むかしむかし、山賊が黄色の陸に住んでいました。陸は二つに分かれて
いましたので、二つの S に根拠地をもつ山賊は、海峡に橋をかけました。
ところが、青い海には海賊が住んでいました。二つの K に根拠地を持つ
海賊は、橋のために海峡が通れなくなってしまいました。
橋をめぐってまる一日戦闘が続きました。戦い済んで日が暮れて、さて戦
果はどうなったのでしょうか。
橋 Br が残れば 山賊の勝ち。海賊の負け。
橋 Br が落ちれば 山賊の負け。海賊の勝ち。
図２。 橋が直列に２つ架かっています。山賊は二つとも守る必要があ
ります。海賊はどちらか１方を落とせば通れるようになります。
橋 Br(1), Br(2) の両方が残れば 山賊の勝ち。海賊の負け。
橋 Br(1), Br(2) の少なくとも一方が落ちれば、 山賊の負け。海賊の勝ち。
図３。 橋が並列に架かっています。今度は山賊はどちらか一方を守れ
ばよく、逆に海賊は両方を落とす必要があります。
橋 Br(1), Br(2) の少なくとも一方が残れば 山賊の勝ち。海賊の負け。
橋 Br(1), Br(2) の両方が落ちれば 山賊の負け。海賊の勝ち。
図２では、山賊から見れば、橋は直列に架かっていますが、海賊の立場で
みると、海峡の形は並列になっています。
逆に、図３では、山賊から見れば、橋は並列に架かっていますが、海賊の
立場でみると、海峡の形は直列になっています。
図２を見ていると
橋 Br(1) を残す かつ(and) 橋 Br(2) を残す （山賊の勝ち、海賊の負け）
の「否定」は
橋 Br(1) を落とす または(or) 橋 Br(2) を落とす（山賊の負け、海賊の勝ち）
であることがわかります。
また、図３を見ていると
橋 Br(1) を残す または(or) 橋 Br(2) を残す （山賊の勝ち、海賊の負け）
の「否定」は
橋 Br(1) を落とす かつ(and) 橋 Br(2) を落とす （山賊の負け、海賊の勝ち）
であることがわかります。
図４． 橋が３つ、直列になっている場合です。これからは「３つ」と
いうことは「たくさん」ということと解釈して下さい。
すべての橋が残れば 山賊の勝ち。海賊の負け。
少なくとも一つ橋が落ちれば 山賊の負け。海賊の勝ち。
図５． 図４の双対です。橋が３つ、並列になっている場合です。
少なくとも一つ橋が残れば 山賊の勝ち。海賊の負け。
すべての橋が落ちれば 山賊の負け。海賊の勝ち。
ここで、新しい記号を導入します。 ∀ と ∃ です。
∀i∈{1, 2, 3} とは 集合{1, 2, 3}のすべての元iについて
という意味です。
∃i∈{1, 2, 3} とは 集合{1, 2, 3}のどれか少なくとも１つの元iについて
という意味です。ですから
∀i∈{1, 2, 3}, Br(i)が残った とは すべての橋が残った
という意味になります。また
∃i∈{1, 2, 3}, Br(i)が落ちた とは 少なくとも1つの橋が落ちた
という意味になります。従って
「∀i∈{1, 2, 3}, Br(i)が残った」 と 「∃i∈{1, 2, 3}, Br(i)が落ちた」
とは、互いに「否定」の関係になります。
記号「∀」を 全称記号、記号「∃」を 特称記号 といいます。
ますます複雑になってきました。縦にも横にも「たくさん」あるのです。
まず、例えば左の１列 
を、一つの橋とみなします。
この部分を T(1) とします。同様に T(2), T(3) を考えることができます。
すると、橋が３つ並列に並んだ場合、すなわち 図５ になりますから、山
賊が勝って、海賊が負けるのは 「∃j∈{1, 2, 3}, T(j)が残った」 場合
ということになります。
ところで、 T(j) について山賊が勝つのは 図４ から 「∀i∈{1, 2, 3},
Br(i,j)が残った」場合ですから、これらを組み合わせると 図６ で山賊が
勝つのは
∃j∈{1, 2, 3}, ∀i∈{1, 2, 3}, Br(i,j)が残った
場合ということになります。
逆に、山賊が負けるのは、 「∀j∈{1, 2, 3}, T(j)が落ちた」 場合で
あり、T(j)が落ちるのは、「∃j∈{1, 2, 3}, Br(i,j)が落ちた」 場合です
から、これらを組み合わせると 図６で山賊が負けるのは
∀j∈{1, 2, 3}, ∃i∈{1, 2, 3}, Br(i,j)が落ちた
場合ということになります。j ごとに異なる i が選べることに注意します。
要するに、全称記号と特称記号が組み合わさった命題の「否定」を作るに
は、順序を保たせたまま、全称記号を特称記号に、特称記号を全称記号に変
えて、最後の結論を否定すればいいということになります。
次の 図７ は、図６の双対です。
今度は上の海峡 
を、一つの橋と
みなして T(1) とします。同様に T(2), T(3) を考えることができます。
すると、橋が３つ直列に並んだ場合、すなわち 図４ になりますから、山
賊が勝って、海賊が負けるのは 「∀i∈{1, 2, 3}, T(i)が残った」場合
ということになります。さらに T(i) について山賊が勝つのは 図５ から
「∃i∈{1, 2, 3}, Br(i,j)が残った」場合ですから、これらを組み合わせ
ると 図７ で山賊が勝つのは
∀j∈{1, 2, 3}, ∃i∈{1, 2, 3}, Br(i,j)が残った
場合ということになります。
逆に、山賊が負けるのは、 「∃i∈{1, 2, 3}, T(i)が落ちた」 場合で
あり、T(i)が落ちるのは、「∀j∈{1, 2, 3}, Br(i,j)が落ちた」 場合です
から、これらを組み合わせると 図７で山賊が負けるのは
∃j∈{1, 2, 3}, ∀i∈{1, 2, 3}, Br(i,j)が落ちた
場合ということになります。
この場合も、全称記号と特称記号が組み合わさった命題の「否定」を作るに
は、順序を保たせたまま、全称記号を特称記号に、特称記号を全称記号に変
えて、最後の結論を否定すればいいということです。
最後に練習問題です。
問題１ 図６は、図５の各橋に、図４を「代入」したものであることを確か
めなさい。
図７は、図４の各橋に、図５を「代入」したものであることを確かめなさい。
問題２ 山賊が勝ち、海賊が負ける場合が
∃i∈{1, 2, 3}, ∀j∈{1, 2, 3}, ∃k∈{1, 2, 3}, Br(i,j,k) が残った
であるような 陸と海と橋の図 を描きなさい。
またそのときの、山賊が負け、海賊が勝つ場合の条件を述べなさい。
問題３ 山賊が勝ち、海賊が負ける場合が
∀i∈{1, 2, 3}, ∃j∈{1, 2, 3}, ∀k∈{1, 2, 3}, Br(i,j,k) が残った
であるような 陸と海と橋の図 を描きなさい。
またそのときの、山賊が負け、海賊が勝つ場合の条件を述べなさい。
問題２のヒント うしろの 「∃k∈{1, 2, 3}, Br(i,j,k) が残った」の
部分は i, j ごとに 「T(i, j) が残った」と言い換えることができて、
Ａ： ∃i∈{1, 2, 3}, ∀j∈{1, 2, 3}, T(i, j) が残った
Ｂ： ∃k∈{1, 2, 3}, Br(i,j,k) が残った
の２つに分解することが出来ます。Ａは図６の場合であり、Ｂは図５の場合
ですから、解答の図は、図６の橋に、図５を「代入」したものになります。
参考 「否定文を作ろう」
もあわせてご覧下さい。
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