。
今の自分はまだまだ未熟で本当に教師になれるのだろうかという不安が
かなりありますが、これから少しでも力をつけて自分の納得のいく教師
になれるよう日々努力し、がんばっていこうと思います。有言実行の精
神で自分を高めようと考えています。また、教師に一番必要なことは生
徒の気持ちを理解してあげることだと考えているのでその気持ちを曲げ
ず、自分の信念をつらぬこうと思います。菅原教授の講義で得たこれら
の思いを忘れずがんばりたいと思います。
短い間でしたが本当にありがとうございました。
103223 ＵＫ
今回の菅原教授の集中講義を受けてみて、自分の数学に対する力の落
ち具合を強く感じさせられました。 いくら定理や法則を知っていたと
ころで、なぜそうなるのかという理屈、それを証明することができなけ
ればまったく意味がないということがよくわかりました。菅原教授のお
っしゃる通り、聞いたこと、教えてもらったことを自分のことばに言い
換えて説明できないと生徒には教えれるわけがないと私も思います。加
えて今回の講義で私自身が図形を苦手としていることがわかり、欠点克
服という面においても非常に勉強になりました。
また、講義の内容においては、一言で幾何学と言っても、幾何学にも
さまざまなものがあり、私たちが今まで学んできたユークリッド幾何学
のほかにも、射影幾何学、微分幾何学（曲線）、位相幾何学、非ユーク
リッド幾何学と知らなかった世界がたくさん存在することを知りました。
今回の講義では、時間の都合上ユークリッド幾何学、射影幾何学、非ユ
ークリッド幾何学の三つにしか触れることはできませんでしたが、安達
先生のゼミに所属させていただいている私としては、微分幾何学につい
て興味をひかれました。
今回の講義の中で、自分で証明できるもの、できないものがありまし
たが、私の中で一番ショックだったのがアポロニウスの円について証明
できなかったことです。高校時代何気なく当たり前のように使っていた
法則だっただけに、いざ証明してみようとしてもできない自分にどうし
ようもないいらだちを感じました。実際に私が教師になり、「何でこう
なるんですか？」と生徒に質問されたときを考えてみるとぞっとします。
今の私には教師になる資格はないと強く認識することができ、教師を目
指す上での糧となる講義内容でした。
私の目指す教師というのは楽しく、わかりやすく、生徒が数学を好き
になるような授業のできる教師です。授業がつまらなくては当然生徒た
ちも数学を好きになってくれないだろうし、せっかく数学を教えるのな
ら生徒たちにも数学を好きになってほしいと私思います。生徒の興味、
関心をひくような授業展開を私は考えます。例としてあげるならば、そ
のとき生徒の中で流行しているものに目を向けて、それをどうにかとり
あげて授業に結びつけてみるというのがあります。
「この先生はほかの先生と違う！」と思われるような、型にはまらな
い教師になるのが私の夢です。そんな夢が今独り立ちしているような状
況で、今の状態でいたところでそんな立派な教師にはなれるわけありま
せん。しかし、目標を貫くため、目標を達成するだけの努力をしようと
思います。教師になりたいという強い意欲がいつからか弱まっていた私
にとって、その心、意欲を再び甦らせることのできた大変私のためにな
る講義でした。ありがとうございました！
103228 ＫＹ
集中講義の前はどんな授業なんだろう？話を聞くだけかな？と思っ
ていたけど、実際に定理通りの作図をやってみる形式で楽しかったで
す。高校や大学の数学の授業では定理、公式を説明してそれを用いて
問題を解く、という形式だったので、良かったです。大学の授業は先
生の話をしてばかりで、板書をノートにうつすばかりで退屈だったり
したので、将来先生になったら、定理や公式を生徒に実際にやって確
かめさせることが大事だな、と思いました。
定理は多くが数点が共線点である、というものだったけど、実際に
作図を作ってみて、数点が一直線で結べた時は少し嬉しかったです。
子どもたちもそういう喜びを味わうと数学が好きになるんじゃないの
かな、と思いました。数学の不思議さや、美しさを子どもたちに経験
させたいな、と思います。
また一枚の紙に収めれるように点をどのうに配置すればよいのか？
自分は頭が固いのでなかなかすぐ考えきれなかったけど、柔軟な考え
ができないといけないなと感じました。指導案の授業展開でも、予想
される生徒の答えも、柔軟な考えができないと多く思いつかないから、
頭のトレーニングをする必要があるなと痛感しました。
高校の時も空間ベクトルが苦手だったけど、三次元の空間になると
今回もイメージすることが難しくなったのでトレーニングが必要だと
思いました。
授業の最後に、１リットルの定義など質問されたけど、分かっては
いるようで、けどそれを言葉にして言うことが自信をもってできません
でした。しっかりとどういうことなのかを理解して、それを人に説明で
きる練習もしないといけないなと思いました。小学校で習う面積の単位
のアールや、ヘクタールも、その時以来使っていないのでどういう単位
かわかりませんでした。常識として知っておかないといけないことだし、
しっかり勉強し直さないといけないなと思いました。
また同じように言葉のトレーニングもしないと将来通用しないだろう
から、大学生活残り多くはないけどしっかり勉強しようと思いました。
講義四日間ありがとうございました。
103244 ＨＳ
今回の授業で習った射影幾何は、平面上に描かれている図形の性質で、
その図形を別の平面に射影してもそのまま成立するような性質を調べる
幾何学である。ガラス板の上に円とそれに内接する四角形を描き、対角
線の交点と、向かい合った辺の各頂点での接線の交点をとると、これら
の３点が一直線上にならぶのである。たとえばガラス板を電灯の下でい
ろいろと傾けてみると、円が射影された影として、床の上には楕円や放
物線または双曲線が描かれるだろう。そのとき、四角形の各辺や対角線
の影は同じ関係を保って射影される。こうして、楕円、放物線や双曲線
に内接する四角形の対角線の交点と、向かい合った辺の各頂点での接線
の交点をとると、これらの３点が一直線上にならぶことがわかった。こ
れが“図形の射影によって変わらない性質”である。また、直線の交点
を求めることや２点を結ぶ直線を引くことは、射影によっても変わらな
い手順なので、定規とコンパスをつかっての作図も多かった。パスカル
の定理やシムソンの定理のように実際書いてみて三点が一直線上に乗る
となかなかうれしく、自分の手で書いてみることが大切と言うことを実
感した。
幾何のおもしろさは全体図を見ればわかることができる点にあると思
う（図なので）。、学習する者がどのレベルにいようとも見通しよく理
解できる。射影幾何が行なわれる射影平面は我々の住んでいる３次元空
間の中に実現できない目に見えない平面だが、そこで述べられる性質は
直観的に理解しやすいものであり、見方を変えれば見えてくるものであ
るような気がする。
射影平面上に描かれた図形の幾何的な性質の目的は、今回学習したデ
ザルグの定理、パップスの定理、パスカルの定理にある。これらの定理
を、ある点からの射影により図形を見ること、直線が作る図形をある方
向に切断して見ること、といった簡単な方法を用いていくのだが、定理
の主張のみならず、それが証明されていく途中の図形による直観的なこ
とにより、幾何学のおもしろさがちょっとわかった思う。また、デザル
グの定理やパスカルの定理に見る双対性（点と直線の入れ替えによって
も定理の形が変わらないこともおもしろいとおもった。
103246 ＨＥ
４日間の集中講義で主にユークリッド幾何学と射影幾何学に触れるこ
とができた。まず思ったことは、作図がとても大事だという事である。
なぜなら三角形やその外接円、垂線などを正確に書かなければ共点線な
どを求めることができないからである。
ユークリッド幾何学のシムソンの定理は『△ＡＢＣに対してその外接
円周上の点Ｐから辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢに下した垂線の足をそれぞれＬ、
Ｍ、Ｎとするときこの３点は共点線である』という定理である。これは、
円周角を利用して対角が等しいことからＬ、Ｍ、Ｎが１つの直線にのる
ことがわかった。
カルノーの定理は『△ＡＢＣの外接円周上に点Ｐがあり辺ＢＣ、ＣＡ、
ＡＢ上の点Ｌ、Ｍ、Ｎと角αで交わるときこの３点は共点線である』と
いう定理である。この定理もシムソンの定理と同様に円周角を利用して
証明することができる。
カルノーの定理とシムソンの定理は一般と特殊、帰納と演繹の関係に
あり、カルノーの定理の角αがα＝90゜のときシムソンの定理になるこ
とがわかった。
ターナーの定理と『△ＡＢＣの外接円周上の２点Ｐ、Ｑに対して点Ｐ
の辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢに関する対称点をそれぞれＱと結び、ＢＣ、ＣＡ、
ＡＢと交わる点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとするときこの３点は共点線であ
る』という定理である。
これらの定理は全て関係があることがわかった。
デザルグの定理やパスカルの定理などの定理には双対が存在すること
もわかった。
ユークリッド幾何学が合同な図形の中で平行移動や回転、折り返しな
どで重なるとき２つの図形を等しいと言うのに対して、射影幾何学は射
影変換で重なるときに２つの図形は等しいと言える、という事が、射影
幾何学を考える上で１番押さえておくべき事であると思った。
円錐の切り口が円や楕円、放物線、双曲線になるという事を考えるの
はとても楽しかった。１点から球へ出した接戦の長さが常に等しいこと
を利用して証明することができた。
ｘｙｚ空間で２直線の交点を求めるところで、普通に考えれば有り得
無い平行線の交点を求めることができてとても不思議だった。この問題
を考えるのに図を書いたりして感覚をつかむのに苦労した。
２点を結ぶ直線を求める問題も、ｚ＝１の平面で[３:５:１]、[-2:１
:１]の外積を出し、それと直行するベクトルとｚ＝１平面との交線が求
める直線であることを理解するのに時間がかかった。
４日間幾何学について学び、様々な視点で問題を見る力や作図力を身
につけることができたと思う。
４日間ありがとうございました。
103247 ＨＫ
今回、初めて菅原先生の授業を受けました。解析幾何学は習っていま
したが、幾何学では何を学ぶのかさっぱりわからず、緊張していました
が、授業は作図が多く、大変だったけどとても楽しかったです。作図中
も、時間をたっぷりとってもらえておかげで少し迷ったりしたときもみ
んなで考える余裕があり、よかったと思います。また、先生が私たちの
周りをきちんと見て回っていて、質問もしやすい環境でした。机間巡視
という言葉は付属中学校に観察に行ったときに先生から教えてもらって
いたので知っていました。一日目は、お昼休み以外に休憩がなく、トイ
レ休憩がないのはつらかったけど、二日目からはきちんとトイレ休憩を
とってくださり、助かりました。
授業の内容については、ほとんどの内容で理解できたと思うけど、自
由度の中の、二次曲線についてがいまいちよくつかめませんでした。ほ
かは、平面と平面の交線など、イメージしにくいものも多かったけど、
レポートなどで、家に帰って時間をかけるとだんだん空間が見えてきて、
理解できました。また、高校の物理で習ったラジアンや、ほかの数学の
授業で習った、外積の計算や、クラメルの公式、メネラウスやチェバの
定理、ド・モルガンの公式など、忘れていたものもあったので、思い出
すことができてよかったです。ただ、毎日レポートをこなすのはやっぱ
りきつかったです。
どう教えられるとわかる、わからない、ということについて、今回の
授業は作図が多かったのでわからないということはあまりなかったので
すが、よく、具体例がないまま難しい公式を難しい言葉で説明するだけ
の授業があり、こういう授業は受けていてもさっぱりということがあり
ます。高校までは計算練習も多かったけど、大学に入って具体例が減り、
理解しにくくなったような気がします。
この授業では、幾何学について以外に、いろんな話を聞きました。特
に、数学を習っただけでは教えられない、自分の言葉で何通りもの言い
方で説明できるようにならないと、という話はなるほど、と思いました。
確かに、一通りの言い方でしか理解していないと、生徒から質問を受け
たときに自分が理解していた言い方以外の言い方で質問されたら、教え
られるものも教えられなくなるかもしれないということは、あってはい
けないことだと思います。また、シムソンの定理とカルノーの定理、メ
ネラウスの定理のチェバの定理などのように、別々に教わったことでも、
関連付けて覚えることができ、特に四点が同一円周上に並ぶ必要十分条
件を先生が関連付けて説明したのには感動しました。
１１月には中学校に実習に行きます。この夏休みが実習前の最後のチ
ャンスなので、中学校の内容を振り返り、理解が不十分な部分をもう一
度復習してみようと思います。
103262 ＹＡ
多くの定理を学びましたが、複雑な図を描いていくと結果的には共点
線や共線点ができ、そのときの驚きと発見がおもしろかったです。ユー
クリッド幾何学の定理３で、LMNだけでなく実はA`B`C`も共線点であった
ことが定理１から明らかであることをみつけたときはうれしかったです。
図を描いて定理を確かめ、証明をするのは楽しかったのですが、後半に
なると、図で確かめるといったような具体的な感覚を持つことが難しく
なり、だんだん混乱してきてわからなくなりました。友達に聞いて理解
はできましたが、授業中の理解度は悪かったです。
103264 ＹＴ
今回の授業で学んだことは １ 図形の証明には限りなく時間を費
やすこと ２ 数学科の学生としての意識を高く持つこと ３ レ
ポートをきちんと正しく書くこと 以上の３点だったと思います。
３年で初めて菅原先生の授業を受けて、たった４日間でしたがもっと
たくさん勉強しなければいけないと感じました。１・２年生の期間に勉
強しなさすぎていたので、後期は教育実習もありますが時間を見つけて
数学にはまろうと思います。
幾何学に出てくるいろいろな定理は関連性を持つものが多く、思った
よりもすっきりした形でまとめることができていたと思います。多くの
定理がある定理が拡張された形で現れるので授業中も出たように幾何学
以外の数学の分野のときも『一般化と特殊化』というものについて勉強
できればよいと思います。またこのクラスは文系の人が多かったので数
学自体をあまり勉強していない学生が多く、それに合わせて先生が幾何
学だけでなく数学全般のことについて説明してくださったので復習にな
ってよかったです。（特に全単射の部分の 012 を加える操作や双曲線・
楕円や外積です）
数学ができる人たちにだけではなくみんなに理解して欲しいというこ
とがよくわかりました。私は高校の教師を目指していますが小学校・中
学校に比べて高校ではできる生徒とそうでない生徒への教師の関わり方
に差があるので高校の先生になってそのような部分をなくして数学嫌い
がなくなるように努力していきたいです。
２日目に出てきた『束』の考え方は大学受験でもよく出てきており解
き方はわかるけれどなぜそのようになるのかまでは完全に理解できてい
ませんでした。しかし、ベクトル空間（1次結合）の考え方をもっとよく
勉強することで理解する方向へ近づいて行けるような気がします。受験
の問題は解けるけれど何故そうなるのかといったものが高校の数学の中
には多く、高校で数学を教えていく中で自分なりの答えを何らかの形で
持っておかないと、いざ授業をしなければいけなくなったときに自分と
同じような疑問を持つ生徒が必ず出てくるのでその生徒にとって役に立
つことができなくなります。また、大学数学で学ぶことの大半を理解で
きていれば高校の数学や大学受験の数学も１つ高いところから見下ろす
ことができると思うので丸暗記させることなく生徒たちにもっとわかり
やすい形で説明でき数学を受け入れてもらえるのではないかと思います。
射影幾何という言葉は梶本先生の授業で何度か聞いたことがあったの
ですが今回内容を知ることができてよかったと思います。特に『双対』
という考え方で「点と直線」、「点と点を結ぶ直線と直線と直線の交点」
を対応させて「双対な定理」を作ることができるということがすごくす
っきりした形で分かりやすかった。しかし最も難しかったところはやは
り無限遠点の集合をつけ加えて射影空間を作るところです。また勉強し
直します。後期の集中講義も楽しみにしています。
102014 ＫＡ
ユークリッド幾何学では、シムソンの定理に驚いた。
外接円周上の点から各辺への垂線の足が共線点になるというシムソン
の定理は、驚くべき定理である。しかし、高校生でも証明できることを
知り、自分でも容易に理解できた。また、シムソンの定理はカルノーの
定理を特殊化したものであり、シムソンの定理と同様にして証明できた
ことに感心した。
射影幾何学では、楕円、双曲線の証明が印象的である。今まで何気な
く楕円と双曲線の式を使っていたが、証明をしたことがなった。そして、
今回、焦点との距離から式を証明することができた。計算の過程は少し
複雑であったが、みごとに導き出すことができたことはうれしかった。
この４日間の集中講義では、いくつもの定理を時間をかけて１枚の紙
に書いた。その中でも、パスカル線を用いて５つの点から１つの二次曲
線を描くことが印象的である。１枚の紙に入りきれないことも多々あり、
苦労したが、だんだんと形が現れてくると達成感があった。
また、パップスの定理の遇置換、奇置換を自ら描いて法則を見つけた
ときはうれしかった。
このように、様々なことを学習した。どれも自分で紙に書いてみて初
めて理解できるのであり、重要であることを学んだ。
103237 ＴＩ
幾何学Tを受けて一番考えたことは、数学教育において教える側と習
う側の両者の日本語がしっかりしてないことについてです。教える側の
日本語がしっかりしていないと教えることもできないと思います。また、
習う側の子どもたちの日本語もしっかりしていないと、きちんと理解す
ることもできずに、ただ覚えるだけになってしまうと思いました。覚え
るだけだとすぐに忘れてしまうし、忘れたときに使いものにならないと
思います。これではなんの意味もないし、その授業の時間がもったいな
いと思います。数学には日本語という言葉はあまり必要でないというイ
メージがありましたが、今回、幾何学Tの講義を受けて、数学は言葉が
とても必要なものだと思うようになりました。日本語の欠落の問題は、
数学教育に関わらず他教科にも言えることですが、やはり小さい頃から
きちんとした日本語を使えるようになるように本を読んだり、習ったこ
とを自分の言葉に直してみたり、自分の考えを人に説明したり、という
練習を積み重ねていかなければならないと思いました。習った事をちゃ
んと自分の言葉で説明できることは大事なことなんだなと思いました。
また、特に図形などを扱う幾何学では、実際に自分で作図をしてみる
ことは重要なことだと思いました。作図を続けていくことで、ものの見
方も多様になると思うし、いろいろな発想も出てくると思います。それ
に、定理をただ覚えるだけよりも、定理に合うように作図をしておけば、
頭にも残りやすいのではないかと思いました。
幾何学Tの講義で取り扱った定理はたくさんありましたが、その中で
わかりやすかったのは、ユークリッド幾何学の方にでてきた定理です。
図を描けば一目瞭然だったし、平面だったので、理解しやすかったので
はないかと思いました。
わかりにくかったものは、射影幾何学のデザルグの定理です。作図を
するにしてもどこから描いていいのかよくわからなかったし、立体的に
考えるのが難しかったです。また、無限遠点のところで出てきた考えか
たがよくわかりませんでした。平面上で２直線は平行なのに空間考える
と交点があったり、その交点を求めるときはxyzの空間で考えたりしてい
るので、よくわかりませんでした。
私自身、言葉があまりしっかりしていないと思うので、一つ一つしっ
かりと丁寧に理解をして、人に、自分の言葉で説明できるように努力を
もっともっとしなければならないと思いました。