下の記事の下半分で n と m が入り乱れて分かりにくくなっていた上、間違っていました。
> 前者の 2*n+2 回目と後者の 2*n+1 回目が同じ数字
ではなく、
前者の 4m+1 回目と後者の 4m 回目が同じ数字
となります。すいません。

> Kanbayashiさん
私も「証明」をいくつか見かけたことはあります。
しかし公式的な証明はまだのようです。
それが出るまで粘ってみてはいかがでしょうか？

コラッツ算から外れますが、
現状ではサーバが落ちるとクライアントは身動きがとれません。しかしサーバが落ちている間はクライアントが自動的に n の数値を生成し、クライアント同士で同じ計算をしないよう連絡をとりながら行ってもいい気がします（seti@home のようなものだとこうは行きませんけど）。

あと、既出かもしれませんが、
現在は各種の専用アプリケーションをインストールして使用する方法が主ですが、
将来はグリッドコンピューティングの「基本ソフト」が活躍すると思います。

ひそかに２進数でのコラッツ算を調べていました。
２進数表示では、下から n 桁連続で１があった場合、*(3/2)+(1/2)の処理が n 回連続で行われることが示されます（必要であれば証明します）。
一般に k * 2^n -1 （k は自然数）であらわされる数字は k * 3^n -1 を通過することがわかりました。
k * 2^n -1 にて k=1 を代入するとメルセンヌ数です。
すなわち 2^n -1 は 2*n 回後に 3^n -1 を通過することになります。
だから、初期値を 3^n -1 にして 2*n 回目からスタートしても同じことになります。
これを採用すれば１割強くらいは速度アップできそうですね。

ところで n と回数の関係についてですが、
「2^(2m) -1 の回数は 2^(2m-1) -1 （m は２以上の自然数）より１回だけ多い」
という発見をしました。
詳しく調べてみたところ、前者の 2*n+2 回目と後者の 2*n+1 回目が同じ数字でした。
これによって、n が偶数か奇数の場合だけ調べればいいことになります。

他にも不規則に、n が１増えると回数も１増える個所を見つけました。現在調べているところですが、おそらくこの部分も比較的少ない回数で同じ数字に合流すると予想しています。

(2^n-1)(2^n-1)(2^n-1)+1 は、計算すると　3^n-1となりました。
これは３進法のビットパターンを示していました。
３進法の1111を３倍して１を加えると11111となります。
3^nは必ず奇数ですから。３進法の各桁の1を数えると奇数か
偶数か分かりました。パターンの繰り返しがあれば教えて下さい。

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