| あなたは「あの世」が 存在することを知っていますか？
|
（４）次元を一つずつ下げて考える
私達の「現世」３次元の世の中が曲がっているとは信じがたい。一般的に、同じ次元で曲がっているか
どうかを知ることはできない（特別な方法では可能）。
そこで、「あの世」から「現世」を眺めることにする。「あの世」、「現世」、それ以下の次元を下記の通り
一つずつ下げて考える。
左の次元から右の次元へ下げる
４次元空間（時空５次元）→３次元空間（時空４次元）（あの世）
３次元空間（時空４次元）→２次元空間（時空３次元）（現世）
２次元空間（時空３次元）→１次元空間（時空２次元）
１次元空間（時空２次元）→０次元空間（時空１次元）
これから先は、「現世」を２次元空間（時空３次元）として、考えて下さい。一応、時空３次元はややこ
しくなるので、時間を外して、２次元空間のみを考えて下さい。
２次元空間とは、テレビの画面もそうであるが、太陽とは反対側に落とす「影」、または、蛍光灯に写
る障子の「影」を想像して下さい。厚みが無くて、広がりだけ（面積）をもつ空間が２次元空間である。
いろいろな宇宙空間を、下図に、２次元の空間として示した。
私達が住んでいる３次元空間を「あの世」と仮定し、２次元空間を「現世の宇宙」に見立てて眺
めるので、非常に考えやすくなるはずである。
第１図 第２図 第３図
第４図 第５図
第１図
は真っ平らな宇宙(平坦な宇宙）である（ユークリッド空間、曲率０、ｋ＝０）。もし、宇宙がこのようであ
れば、２次元空間が最終次元と考えられる。３次元空間が無いので曲がりようにも曲がれない。無限
の広がりをもつ宇宙である。ただし、周囲が３次元空間でも、真っ平らな宇宙である（ユークリッド空間
）は存在できるが、確率的に非常に困難である。広い宇宙のすべてが真っ平らである確立は不可能
に近い。私達が住んでいる３次元空間の中でも、真っ平らな２次元を見つけるのは至難の技である。
例えば太陽の反対に落とす影でも、道路の凸凹によって、完全に真っ平らな２次元にはならないよう
に、完全に真っ平らな影を探すことは不可能に近い。
しかし、私達がいる宇宙は極めて平坦であるらしい。３次元空間内で２次元空間が真っ平らである確
立は、宇宙誕生後１０－４３ 秒（プランク時間）に、膨張の初速度を１２０桁（１０１２０）の精度で合わせ
なければ、１２０億年後の今日まで、真っ平ら（曲率０）に近い宇宙には、なり得ないと言われている。
（標準ビッグバン理論）
ただし、この平坦性の問題は、地球のように大きいスケールの場合を考えれば、球面であっても地球
の表面は山や谷の凸凹を除けば、平坦的に感じられるように、宇宙も見かけ上平坦に見えるのだと
思われている。したがって、曲率を感じさせないほどまでに膨張し、エントロピも桁外れに大きくなった
現在の宇宙は曲がっていても構わないとする考え方が現状である。（インフレーション理論）
（インフレーション理論では、宇宙の初期、１０－３６秒の時の宇宙の大きさ１０－２６ｃｍが急激に膨張し、
１０－３４秒後には約３０ｃｍの大きさに膨らんだとされているが、その１０－２６ｃｍの小宇宙の曲率が
曲がっていたとしても、短時間に急激な膨張をしたこにより、シャキット！引き延ばされて平坦になっ
たのだという説である。この場合は、３次元空間内の２次元の宇宙の出来事なので、曲がった空間
の一種である。（１０－３６秒の時の宇宙の大きさ（地平線の大きさ）は、２ｃｔ＝２ｘ３ｘ１０１０ｘ１０－３６秒
＝６ｘ１０－２６ｃｍである。また、１０－３４秒の時の宇宙の温度（Ｔ）は１０２７Ｋ（ケルビン）であり、現在
の宇宙の大きさ（地平線の大きさｒ１ａｏ＝２ｃ／Ｈｏ（ｑｏ＝０．５）＝３ｃｔ＝２８０億光年 、下記参照）
は、１０２８ｃｍで、温度（Ｔｏ）は２．７Ｋ（ケルビン）（宇宙背景放射、次ページ参照）である。宇宙の大
きさと温度は反比例の関係にあるので、１０－３４秒の時の宇宙の大きさ（地平線の大きさ）は、ｒ１ａｏ
・Ｔｏ／Ｔ＝１０２８ｘ２．７／１０２７≒２７ｃｍである））
宇宙時間 温度（Ｋ） 宇宙の大きさ
宇宙の進化
０秒 最高温 ０（１点） 無から宇宙の創生、１１次元時空による膨張の内で、量子
的ゆらぎ（宇宙のタネ）にて、まるで泡のように生成消滅を
繰り返す親宇宙。ビレンキンのトンネル効果を示したり、ホ
－キングの虚数時間の領域でもある（１０ー４３秒以下は、量
子波長より小さくなり、量子不確定性の領域）＊最新版は、
ここからインフレ－ション開始（第０の相転移、時空の誕生）
１０ー４３秒 １０３２ １０－３３ｃｍ 時空４次元（４次元時空）と重力が出現する（１１次元時空
（プランク時間） （プランク長さ） の内、４次元時空までしか感じとることができない、ビレンキ
ンのように無からトンネルを通って、実数時間の宇宙が突如
にして誕生する。第１の相転移、４次元時空（この世）の宇宙
誕生）
１０ー３６秒 １０２８
１０－２６ｃｍ 従来のインフレ－ション開始、指数関数的に膨張する。ａ
（ｔ）∝ｅｘｐ（Λ／３）１／２ｃｔで表される（ａ（ｔ）：宇宙のスケ－ル
因子、Λ：真空のエネルギ（宇宙定数）、ｃ：光速、ｔ：宇宙時
間）。減速係数（ｑ）と重力場の方程式に関係する式は、２ｑ
－１＝ｋｃ２／ａ２Ｈ２で表わされる。（ｋ：曲率パラメ－タ、ｃ：光
速、ａ：宇宙のスケ－ル因子、Ｈ：ハッブル定数）
この式から、ハッブル定数Ｈは一定と見なせるから、ａが指
数関数的に膨張すると、右辺は０に近づく、即ち、２ｑ－１→
０になるので、２ｑ→１、ｑ＝０．５、よって、ｋ＝０（平坦な宇
宙）である。このように、インフレ－ション理論は平坦な宇宙
となる（現在の減速係数ｑｏ＝０．５の場合は平坦な宇宙で
ある。下記参照）。同時に、親宇宙から子宇宙、孫宇宙－
－－へと際限なく無数の宇宙が造られる多重宇宙の発生
（第２の相転移）
１０ー３４秒 １０２７
２７ｃｍ インフレ－ション終了、ビッグバン、ここから、宇宙はハッブ
（３０ｃｍ）
ルの膨張則に従って現在の宇宙に向かって、比例的に膨
張する。よって温度と宇宙の大きさの関係は反比例になる
１２０億年 ２．７ １０２８ｃｍ 現在の宇宙（下記参照、ｋ＝０、ｑｏ＝０．５、２．３式による）
［９３億年］（宇宙背景放射）［２８０億光年］［ ］内は平坦な宇宙の場合
１３７億年→最新版による現在の宇宙の年齢
＊最新版によると、インフラトンという粒子のエネルギの僅かな差（量子ゆらぎ）により、この世の宇
宙は誕生した時点ですでにインフレ－ション（指数関数的）膨張を起こし、宇宙の種が仕込まれる。
ＮＡＳＡのＷＭＡＰによる観測結果から、現在の宇宙は、バリオン物質４％、暗黒物質２３％、真空
のエネルギ（宇宙定数、暗黒エネルギ）７３％、宇宙が平坦であることが解った。その結果、宇宙
の年齢は１３７億年である。インフラトンとはインフレ－ションを引き起こした張本人という意味。
第２図から第５図までは曲がった空間である。
第２図
は点線の３次元空間内で２次元空間が曲がっている状態である。逆に、２次元空間が曲がるために
は３次元空間が無ければ曲がれない。私達が住んでいる３次元空間では、曲がった２次元だらけで
ある。（人が造った物もμｍ（マイクロメートル）単位では曲がっている）
第３図
の２つの円錐形は、ブラックホールである。それが、３次元側に突き出ている状態を示している。
真っ平らな宇宙（ユークリッド空間）内で、ブラックホール（リーマン空間）など、重力に関係している所
だけが、曲がっている。上記にて宇宙はすこぶる平坦的であると述べたが、もし、宇宙が完全に平坦
であるとすれば、このような宇宙が想定されている。
第４図
は、非ユークリッド幾何学（曲がった面の上に三角形を描くと、平面に描くより、「内角の和」は１８０度
より大きくなる（リーマン幾何学）か、小さくなる（ロバチェフスキーの双曲幾何学）かであるが、その下
地になる面の曲がり具合を曲率という。 「内角の和」が１８０度より大きくなる方を曲率がプラス、小さ
くなる方は曲率マイナスである。平面に描く幾何学（曲率は０）はユークリッド幾何学という）による、曲
率がマイナス（ｋ＝－１、負）の場合の空間の曲がりである。
馬の鞍に似ているが、これをロバチェフスキー空間という。空間は無限に広がり開かれた宇宙である。
第５図
は曲率がプラス（ｋ＝＋１、正）の場合で、球形の表面（２次元空間）である。内部は３次元空間であり、
有限で果てがない、閉じられた宇宙という。地球もこの形をしているので、宇宙をモデルにするときは
よく地球が用いられる。これをリーマン空間という。（もし宇宙が閉じていれば、現在の曲率半径はＲｏ
で表される）アインシュタイン博士も曲率プラスを唱えていたが当初は、円筒形を考えていたようである。
「（１）空間が曲がる」の項で記述したように、皆既日食の実験にて、光の屈折が実証されたが、光が
曲がるのは、太陽の重力により、空間が曲がっているのに起因していると考えられている。
正確には、光は質量がゼロであるが、光のエネルギーに等価な質量を持っているので曲がる場合と
空間が曲がっているいるため、質量の有無に関係なく曲がる場合の両法則によって光は屈折する。
(光速で飛べる光子の静止質量は０である。特殊相対性理論によれば、ｍ＝ｍｏ／√（１－Ｖ２／Ｃ２）
の関係がある（ｍ：慣性質量、ｍｏ：静止質量）。光子はＶ＝Ｃであるので、ｍｏ＝０でなければ光速で
は走れない。量子力学からは、光のエネルギーはＥ＝ｈｆ、運動量はＰ＝ｈｆ／Ｃで表される。
ここに、ｈ＝６．６２５ｘ１０－３４ Ｊ・ｓはプランク定数、ｆ：光の振動数、Ｃ：光速である。また、光の質量は
Ｅ＝ｍＣ2からｍ＝Ｅ／Ｃ2＝ｈｆ／Ｃ2となる）
現世（３次元空間）が曲がるには、一つ上の次元、４次元以上の空間が無ければ不可能である
ことは、上記に次元を下げて説明した通りである。
宇宙が完全に真っ平らであれば（第１図）、「あの世」は存在しないが、少しでも曲がっていれば（第２
図から第５図）、「あの世」が存在することになる（第１図のビッグバンおよびインフレーション理論は曲
がった空間である）。第５図を例にとれば、球の表面は３次元空間内の２次元であるが、時空４次元は
時空５次元の内の球の表面に相当する。４次元時空が曲がるためには、時空５次元がなければ不可
能である。
第１図（平坦な宇宙）、第４図（開いた宇宙）、第５図（閉じた宇宙）の各々の現在の宇宙年齢、宇宙の
地平線などをＦｒｉｅｄｍａｎｎ（フリードマン）宇宙により下表に示す。ただし、ハッブル定数Ｈｏ＝７０ｋｍ
／ｓｅｃ・Ｍｐｃとする。Ｍｐｃはメガパ－セクで３２６万光年である。上記ハッブル定数は、３２６万光年当
り７０ｋｍ／ｓｅｃの後退速度を意味する。
（Ｈｏ＝（７０ｘ１０５／３．２６２ｘ１０６）／９．４６１ｘ１０１７（１光年の距離、ｃｍ）＝２．２６８ｘ１０－１８／ｓｅｃ）
| 宇宙モデル |
平坦な宇宙 |
開いた宇宙 |
閉じた宇宙 |
備 考 |
| |
ユークリッド空間 |
ロバチェフスキー空間 |
リーマン空間 |
|
| 曲率パラメータ（ｋ） |
０ |
－１ |
+１ |
|
| 現在の減速係数（ｑｏ） |
０．５ |
０ |
１．０ |
|
| 現在の密度パラメータ（Ωｏ） |
１．０ |
０ |
２．０ |
ρｃｏ＝９．２ｘ１０－３０ｇ／ｃｍ３ |
| 現在の宇宙年齢（ｔｏ） |
９３億年 |
１４０億年 |
８０億年 |
|
| 現在の曲率半径（Ｒｏ） |
０ |
１４０億光年 |
１４０億光年（最大Ｒｍａｘ＝２８０億光年） |
| 現在の地平線の半径 |
２８０億光年 |
∞（地平線無し） |
２２０億年 |
|
| 時間的変化 |
無限に膨張 |
無限に膨張 |
閉じる |
|
現在の物質密度（ρｏ）が臨界密度（ρｃｏ）と同じ場合平坦な宇宙（ｋ＝０）、ρｏが０の場合を開いた宇
宙（ｋ＝－１）、ρｏが臨界密度の２倍の場合を閉じた宇宙（ｋ＝＋１）として表している。
ハッブル定数をＨｏ、重力定数Ｇとすると、臨界密度はρｃｏ＝３Ｈｏ２／８πＧ＝３ｘ（２．２６８ｘ１０－１８）２
／８ｘ３．１４１６ｘ６．６７２０ｘ１０－８＝９．２ｘ１０－３０ｇ／ｃｍ３である。また、現在の密度パラメータは、
Ωｏ＝ρｏ／ρｃｏ（現在の物質密度／臨界密度）で表される（２ｑｏ＝ρｏ／ρｃｏ）。また、宇宙定数の
効果（Ωａｏ）＝０とする。
（ここからは、あくまで参考のためなので、数式が不得手な人は無視して先に進んで下さい）
１） 現在の減速係数はｑｏ＝４πＧρｏ／３Ｈｏ２である。上記宇宙モデルによる各々の減速係数は次
の通りである。
ｋ＝０の場合、ｑｏ＝４ｘ３．１４１６ｘ６．６７２ｘ１０－８ｘ１ｘ９．２ｘ１０－３０／（３ｘ（２．２６８ｘ１０－１８）２）＝０．５
ｋ＝－１の時、ｑｏ＝４ｘ３．１４１６ｘ６．６７２ｘ１０－８ｘ０ｘ９．２ｘ１０－３０／（３ｘ（２．２６８ｘ１０－１８）２）＝０
ｋ＝＋１の時、ｑｏ＝４ｘ３．１４１６ｘ６．６７２ｘ１０－８ｘ２ｘ９．２ｘ１０－３０／（３ｘ（２．２６８ｘ１０－１８）２）＝１．０
２） 現在の宇宙年齢は、
ｋ＝０、ｑｏ＝０．５の場合、ｔｏ＝２／３・Ｈｏ－１＝２／（３ｘ２．２６８ｘ１０－１８）＝２．９４ｘ１０１７秒
ｋ＝－１、ｑｏ＝０の場合、ｔｏ＝１／Ｈｏ＝１／（２．２６８ｘ１０－１８）＝４．４ｘ１０１７秒
ｋ＝＋１、ｑｏ＝１の場合、ｔｏ＝１／Ｈｏ・［ｑｏ／（２ｑｏ－１）３／２・（ｃｏｓ－１（１／ｑｏ－１））－１／（２ｑｏ－１
）］＝１／Ｈｏ・［ｃｏｓ－１（１－１）－１］＝１／Ｈｏ・［ｃｏｓ－１（０）－１］＝１／Ｈｏ・［π／２－１］＝１／Ｈｏ・［３
．１４１６／２－１］＝０．５７ｘ１／Ｈｏ＝０．５７ｘ１／（２．２６８ｘ１０－１８）＝２．５１ｘ１０１７秒
上記各宇宙年齢（秒）を１年間（３６５ｘ２４ｘ６０ｘ６０）＝３．１５３６ｘ１０７秒で割ると、
ｋ＝０、ｑｏ＝０．５の場合、２．９４ｘ１０１７秒／（３．１５３６ｘ１０７秒）＝９３ｘ１０８年＝９３億年
ｋ＝－１、ｑｏ＝０の場合、４．４ｘ１０１７秒／（３．１５３６ｘ１０７秒）＝１４０ｘ１０８年＝１４０億年
ｋ＝＋１、ｑｏ＝１の場合、２．５１ｘ１０１７秒／（３．１５３６ｘ１０７秒）＝８０ｘ１０８年＝８０億年
３） 現在の曲率半径（Ｒｏ）は、２ｑｏ－１＝ｋｃ２／Ｈｏ２Ｒｏ２で表される。
ｋ＝０、ｑｏ＝０．５の場合、Ｒｏ＝０
ｋ＝－１、ｑｏ＝０の場合、Ｒｏ＝ｃ／Ｈｏ＝３ｘ１０１０／（２．２６８ｘ１０－１８）＝１．３２ｘ１０２８ｃｍ
ｋ＝＋１、ｑｏ＝１の場合、Ｒｏ＝ｃ／Ｈｏ＝３ｘ１０１０／（２．２６８ｘ１０－１８）＝１．３２ｘ１０２８ｃｍ
ｃｍ単位の距離を、１光年９．４６１ｘ１０１７ｃｍにて割る、
ｋ＝－１、ｑｏ＝０の場合、Ｒｏ＝１．３２ｘ１０２８ｃｍ／（９．４６１ｘ１０１７ｃｍ）＝１４０億光年
ｋ＝＋１、ｑｏ＝１の場合、Ｒｏ＝１．３２ｘ１０２８ｃｍ／（９．４６１ｘ１０１７ｃｍ）＝１４０億光年
閉じた宇宙は（Ｒ´）２＝８πＧρｏＲｏ３／３Ｒ－ｋｃ２にて、微分項（Ｒ´）２＝０の時最大となる。すなわち
０＝８πＧρｏＲｏ３／３Ｒ－ｋｃ２であるので、８πＧρｏＲｏ３／３Ｒ＝ｋｃ２である。 ｋ＝＋１であるので、
Ｒ＝８πＧρｏＲｏ３／３ｃ２である。このＲをＲｍａｘとすると、Ｒｍａｘ＝８πＧρｏＲｏ３／３ｃ２となるが、こ
こに、ρｃｏ＝３Ｈｏ２／８πＧをρｏに代入する。Ｒｍａｘ＝（２ｑｏＨｏ２Ｒｏ３／ｃ２）／（９．４６１ｘ１０１７）＝
（２ｘ（２．２６８ｘ１０－１８）２ｘ（１．３２ｘ１０２８）３／（３ｘ１０１０）２）／（９．４６１ｘ１０１７）＝２８０ｘ１０８＝２８０
億光年となる。この時の宇宙時間は、ｔ１＝（πｑｏ／（（２ｑｏ－１）３／２Ｈｏ））／（３．１
５３６ｘ１０７秒）＝
（３．１４１６ｘ１／（（２－１）３／２ｘ２．２６８ｘ１０－１８））／３．１５３６ｘ１０７秒＝４４０ｘ１０８＝４４０億年であ
る。しかし、これを過ぎると宇宙は収縮の方向に転じ、２ｔ１＝８８０億年で、宇宙はビッグクランチを迎
えて閉じる。
４） 地平線は、０∫ｒ１ｄｒ／（１－ｋｒ２）１／２＝ｔ１∫ｔｏｃｄｔ／ａ（ｔ）＝ａ１∫ａｏｃｄａ／ａａ´＝
ｃ／（ａｏ・Ｈｏ）・１／（１＋ｚ）∫１ｄｙ／［２ｑｏｙ＋（１－２ｑｏ）ｙ２］１／２－－－－－－－－－－－－－－（２．１）
で示されるが、ここで、ｔ１が過去に遡るほどにｒ１は大きくなるが、有限で最大のr1（ｔ１→０）が存在す
れば、それが地平線までの動径座標である。ｒ１が無限の場合、地平線は無く、宇宙は無限である。
したがって、ｔ１→０とした時に積分値が有限であるかどうかで地平線の有無が定まる。
有限である場合、この動径距離が時刻ｔｏの時の固有距離で、Ｒ（ｚ）とすると、
Ｒ（ｚ）＝ａ（ｔｏ）・０∫ｔｏｃｄｔ／ａ（ｔ）のことを地平線半径、または、地平線の大きさという。
（地平線半径は、ｒ１に現在のスケ－ル因子ａ（ｔｏ）（または（ａｏ））をかける。下記参照）
この地平線は、ｔｏが増加するとＲ（ｚ）も増加するので、不動ではなく拡大する。このような地平線を粒
子的地平線という（（２．１）式は、ｒ：座標を示すパラメ－タ－で無次元量、ｔｏ：現在の宇宙時間、ｃ：光
速、ａ（ｔｏ）：現在のスケ－ル因子、Ｈｏ：ハッブル定数、ｑｏ：減速係数、ｚ：ドップラ－効果による赤方変
移（放出された光の波長λ１、受け取った光の波長をλｏとすれば、ｚ＝（λｏ－λ１）／λ１で表され
る。１＋ｚ＝λｏ／λ１＝ａ（ｔｏ）／ａ（ｔ１）の関係が成り立つ。光が放出された時のスケール因子ａ（ｔ１）
光を受け取った時のスケール因子（現在のスケール因子）ａ（ｔｏ）である））。
（２．１）式の積分を解けば、地平線が解るが、簡単のため、ｑｏ＝０．５、０、１の場合を次に示す。
（赤方変移（ｚ）→∞の時、光のエネルギ－が０となり、情報がなくなる。その地点が地平線である。ま
た、ｃ／Ｈｏはハッブル半径で、Ｈｏ＝７０ｋｍ／ｓｅｃ・Ｍｐｃの時、１４０億光年である）
ｑｏ＝０．５の場合、Ｒ（ｚ）＝ｃ／Ｈｏ・［２（１－（１＋ｚ）－１／２］→２ｃ／Ｈｏ＝２ｘ１４０＝２８０億光年
ｑｏ＝０の場合、Ｒ（ｚ）＝ｃ／Ｈｏ・［ｌｏｇ（１＋ｚ）］→∞（地平線は無限遠）
ｑｏ＝１の場合、Ｒ（ｚ）＝ｃ／Ｈｏ・［ｓｉｎ－１（ｚ／（１＋ｚ））］→π／２・ｃ／Ｈｏ＝π／２ｘ１４０＝２２０億光年
ここで、（ａ´／ａｏ）２＝Ｈｏ２・（１－２ｑｏ＋２ｑｏ・（ａｏ／ａ））、ｙ＝ａ／ａｏ、２ｑｏ＝ρｏ／ρｃｏ、の関係
があることから、（２．１）式を積分すると、（ａ´：スケール因子の微分項、ａｏ：現在のスケール因子）
ｒ１＝［ｚｑｏ＋（ｑｏ－１）・（（２ｑｏｚ＋１）１／２－１）］・ｃ／（Ｈｏａｏｑｏ２（１＋ｚ）２）の動径座標を得る。この式
で、ｚ→∞とした場合のｒ１が地平線である。ｒ１の式の分子と分母を各々ｚで割って、ｚ＝∞を代入する
と、ｒ１＝ｃ／（Ｈｏａｏｑｏ）
である。したがって、
地平線半径はＲ（ｚ）＝ｒ１ａｏ＝ｃ／（Ｈｏｑｏ）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（２．２）
で表される（この地平線半径は、ユ－クリッド空間（平坦な宇宙）の場合一致する）。（２．２）式は、各
宇宙モデルによって次のように分けられる。
（２．１）式の左辺の積分について、ｋ＝０（平坦な宇宙）の場合、（２．２）式は、
０∫ｒ１ｄｒ／（１－ｋｒ２）１／２＝０∫ｒ１ｄｒ＝ｒ１である。地平線半径はＲ（ｚ）＝ｒ１ａｏ＝ｃ／（Ｈｏｑｏ）－
（２．３）
ｋ＝－１（開いた宇宙）の場合は、
０∫ｒ１ｄｒ／（１－ｋｒ２）１／２＝０∫ｒ１ｄｒ／（１＋ｒ２）１／２＝ｓｉｎｈ－１ｒ１である。地平線半径はＲ（ｚ）＝ｓｉｎｈ－１
ｒ１・ａｏ＝ｃ／Ｈｏ・ｓｉｎｈ－１（１／ｑｏ）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（２．４）
ｋ＝＋１（閉じた宇宙）の場合は、
０∫ｒ１ｄｒ／（１－ｋｒ２）１／２＝０∫ｒ１ｄｒ／（１－ｒ２）１／２＝ｓｉｎ－１ｒ１である。地平線半径はＲ（ｚ）＝ｓｉｎ－１ｒ１
・ａｏ＝ｃ／Ｈｏ・ｓｉｎ－１（１／ｑｏ）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（２．５）
これらの式を用いて、実際に計算を試みる。
ｃ／Ｈｏはハッブル半径で、Ｈｏ＝７０ｋｍ／ｓｅｃ・Ｍｐｃの時、１４０億光年（１．３２ｘ１０２８ｃｍ）である。
ｋ＝０（平坦な宇宙）の場合は、（２．３式）
ｑｏ＝０．５、地平線半径はＲ（ｚ）＝ｒ１ａｏ＝ｃ／（Ｈｏｑｏ）＝１４０／０．５＝２８０億光年（２ｃ／Ｈｏ＝３ｃ
・（２／３）・（１／Ｈｏ））⇒３ｃｔ
ｋ＝－１（開いた宇宙）の場合は、（２．４式）
ｑｏ＝０、地平線半径はＲ（ｚ）＝ｓｉｎｈ－１ｒ１・ａｏ＝ｃ／Ｈｏ・ｓｉｎｈ－１（１／ｑｏ）＝１４０ｘｓｉｎｈ－１∞＝∞
ｑｏ＝０．０１、地平線半径はＲ（ｚ）＝ｓｉｎｈ－１ｒ１・ａｏ＝ｃ／Ｈｏ・ｓｉｎｈ－１（１／ｑｏ）＝１４０ｘｓｉｎｈ－１１００
＝１４０ｘ５．３＝７４０億光年
ｑｏ＝０．１、地平線半径はＲ（ｚ）＝ｓｉｎｈ－１ｒ１・ａｏ＝ｃ／Ｈｏ・ｓｉｎｈ－１（１／ｑｏ）＝１４０ｘｓｉｎｈ－１１０＝
１４０ｘ３．０＝４２０億光年
ｋ＝＋１（閉じた宇宙）の場合は、（２．５式）
ｑｏ＝１、地平線半径はＲ（ｚ）＝ｓｉｎ－１ｒ１・ａｏ＝ｃ／Ｈｏ・ｓｉｎ－１（１／ｑｏ）＝１４０ｘ ｓｉｎ－１１＝１４０ｘπ
／２＝２２０億光年
上記の（２．３）、（２．４）、（２．５）式が、各宇宙モデルの地平線半径Ｒ（ｚ）の一般式である。
下図に、各宇宙モデルの膨張のプロフィ－ルを掲載したが、
① 平坦な宇宙→平宇宙(赤色）
② 開いた宇宙（ｑｏ＝０）→開宇宙０（黒色）
③ 開いた宇宙（ｑｏ＝０．１）→開宇宙０１（青色）
④ 閉じた宇宙→閉宇宙（緑色）
としてグラフ化した。
宇宙の大きさ（ａ（ｔ）／ａｏ）で１．０は現在の宇宙の大きさである。このグラフの目盛は現在の宇宙の
大きさを基準（１．０）とした時の倍数にて表している。ハッブル定数は、Ｈｏ＝７０ｋｍ／ｓｅｃ・Ｍｐｃ、
ａ（ｔ）：宇宙年齢（ｔ）に対する宇宙のスケール因子、ａｏ：現在の宇宙のスケール因子である。
スケール因子は、Ｓｃａｌｅ Ｆａｃｔｏｒ（スケール・ファクタ）と呼ばれる。これは、宇宙を球面で考えたとき
（閉じた宇宙）球の半径に相当するもので、上記、閉じた宇宙の場合に求めた、現在の曲率半径Ｒｏ
に関する重力場の方程式、２ｑｏ－１＝ｋｃ２／Ｈｏ２Ｒｏ２は２ｑｏ－１＝ｋｃ２／Ｈｏ２ａｏ２と書き改めること
ができる。すなわち、曲率半径Ｒ（ｔ）＝宇宙のスケール因子ａ（ｔ）となる。
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