§1 正単体（正５胞体）
各次元の空間において、最も簡単な多面体を単体といいます。
まず、１次元では、直線上に２点をとると線分が得られて、これが１
次元単体です。
２次元平面では，一直線上に並ばない３点をとると、三角形が得られ
て、これが２次元単体です。
３本の辺からなりますが、それらは３つの頂点から２個ずつを選んで
結んだ１次元単体であることに注意します。
３次元空間では、同一平面上にない４点で、どの３点も同一直線上に
ないとすると、すべての２点ずつを結んで４面体が得られます。これが
３次元単体です。
４次元の単体について考える前に、正単体の作り方を思い出しましょ
う。正単体とは、各辺の長さが互いに等しい単体です。
一直線上に線分を一つとり、その左右に同じ長さの線分をくっつけま
す。これを２次元平面で折り曲げると正三角形が得られます。
同様に、２次元平面において、一つの正三角形の回りに、合同な正三
角形を３つ隣接させます。これが正４面体の展開図であって、これを３
次元空間で折り曲げて立体的に組み立てますと、正四面体が得られます。
３次元空間において、一つの正四面体の回りに、それと合同な４つの
正四面体を隣接させてくっつけます。これを４次元空間の中で立体的に
組み立てますと、５つの頂点を持ち、５つの正四面体からなる、正単体
が得られます。
位相的展開図は次のようになります。
中身の詰まった正多面体を「胞」と呼ぶことにします。４次元の正単
体は、５つの中身の詰まった正四面体でできていますから、正五胞体と
もいいます。
もう一度ただの単体の話に戻って、 n 次元単体を構成する頂点の個数
や、 k 次元単体 k = 1, 2, ... , n - 1 の個数について考えます。
例えば、4次元の単体では、５個の頂点があって、
です。系表を使うと一目瞭然なので、三角形や四面体のものと一緒に示
します。
それぞれはすべて組み合わせの数ですので、その記号を用いて表した
方が分りやすい場合もありますから、それを掲げておきます。
§2 超立方体（正８胞体）と正軸体（正１６胞体）
２次元平面で４本の辺で囲まれた正方形、３次元空間で６枚の正方形
で囲まれた立方体の自然な延長として、４次元空間では８個の立方体で
囲まれた正八胞体が得られます。
直交座標系を用いれば、頂点は ( ±1, ±1, ±1, ±1) （復号はすべ
ての組み合わせに亙る）の１６個を用意して、例えば超平面（３次元平
面） x_1 = 1 の上には (1, ±1, ±1, ±1) (復号は符号のあらゆる組
み合わせに亙る）の８個を頂点とする立方体があります。このような平
面は $x_i = ±1 (i = 1,2,3,4) の８枚があり,それぞれに応じて８個
の立方体が胞を構成します。
展開図は、３次元空間において、一つの立方体の回りにそれと合同な
６個の立方体を外からくっつけます。ここまでに立方体を７つ使いまし
た。これで４次元空間において組み立ててみると、あとふたをするため
にもう一つ必要であることが分ります。
位相的展開図を考えることも容易です。
筆者はこれを学生のころ、ガモフの「1, 2, 3, ... 無限大」の挿絵で
初めて目にして感激しました。
次は正軸体といって、各座標軸上の原点から等距離にある２点をとっ
て結んだ図形です。2次元では正方形、３次元では正八面体です。
４次元にあっては ( ±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0),
(0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) の８点を用意します。
16 枚の超平面 ±x_1 ±x_2 ±x_3 ±x_4 = 1 のそれぞれの上に,
４点を頂点とする正四面体があり、それらが胞となっています。
例えば超平面 x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 1 の上には
(1, 0, 0, 0), (0, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, -1)
を頂点とする正四面体が乗っています。
展開図を考えるには、まず一つの正四面体の回りにそれと合同な正四
面体を４つ接着します。この時点では正五胞体の展開図と同じです。
正十六胞体は各辺を４つの胞（正四面体）が共有しているので,中心の
正四面体の６つの辺に沿って６つの正四面体をさらに付け加えます。
これで 11 個の胞を使いました。
あとの５つは例の正五胞体の展開図でふたをして完成です。
位相的展開図は次の通り。
立方体の８つの頂点のうち４つを、各面で対角線の両端にくるように
選ぶと、立方体に内接する正四面体が得られます。これと同じように、
正八胞体の１６個の頂点 ( ±1, ±1, ±1, ±1) のうちから -1 が偶
数個の頂点を選ぶと、これらを頂点とする正十六胞体が得られます。
この正十六胞体は頂点を共有しながら正八胞体に内接しています。
正十六胞体の１６個の胞は正四面体で構成されていますが、そのうち
の８個は超平面 x_i = ±1 の上にあって、元の正八胞体の胞である立
方体に内接しています。
残りの８個の正四面体は、８枚の超平面 ±x_1 ±x_2 ±x_3 ±x_4 = 2
の上にあるもので、例えば超平面 x_1 + x_2 + x_3 - x_4 = 2 で正八
胞体を切ると、その切り口は４点
(1, 1, 1, 1), (-1, 1, 1, -1), (1, -1, 1, -1), (1, 1, -1, -1)
を頂点とする正四面体になります。
正八胞体と正十六胞体は互いに双対ですから、その系表も互いに 180
度の回転で一致します。
ここで立方体と正八胞体の系表について、適当な２べきを括り出して
みると、残りの因数が組み合わせの数になっていることに気づきます。
そこで組み合わせの数で書きなおすと
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