特殊相対性理論は慣性系という特殊な分野の理論で、ピタゴラスの定理が成り立つ世界であったが、
一般相対性理論は、私達が日常的に経験している加速度系を取り扱う理論である。加速度系におい
ては時空が曲がるので、ピタゴラスの定理が成り立たない世界である。（サッカ－ボールの表面に直
角不等辺三角形を描いた積もりでも、曲率が曲がっているので、ピタゴラスの定理が成り立たないが
微少な範囲では、曲面もほぼ平面と見なすことができるので、ピタゴラスの定理は成り立つ）
車の速度を上昇すると、座席に押しつけられる力が生じ、逆に、ブレーキをかけると前方に力がかか
る。このように、加速度が現れると、目に見えない力が働くが、これを慣性力という。（慣性系と混同し
ないように）
私達は、物体の運動には次のような性質があることに、日常的に経験している。今ここに、電車が止
まっているとすると、物体は止まっているものはいつまでの止まっていようとする性質があること、電車
が発車すると、電車の進行方向と逆方向に慣性力が働き（＋加速度）、電車の後方へ倒れること、ま
た、電車のモータのスイッチが切られると、惰性（だせい）により電車は、動いている物体は、いつまで
も動こうとする性質により等速運動になること、次に、ブレーキがかけられると、電車の進行方向に慣
性力が働き（－加速度）、前方に倒れること、そして最後に電車は止まる。この一連の動きのなかで、
止まっている時と、惰性による等速運動の場合が慣性系であり、発車、またはブレーキがかけられる
時点の非等速運動（速度が変化してる状態）を加速度系という。
実際、「加速度とは速度の変化の割合」をいう。例えば車を発進させるとき、１分間に３０ｋｍ／時ま
で上昇させるのか、５０ｋｍ／時までか、または、１００ｋｍ／時までかによって加速度が変わってくる。
このように速度上昇率、または、ブレーキをかけるときの速度減少率であるが、素人には理解しがた
い。速度が変化した時は、必ず加速度が生ずるので、「加速度」とは何ですかと聞かれた時は、
とりあえず、「速度の変化」と答えて下さい。（加速度の単位は、ｍ／秒２である。半径ｒの円周上を
一定の速さｖで等速円運動をする時の加速度は、ｖ２／ｒで表され、その方向は円の中心に向かって
いる。ｖ２は（ｍ／秒）２であり、ｒはｍである。ｖ２／ｒの単位は（ｍ／秒）２／ｍ＝ｍ／秒２となり、加速度
の単位である。運動の方向が変化する加速度の場合も、速度の変化の割合を表している）
（１） 等価原理
これは、重力加速度を伴う重力と慣性加速度による慣性力が同等であるという原理である。
「重力（ｍｇ）＝慣性力（ｍα）」
である。ここに、ｍ：質量、ｇ：重力加速度、α：慣性加速度である。
静止の状態から自由落下をした場合、重力加速度（ｇ）は、９．８ｍ／秒２であることが確定している。
速度（Ｖ）は時間を「ｔ」とすれば、重力９．８ｍ／秒２を比例定数として、Ｖ＝９．８ｔで表され、この時に落下
する距離は（ｄ）＝４．９ｔ２であることが高校の物理で習ったと思う。
第１図に示すように、スカイダイビングをしている男性（女性）がいたと仮定すると、この男性（女性）には
質量をｍとすれば、ｍｇという重力が働いているが、「Ｖ＝９．８ｔ」という速度の変化を伴っている。
そこで、宇宙空間のなかで、重力が及ばない場所にロケットを持っていき、この箇所でロケットを「Ｖ＝
９．８ｔ」の速度の変化で発進しようという試みである。
ロケットには、第１図でスカイダイビングをしていた男性（女性）が乗り込んでいるので、質量は同じである
ロケットは、「Ｖ＝９．８ｔ」という速度変化にて進行しているので、この系のロケットの慣性加速度（α）は比
例定数の９．８ｍ／秒２となる。すなわち、これは重力加速度系の「ｇ＝９．８ｍ／秒２」と同じである。
スカイダイビングをしていた男性（女性）が受ける慣性力（ｍα）は重力（ｍｇ）と同じ力で、ロケットの進行
方向と逆向きに現れるので、第１図に示すように、慣性力（ｍα）に引っ張られて、人間はロケットの後部
に立つことができる。地球上では重力（ｍｇ）に引かれて立っているが、ロケットの場合でも、その進行方
向に平行に、慣性力（ｍα）に引っ張られて立つことができるのである。地球上で重力に逆らって立ってい
ることは、自分の重さ（体重）を感じることである。その重さをＷとすれば、Ｗ＝ｍｇ（重力）である。だから、
重さは重力加速度に左右されるので、月面に立ったときは、地球の引力の１／６だから、その重さも地球
の時の１／６になる（バネ秤で測定した時、地球上で体重６０ｋｇの人は月面では１０ｋｇである）。それに対
し、質量はｍ＝Ｗ／ｇとなり、重さを重力加速度で割ったものであるから、地球上でも月面でも同じ値とな
る（月面ではＷとｇが地球上の１／６であるから、ｍ＝Ｗ／６／（ｇ／６）＝Ｗ／ｇとなり、地球上と同じ値に
なる）。すなわち、質量とは、宇宙のどのような場所でも通用する量で常に同じ値である。
ロケットの場合は、スカイダイビングをしていた男性（女性）が、ロケットの後部に対して感じるその重さ
（体重）はＷ＝ｍα（慣性力）である。よって、「重力（ｍｇ）＝慣性力（ｍα）」が成立する。
ここで使用する自由落下は、重いものも軽い物も同時に落下する理想状態（真空）を前提条件としている
大気が存在している場合、同じ重さの紙でも、広げた場合と、丸めて落とした時の落下速度は異なる。
それは、物体が空気との接触面積による空気抵抗のため、速度Ｖ２に比例して大きくなるからである。こ
の時、ｍｇ＝ｂＶ２（ｍ：質量、ｇ：重力加速度、ｂ：物体の形状（接触面積）による係数）という式が成り立ち
速度はＶ＝（ｍｇ／ｂ）１／２という一定の速度で落下していくが、これを終端速度という。上記のスカイダイ
ビングをしていた男性（女性）にも、当然終端速度が現れ、体重７０ｋｇのスカイダバの場合、１０秒ほどか
かって、約４００ｍ落下したところで、終端速度は２００ｋｍ／時くらいとなり、それ以上速度は上昇しない。
そこで、もっと接触面積を大きく広げて、早くから終端速度に達して、安全に降下させるのがパラシュート
である。私達は、このパラシュートが一定の速度で落下しているのを映画やビデオなどのシ－ンで良く見
かける。水中の場合は、空気抵抗より摩擦は大きいので、もっと早く終端速度に達し、一定速度で物体が
ブクブクと沈んでいくのを確認できる。この大きい抵抗（摩擦）を小さくするため、接触面積をできる限り少
なくするのに、新幹線とか飛行機（コンコルド）、船や潜水艦などは流線形を成している。
「重いものも軽い物も同時に落下する」は、上記のスカイダイビングをしていた男性（女性）の代わりに、
羽毛を自由落下させた場合と、自由落下させたその同じ羽毛をロケットに乗せて加速した時も、同様に、
「重力（ｍｇ）＝慣性力（ｍα）」が成り立つ。すなわち、物体の種類や性質にかかわらず、あらゆる物体
が同じ重力加速度や慣性加速度を受けることを意味している。これが「等価原理」である。
「等価原理」はハンガリ－の物理学者、エトベッシュが１８９０年にねじり秤の方法（原理は他の本に譲る）
にて、１０ー８の精度で等価であることが確認されている。
（２） 光が落ちる、光が曲がる
エレベータが重力によって自然落下する場合は、第２図に示すように、重力と反対側に重力と同じだけ
の慣性力が働くので、エレベータ内部では、体重計を持ち込んで人が計っても、体重計は０の数値を示
す（人も体重計も同時に落下している）。すなわち、重力と慣性力が打ち消し合って、無重力状態（重さ＝
０）となるのである。
無重力中のＢ点の上昇移動
実際の光の場合 （Ｂ点は重力が作用する慣性系）
３０万ｋｍ ３０万ｋｍ ３０万ｋｍ
エレベータ ――――→――――→――――→光 ３秒
→ １秒 ２秒 ３秒 ↓ ♀Ｂ
♀Ａ点 →ａ ａ ↓ ￣光は落
￣ ♀ →ｂ １秒 ｂ ２秒 下 してい
￣ ♀ ４．９ｍ ２秒 １秒 ♀Ｂ ると感じる
￣ １９．６ｍ ↓ ♀Ｂ ￣ 慣性力（重力）
→ｃ ｃ →ｃ → ￣ ↓ ↓ ↓
♀ ♀Ｂ点（固定） ３秒 ♀ ♀Ｂ点 ―――――――→
￣ ￣ ４４．１ｍ ￣ ￣ この矢印線まで光は
（Ｂ点は重力が作用する慣性系） エレベータ 放物線を描いて落下
地上 する。 エレベータから
￣￣￣￣ 見るとＢ点の光は直
進している
今、上図から、エレベータの横幅を３０万ｋｍと仮定して、エレベータがＡ点より、自然落下により地上に
向かって、１秒、２秒、３秒、－－－－－－と落ちているのを考えるに、エレベータの１点から、光を→方
向に通過させれば、エレベータの内部に乗っている人はエレベータが自然落下していても、常に、光は
→方向に直進していると感じられると思われるが（第２図、光Ａ）、エレベータの外部、地上から中間地点
に固定されたＢ点からその光→を眺めると、光の矢印の先→ａ、ｂ、ｃは放物線を描いて、光が落下して
いるのを確認することができる（第２図、光Ｂ）。実際の光で考えた場合は、光は水平方向の初速度が大
きいので、光を粒子と考えた時、３０万ｋｍ（１秒）走ったところで、落下する 距離は（ｄ）↓＝４．９ｔ２から
４．９ｘ１２＝４．９ｍ、６０万ｋｍ（２秒）で、４．９ｘ２２＝１９．６ｍ、９０万ｋｍ（３秒）にて、４．９ｘ３２＝４４．１
ｍ－－－－となる。これはエレベータの場合でも、落下する 距離は（ｄ）↓＝４．９ｔ２が適用され、上記、
実際の光の場合と同じである。よって、エレベータ内部の光の先→ａ、ｂ、ｃは落下をしているのである。
次に、エレベータの内部に乗っている人が、Ｂ点を通過する時、Ｂ点がすごい勢いで上昇するのを確認
することになるが、上昇する距離（ｄ）↑は、上記、１秒、２秒、３秒－－－－－－と光が落下する時の距
離に等しい。即ち、重力と逆方向へＢ点を引っ張り上げているのと同じである。そして、この引っ張り上
げられているＢ点と反対側に慣性力が働く。以上のことを、ここで、じっくり考えてみよう。
（１） エレベータ内部は、重力と慣性力が釣り合っているので、無重力の完全なる慣性系で、光は直進
する。それに対して、エレベータの外部に固定されたＢ点は重力が作用する慣性系である。（上図
左側）
（２） 重力が作用するＢ点から、エレベータを見ると、エレベータは加速度運動にて、落下しているので
エレベータと同じく、光も落下するのを確認することができる。したがって、重力が作用するＢ点（慣
性系）は、光が直進せず、下方へ曲がるので、特殊相対性理論が成立しない。（上図左側と中側）
３） 無重力の完全なる慣性系である、エレベータ内部からＢ点を眺めた場合、宇宙空間の全く重力が
働かない無重力の中にあるＢ点が地球重力と同じ加速度運動にて、上方へ引っ張り上げられてい
ると考えることができる。（無重力の中で、Ｂ点という別のエレベータが地球重力と同じ加速度運動
にて上昇していると考える）その反対側に慣性力が働いているので、等価原理によりＢ点に人が立
つことができる。そのＢ点は、重力が作用する慣性系と感じられるので光が落下する。しかし、Ｂ点
の外側、無重力中の慣性系（エレベータ内部）から見ると、Ｂ点は加速度運動をしていて、１秒、２
秒、３秒－－－と上昇した距離分を放物線を描いて光が落下するので、Ｂ点の光は変動せず直進
しているように見える。（上図右側）
上記（１）、（２）、（３）から次のように考えることができる。、
エレベータからＢ点を眺めた場合、Ｂ点は無重力の加速度系、エレベータ内部は無重力の慣性系。
Ｂ点からエレベータを見た場合、エレベータは無重力の加速度系、Ｂ点は重力が作用する慣性系。
このように重力中をエレベータが落下している際、見方の立場によっては、慣性系であり、加速度系で
もあり、区別がつかなくなる。特殊相対性理論では、絶対速度が否定されたように、ここでも、絶対加速
度の概念が無くなることをを意味している。そして、エレベータが落下している場合（上図左側）とＢ点の
別のエレベータが上方へ引っ張り上げられている場合（上図右側）は、等価原理により、お互いに、同じ
物理法則が適用できるということである。
一般に重力中をエレベータが落下している場合や、地上から野球のボールを投げあげて、放物線を描
いて再び地上に落下する場合、または、人工衛星の場合は、エレベータ内部や野球のボールの内部、
または、人工衛星の内部が無重力の慣性系で、これらを重力が作用する慣性系（外部）から眺めると、
無重力の加速度系となる。この場合、無重力の慣性系と重力が作用する慣性系（加速度系）とは区別
されなければならない。無重力の慣性系では、光は直進するので特殊相対性理論が適用され、重力が
作用する慣性系（加速度系）は、光が落下するから特殊相対性理論が成立しない。（一般相対性理論）
第３図に示すように、バス停に人がいて、その前でバスが急ブレ－キをかけたと仮定すると、バスの内
部では、慣性力によって、人がバタバタと前方に倒れ、場合によっては、座席にぶっつけて、たんこぶ
を作っているかもしれないというような大変な状況にあるが、バス停にいる人には何の影響も受けてい
ない。この場合、地球の重力を無視すると、バス停は無重力の慣性系で、バスの内部は重力（慣性力）
が作用する慣性系である。（バスの内部は無重力の慣性系で、バスの慣性力に見合う重力を持つ星が
前方にあると考えても良い）。バスの横幅方向に、ある一点から光を入射すると、バスの内部では、光
が斜前方に曲がりながら進むように見えるが、バス停からバスの内部を見ると、無重力の加速度系で
光は斜後方に直進しているように見える。よって、バス停側とバスの内部側 は相対的な関係では無い
ことが解る。慣性系と加速度系は本質的に異なり、加速度系で現れる慣性力は「見かけの力」と言わ
れるが、私達の体には現実に働いているので幻想ではない。
上記にて、エレベータが落下している場合は、内部を無重力にできると述べたが、これはエレベータ
全体が無重力ではなく、局所的にしか起こらないということである。第４図に示すように地球の重力は
中心から放射状に影響するので、エレベータではＡ，Ｂ，Ｃという重力が作用していると考えられる。
Ｂは地球重力と垂線方向で一致しているが、Ａ、Ｃはエレベータが地球表面に近づくにつれ、Ｂの方へ
寄ってくることになる。すなわち、Ａ，Ｃはお互いにＢの方向に力が働いているということである（この力
は潮の満ち引きに関係するので、一般に潮汐効果という）。したがって、重力を消し去ることのできる
のはＢの近傍しかできない。これを局所慣性系というが、一般的には、慣性系と加速度系は区別がつ
かないところから、局所ローレンツ系と呼ばれている。
重力が作用していても、局所空間において、そこに適当な座標系を置くことによって、慣性系を設ける
ことができる。すなわち、加速度系（重力）があっても、局所的に慣性系として扱うことができることを意
味する。アインシュタイン博士は次のように主張している。
「絶対的な加速度系というものはなく、すべてが慣性系である。そして、その慣性系に重力が作
用する系が加速度系である」と、
微少な範囲（時間の場合は瞬間を捉える）では、重力が作用していても、局所無重力系として取り扱え
ることから、特殊相対性理論の範疇であり、ユークリッド幾何学が成り立ち、ピタゴラスの定理が使用
できる（ミンコフスキ空間）。しかし、有限な範囲においては、無重力の慣性系と重力が作用する慣性
系との間には、慣性系と加速度系の座標変換が必要である。特殊相対性理論では、エレベータが加
速度系で、Ｂ点が慣性系であるが、一般相対性理論の場合は、エレベータが局所慣性系で、Ｂ点は、
重力が作用する慣性系であるので加速度系となる。特殊相対性理論での座標変換はロ－レンツ変換
であるが、この変換の前と後でも、物理法則は不変である。一般相対性理論の場合は、
「局所慣性系で成り立っている物理法則に、一般座標変換を実施することにより、どのような座
標系でも成立する物理法則が得られる。これが一般相対性原理である」
（物理法則が不変（共変）な形式で表されるためには、ロ－レンツ変換による特殊相対性理論でも、一
般座標変換による一般相対性理論においてでも、ベクトルやテンソルで表された式が用いられる。）
一般相対性理論は、１９１６年にアインシュタインによって発表されたが、その当時、この理論を理解
する者は、世界中に１ダ－スもいないだろうと言われるほど難解である。ここでは、数式は参考のため
に用いて、理論の内容を中心に記述しているので、数式は深く考えずに、さらりと頭の中で通過させて
下さい。
今、直交座標の中で、点Ｐ（ｘ１，ｙ１）と点Ｑ（ｘ２，ｙ２）との差を（ｘ＝ｘ１－ｘ２，ｙ＝ｙ１－ｙ２）とすると、
１） ２次元直交座標（ｘ軸とｙ軸の目盛間隔１：１の場合）のＰＱ点間の距離の２乗（ｓ２）は、ピタゴラス
の定理により、ｓ２＝ｘ２＋ｙ２で表される。
２） ２次元斜交座標（ｘ軸とｙ軸の目盛間隔１：１の場合）の、ＰＱ点間の距離の２乗（ｓ２）は、
ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋Ｃｘｙである。（Ｃ：ｘ、ｙには無関係な定数で、斜交軸、ｘ軸とｙ軸に挟まれた角だけで
決まり、直角ではＣ＝０である）
２次元直交座標 ２次元直交座標 ２次元斜交座標 ２次元斜交座標
Ｙ ｎＹ Ｙ ｎＹ
↑ ↑ ／ ／
│ │ ／ ／
│ │ ／ Ｘ ／ ｍＸ
└──→Ｘ └──→ｍＸ ￣￣￣￣ ￣￣￣￣
ｘ軸とｙ軸の目盛 ｘ軸とｙ軸の目盛 ｘ軸とｙ軸の目盛 ｘ軸とｙ軸の目盛
間隔１：１の場合 間隔ｍ：ｎの場合 間隔１：１の場合 間隔ｍ：ｎの場合
ｓ２＝ｘ２＋ｙ２ ｓ２＝ｍ２ｘ２＋ｎ２ｙ２ ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋Ｃｘｙ ｓ２＝Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃｘｙ
３） ２次元直交座標（ｘ軸とｙ軸の目盛間隔ｍ：ｎの場合）のＰＱ点間の距離の２乗（ｓ２）は、
ｓ２＝ｍ２ｘ２＋ｎ２ｙ２である
４） ２次元斜交座標（ｘ軸とｙ軸の目盛間隔ｍ：ｎの場合）のＰＱ点間の距離の２乗（ｓ２）は、
ｓ２＝Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃｘｙと表される（Ａ＝ｍ２、Ｂ＝ｎ２）
これが斜交座標の一般式である。曲線座標もある１点の近傍を選べば斜交座標系の１部として使用
できるので、Ａ、Ｂはその１点の縦横の１目盛りの大きさの比から決まり、Ｃはその１点の縦横の曲線
を挟む角により決まる。したがって、曲線座標系を表すことができる。以下、この座標系を用いて、慣
性系と重力を表す式を展開していく。そして、ここで使用する定数Ａ，Ｂ，Ｃが計量または計量テンソル
あるいは基本テンソルである。
３次元ユークリッド空間によるピタゴラスの定理によれば、ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２で表されるが、時間も入
れたミンコフスキの４次元 時空の場合は、ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－ｃ２ｔ２＝－ｃ２ｔ２＋ｘ２＋ｙ２＋ｚ２のように示
される。ローレンツ変換の場合は、－ｃ２ｔ２＋ｘ２＋ｙ２＋ｚ２を不変とする（ｔ、ｘ、ｙ、ｚ）の線形変換として
定義される。この変換は、相対速度υの３成分と、（ｘ、ｙ、ｚ）座標軸に対する（ｘ′、ｙ′、ｚ′）の方向を
定める３つの角と、
－ｃ２ｔ′２＋ｘ′２＋ｙ′２＋ｚ′２＝－ｃ２ｔ２＋ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ｓ２
で与える４行４列の１６個の成分から成る行列で表される。その１６個の成分の内、対称行列の同じ成
分を整理して、左辺に変換式を入れた時、その結果は、（上記、ｓ２＝Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃｘｙの２次元の式か
ら、４次元的に拡大すると）
ｓ２＝ｇ００（ｃｔ）２＋ｇ０１ｃｔｘ＋ｇ０２ｃｔｙ＋ｇ０３ｃｔｚ
＋ｇ１１（ｘ）２＋ｇ１２ｘｙ＋ｇ１３ｘｚ
＋ｇ２２（ｙ）２＋ｇ２３ｙｚ
＋ｇ３３（ｚ）２
の１０個の条件で表すことができる。また、ｃｔ＝Ｘ０、ｘ＝Ｘ１、ｙ＝Ｘ２、ｚ＝Ｘ３と置いて、上記 ｓ２を表すと
ｓ２＝ｇｉｊＸｉＸｊ＝ｇ００（ｄＸ０）２＋ｇ０１Ｘ０Ｘ１＋ｇ０２Ｘ０Ｘ２＋ｇ０３Ｘ０Ｘ３
＋ｇ１１（Ｘ１）２＋ｇ１２Ｘ１Ｘ２＋ｇ１３Ｘ１Ｘ３
＋ｇ２２（Ｘ２）２＋ｇ２３Ｘ２Ｘ３
＋ｇ３３（Ｘ３）２
である（直交座標系（デカルト座標系））。ここに、
ｇ００＝－１、ｇ１１＝１、ｇ２２＝１、ｇ３３＝１、
その他成分＝０（対角行列）で定義した時、
ｓ２＝ｇ００（ｃｔ）２＋ｇ１１（ｘ）２＋ｇ２２（ｙ）２＋ｇ３３（ｚ）２
（２次元の場合は、ｓ２＝ｍ２ｘ２＋ｎ２ｙ２となる）
または、ｓ２＝ｇ００（ｄＸ０）２＋ｇ１１（Ｘ１）２＋ｇ２２（Ｘ２）２＋ｇ３３（Ｘ３）２
（これらがローレンツ変換の慣性系による平面を表す）
であり、これが、ミンコフスキ時空を形成する。この時、ｇｉｊ（一般的にはηｉｊで示される）をミンコフ
スキ空間の計量（メトリック）テンソルという。これは、時間座標Ｘ０と空間座標のＸ１、Ｘ２、Ｘ３の関数
である。ところで、微少な距離を表す場合は、ミンコフスキ時空はｄｓ２＝－ｃ２ｄｔ２＋ｄｘ２＋ｄｙ２＋ｄｚ２で
ある。ここで、再び、上記同様、ｃｔ＝Ｘ０、ｘ＝Ｘ１、ｙ＝Ｘ２、ｚ＝Ｘ３と置いて、局所慣性系の４次元的な微
少距離の２乗（計量）ｄｓ２を、
ｄｓ２＝ημνｄＸμｄＸν＝η００（ｄＸ０）２＋η１１（ｄＸ１）２＋ η２２（ｄＸ２）２＋η３３（ｄＸ３）２
（自然落下による重力のごく狭い範囲による局所慣性系の平面を表す）
で表わし、 ημνを４行４列（行列）の１６個の成分の内、η００＝－１、η１１＝１、 η２２＝１、η３３＝１、
その他の成分＝０ （対角行列）で定義した時、ημνを局所慣性系による計量テンソルという。
これに対して、一般座標変換のもとで曲線座標の不変な線素（微少距離の２乗）（計量）の式ｄｓ２は、
ｄｓ２＝ｇμνｄχμｄχν＝ｇ００（ｄχ０）２＋ｇ０１ｄχ０ｄχ１＋ｇ０２ｄχ０ｄχ２＋ｇ０３ｄχ０ｄχ３
＋ｇ１１（ｄχ１）２＋ｇ１２ｄχ１ｄχ２＋ｇ１３ｄχ１ｄχ３
＋ｇ２２（ｄχ２）２＋ｇ２３ｄχ２ｄχ３
＋ｇ３３（ｄχ３）２
（重力による、曲線座標のリ－マン幾何学の時空を表す）
で表され、ｇμνを４行４列（行列）の１６個の成分の内、対称成分（ｇμν＝ｇνμ）を整理して独立成分
が上記、ｇ００～ｇ３３の１０個で示されたｇμνを重力ポテンシャルの計量テンソルという。ｇμνは、χ０
という時間座標と、χ１、χ２、χ３の空間座標の関数で、時空の性質を決める量である。慣性系では、
時間座標χ０にｃｔを、空間座標（χ１、χ２、χ３）には、直交座標（ｘ、ｙ、ｚ）を用いる。それで、
ｇ００＝－１、ｇ１１＝１、ｇ２２＝１、ｇ３３＝１、
その他成分＝０（対角行列）とした時は、
ｄｓ２＝ｇμνｄχμｄχν＝ｇ００（ｄχ０）２＋ｇ１１（ｄχ１）２＋ｇ２２（ｄχ２）２＋ｇ３３（ｄχ３）２
となる。これは、ｇμνの特別の場合であり、上記のローレンツ変換の慣性系（平面）、または、ｄｓ２＝
ημνｄＸμｄＸν（局所慣性系）（平面）と全く同じになる。
ｇμνの未知数はｇ００～ｇ３３の１０個であるので、右辺に提示された１０個を１組として、時空の隣り合っ
箇所の１０組の１０元連立方程式を立てなければこの方程式は解けない。このｇμνが重力を表し、ミン
コフスキ時空ημν（局所慣性系の平坦な時空）に対して、曲線座標のリ－マン幾何学の時空を形造る。
（上記、慣性系、局所慣性系の場合は、直交座標（デカルト座標）で、ｄＸμｄＸνのようにＸの大文字を使
用し、一般座標系では、斜交座標を含む曲線座標で、ｄχμｄχνのようなχの小文字を用いている。ま
た、ημνｄＸμｄＸ＝ΣημνｄＸμｄＸ 、ｇμνｄχμｄχν＝Σｇμνｄχμｄχνと表現するところを、
アインシュタインの規約に従って、Σを省略する方法が一般に用いられている）
ベクトルとは、速度、加速度、力、電場、磁場などのように、大きさと方向で表現される量で２つの要素
を持っている。それに対して、スカラ量とは、面積、温度、電圧、質量、エネルギ量など、また、ベクトル
で大きさだけが表現される量で、数学や物理現象の中で、最も普通に１つの数値で示されるものであ
る。このベクトルで要素を更に拡大する時、それを同時に処理する数学的便法をテンソルという。その
要素の横並びを行（ｒｏｗ）、縦並びを列（ｃｏｌｕｍｎ）と呼び、行列式が用いられる。今、２つのベクトル、
Ａ、Ｂが与えられている時、
ｇ（Ａ，Ｂ）＝ｇｉｊＡｉＢｊ
で表されたとすれば、ｇを２階のテンソルといい、ｇは線形写像、ｇｉｊを線形写像の表現行列といい、線
形写像と２階のテンソルをｇ、ｇとすると、ｇを指定するとｇが決まり、逆に、ｇからｇが決定できる。テン
ソルｇと線形写像ｇの成分を同じとみなして、ｇ＝（ｇｉｊ）として、テンソルｇの成分という。線形写像と２階
のテンソルをこのように対応づけた場合、スカラ関数ｇ（Ａ，Ｂ）は線形写像を用いて言い表すことがで
きるので、線形写像と２階のテンソルは１対１に対応することになる。
この２つのベクトルＡ、Ｂからスカラを作ることを内積といい、ｇ（Ａ，Ｂ）＝Ａ・Ｂ＝ｇｉｊＡｉＢｊで与えられる。
また、スカラ量を、｜Ａ｜２＝Ａ・Ａ＝ｇｉｊＡｉＡｊのように示した時、これをベクトルの長さ（大きさ）の２乗と
いう。特殊相対性理論や一般相対性理論では、反変ベクトルＡｉ（添え字を右上に付ける）と共変ベク
トルＢｉ（添え字を右下に付ける）から、ＡｉＢｉ＝ｇｉｊＡｉＢｊ（Ｂｉ＝ｇｉｊＢｊ）というスカラ積が作られる。また、ベク
トルの長さ（大きさ）の２乗は、｜Ａ｜２＝ＡｉＡｉ＝ｇｉｊＡｉＡｊ（Ａｉ＝ｇｉｊＡｊ）で表される。このように内積やベクト
ルの長さがスカラであるから、上記での線素（計量）ｄｓ２＝ｇμνｄχμｄχνはスカラ量である。また、
ロ－レンツ変換の場合もアインシュタインの縮約を用いて表すと、ｓ２はｓ２＝ｇｉｊＸｉＸｊ＝ηｉｊＸｉＸｊ、または、
局所慣性系ｄｓ２＝ημνｄＸμｄＸνである。したがって、このｓ２（慣性系）もｄｓ２（局所慣性系）もスカラ
量である。この時、ｇμν、ｇｉｊ、ηｉｊ、ημνを２階の共変テンソルという。
スカラを決めることで、物理的時空の各点において、どんな座標系でその点を表現しても（任意の座標
変換に対しても）、それとは無関係に、物理的に同じ点であれば値は同じ（不変）である。また、テンソ
ルも座標系に依存しないので、４次元線素（計量）ｄｓ２を不変に保つことができる。すなわち、座標系
の取り方によらない物理量（空間の幾何学的性質）を決定することができる。以上のよに、スカラもベ
クトルも、テンソルという範囲の中に含まれるので、物理学で取り扱われている「すべての物理法則に
よる物理量」は、テンソルであるといってもよい。（スカラは０階のテンソル、ベクトルが１つ与えられて
いる場合、１階のテンソル、２つ与えられている時、２階のテンソル、ｎ個のベクトルはｎ階のテンソル）
直交座標において、点Ａ（ｘ１，ｙ１）と点Ｂ（ｘ２，ｙ２）の座標を結ぶ直線分ｓがあり、この線分が、点Ａ′
（ｘ１′，ｙ１′）と点Ｂ′（ｘ２′，ｙ２′）へ移動した時、ｓ′とすると、ユ－クリッド幾何学では、座標を用いな
いので、この線分が、どのような位置にあろうと、動いていようが、静止していようが、座標系には関係
なしに、線分ｓという表現で良いのであるが、
ｓ２＝－（Ｘ０）２＋（Ｘ１）２＋（Ｘ２）２＋（Ｘ３）２＝ｇｉｊＸｉＸｊ（ｇ００＝－１、ｇ１１＝１、ｇ２２＝１、ｇ３３＝１）のような表
現の仕方をデカルト座標系といい、ベクトルが用いられる時の座標系である（ここでは、慣性系の直交
座標によるデカルト座標系には、Ｘ０、Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３の大文字を、加速度系（重力）による一般座標の曲線
座標系では、χ０、χ１、χ２、χ３の小文字使用している）。この座標系では、線分ｓと線分ｓ′とは、座
標の位置が異なるので、区別されなければならい。線分の長さは変わらないのに、その位置を移動す
ると座標値も変わるのである。幾何学に座標系を導入することで、代数曲線を取り扱うことができ、さら
に、微分演算や積分演算への拡張も可能にしたのであるが、その反面、線分の移動により（座標変換
に対して）座標値が変化するという欠点があった。
それで、ユ－クリッド幾何学と同じく座標変換（移動）に対して、座標系には関係しない不変量、または、
座標変換に対して式が変わらない関係式（共変式）を作るため、上述したようにスカラ量を求めたので
ある。上記座標に対して、ｘ＝ｘ１－ｘ２、ｙ＝ｙ１－ｙ２、ｘ′＝ｘ１′－ｘ２′、ｙ′＝ｙ１′－ｙ２′として、ｓ２＝
ｘ２＋ｙ２（ピタゴラスの定理）、またはｓ′２＝ｘ′２＋ｙ′２（ピタゴラスの定理）のようにすることを不変量と
いう。もちろん、上記のｓ２＝－（Ｘ０）２＋（Ｘ１）２＋（Ｘ２）２＋（Ｘ３）２＝ｇｉｊＸｉＸｊ も不変量である。慣性系（ｓ２
＝ｇｉｊＸｉＸｊ）も、局所慣性系（ｄｓ２＝ημνｄＸμｄＸν）も、加速度系（ｄｓ２＝ｇμνｄχμｄχν）も同じ形の
式（共変な式）で表すことができる。また、ローレンツ変換の前後の不変な量ｓ２＝－ｃ２ｔ２＋ｘ２＋ｙ２＋ｚ２
も同じ式、ｓ′２＝－ｃ２ｔ′２＋ｘ′２＋ｙ′２＋ｚ′２で示される。この結果、ｓ２＝ｓ′２とすることができる。
ｄｓ２＝ｇμνｄχμｄχνのスカラ量ｄｓ２を求める場合、どのような座標系でも良いのだから、曲線座標
を用いるよりは、エレベ－タを自由落下した時の狭い範囲を利用して、直交座標による特殊相対性理
論によって決める方が良い。重力はｇ００～ｇ３３の１０個から成るので、隣あった１０組の点を勝手にとっ
て、１０組のｄｓ２を特殊相対性理論で求め、上述のように１０組の連立方程式をたてて、ｇ００～ｇ３３の未
知数を解くことができる。
上述、Ａ点から自然落下するエレベ－タ（Ａ点エレベ－タ）と、Ｂ点から無重力空間で引っ張り上げられ
るエレベ－タ（Ｂ点エレベ－タ）の話に戻ろう。Ａ点エレベ－タは第４図に示されるように、重力は地球
の中心から放射状にＡ，Ｂ，Ｃ方向へと場所ごとに異なるｇの方向と、地球の中心から遠くなるにつれ、
その距離の２乗に反比例して小さくなるので場所ごとに変化するｇの大きさという２つが考えられる。
（地球（ｍ１）がある物質（ｍ）に及ぼす万有引力（Ｆ＝Ｇ・ｍ１・ｍ／ｒ２）はｍｇに等しい。ｍｇ＝Ｇ・ｍ１・ｍ
／ｒ２より、ｇ＝Ｇ・ｍ１／ｒ２である。ｇは地球の中心からの距離の２乗（ｒ２）に反比例する。Ｇ：重力定数）
このように、ｇの方向も大きさも場所と共に変化することを「ｇの勾配」の勾配といい、曲率を表し、こ
れは本物の重力（永久重力場）である。
これに対して、Ｂ点エレベ－タのように、無重力空間で引っ張り上げられている一定の加速度とすれば
等価原理による重力は、エレベ－タ全体が同一方向である。つまり、ｇの大きさも方向も一定で、場所
による変化がない。これを見かけの重力場という。また、Ａ点エレベ－タは潮の満ち引きに関係する潮
汐力が働くが、Ｂ点エレベ－タにはそれがない。すなわち、潮汐力が有るか無いかで本物か、見かけ
の重力かが判る。実際は、「ｇの勾配」の勾配、すなわち、曲率の有無により、判定する。
Ｂ点エレベ－タでは、全体が加速度と重力の等価原理が成り立っているが、Ａ点エレベ－タとは、第４
図Ａ，Ｂ，ＣのＢ方向の１点（狭い範囲）のみが、Ｂ点エレベ－タの等価原理に対応する。このＢ方向に
対しては、自然落下する重力と、逆向きに発生する加速度が完全に打ち消し合って無重力状態になり
特殊相対性理論が成立する慣性系となるが、Ａ，Ｃ方向に対しては、打ち消すことができず、その重力
は残る。したがって、Ａ，ＣからＢに対して、物体をつぶす力と、Ｂを上下方向に引っ張る力が発生する
これを潮の満ち引きに関係する潮汐力という。エレベ－タは大きすぎるので、例えば、ボ－ルベアリン
グまたはパチンコ玉くらいであれば、すべてを慣性系（無重力）とすることができるのではなかろうか。
「物体の重力による落下とは、曲がった時空を運動することである」とアインシュタイン博士が主張して
いる通り、ニュ－トンの重力理論による自然落下は「ｇの勾配」の勾配も示しているので、アインシュタ
インの重力ポテンシャルである、１０個のｇ００～ｇ３３成分の内のｇ００成分を表し、等価原理すなわち、赤
方変移による時間の遅れを示す。換言すれば、特別な座標を用いた場合、１０個の成分の内、１個に
ついては、例えば、太陽の重力場の１点において、『「ｇの勾配」の勾配は、そこにある単位体積当たり
の太陽の質量に比例する』というような場合がある。これは、「ニュ－トン重力の空間的分布は空間内
に散 在する物体の質量により決まる」あるいは、『「ニュ－トン重力の勾配」の勾配は、そこに在る物体
の単位体積当たりの質量に比例する』がニュ－トンの重力理論であるから、これと非常に似ている。
アインシュタインの重力ポテンシャルの残りの９個の成分は、時空の曲率に対する制約を表す。これら
１０個の法則をひとまとめにして、アインシュタインの重力の法則という。
以上、上記をまとめると、以下の通りである。また、これは一般相対性理論によるアインシュタインの新
しい重力の法則への導入条件でもある。
１） 「ｇの勾配」の勾配が曲率を表し、本物か、見かけの重力かの判定ができる
２） 特別な座標を用いた場合、ｇ００～ｇ３３成分の１０個の内、１個がニュ－トンの重力理論に相当する
３） 「ニュ－トン重力の勾配」の勾配は、そこに在る物体の単位体積当たりの質量に比例する』というの
がニュ－トンの重力理論である。
４） 残りの９個の成分が、時空の曲率に対する制約を表し、１０個をまとめて、アインシュタインの重力
の法則という。
５） 特殊相対性理論の時に述べた、Ｅ＝ｍＣ２のようにエネルギと質量は全く同じものである
（Ｅ＝ｍＣ２を掲げた上記、５）項目は１）～４）にない追加項目である）
Ｅ＝ｍＣ２では僅かな質量欠損により、核分裂、核融合により見られるように莫大なエネルギが取り出
せることが解った。逆に考えると、質量にはそのエネルギを保有していることになる。質量がエネルギ
だとしたら、物質その物がエネルギである。物質があると周囲に影響を及ぼし、時空を曲げるのである
上記、５項目から導き出された、物質と時空との関係を示す式（一般座標変換にたいして、共変な式）
Ｇμν＝κＴμν（Ｇμν：時空の歪み（曲率）を表す、Ｔμν：物質分布のエネルギ・運動量テンソル）
を一般相対性理論による重力場の方程式、または、アインシュタイン方程式と呼ばれる。
右辺の式が物質のエネルギで、その影響で左辺の時空の曲がり具合を表わす。これは、１０元連立
非線形２階偏微分方程式であり、偶然にしか解けず、まだ完全には解明されるまでに至っていない。
Ｇμν＝Ｒμν－ｇμν・Ｒ／２（アインシュタイン・テンソル）であることから、上式に代入すると、
Ｒμν－ｇμν・Ｒ／２＝κＴμν
（ここに、κ（カッパ）はアインシュタインの重力定数と呼ばれ、κ（カッパ）＝８πＧ／ｃ４＝２．０７ｘ
１０－４８ｓ４ｃｍー１ｇー１である）
κ（カッパ）を上式に代入して、一般に、アインシュタイン方程式は次式が用いられる。
Ｒμν－ｇμν・Ｒ／２＝８πＧ／ｃ４・Ｔμν
（Ｒμν：リッチ曲率テンソル、ｇμν：計量テンソル（重力ポテンシャル）、Ｒ：スカラ曲率、π：円周率、
Ｇ：重力定数、ｃ：光速度）
上記、アインシュタイン方程式の両辺にｇμνを掛けて整理すると、以下の通りである。
ｇμν・（Ｒμν－ｇμν・Ｒ／２）＝８πＧ／ｃ４・ｇμν・Ｔμν
ｇμν・Ｒμν＝Ｒ ，ｇμν・ｇμν＝４と導かれるから、
Ｒ－１／２・（４Ｒ）＝８πＧ／ｃ４・ｇμν・Ｔμν
となる。ここで、Ｔ＝ｇμν・Ｔμνと置くと、－Ｒ＝８πＧ／ｃ４・Ｔである。これをアインシュタイン方程式に
代入すれば、Ｒμν－ｇμν・（－８πＧ／ｃ４・Ｔ）／２＝８πＧ／ｃ４・Ｔμνである。したがって、
Ｒμν＝８πＧ／ｃ４（Ｔμν－ｇμν・Ｔ／２）
と変形することができる。これも上記と同じく、物質分布がある場合のアインシュタイン方程式という。
また、物質分布がない、Ｔμν＝０の場合のような真空のアインシュタイン方程式はＲμν＝０で与えら
れるが、これは、必ずしもミンコフスキ空間のように時空は平坦になるとは限らない。
弱い重力場では、ニュ－トンの重力場の方程式、ポアッソンの方程式⊿Φ＝－４πＧρに相当する。
ここに、Φ：重力場のポテンシャル（ニュ－トンポテンシャル）、π：円周率、Ｇ：重力定数、ρ：質量密度
である。右辺の質量密度が、左辺のニュ－トンポテンシャルを表す。これが上述、３）項目のニュ－トン
の重力理論で、２）項目のｇ００成分に相当する。⊿（ラプラシアン）＝（δ２／δｘ２）＋（δ２／δｙ２）＋
（δ２／δｚ２）：３次元のラプラス演算子と呼ばれる微分演算子である。これは、重力に限らず、電磁場
方程式のような波を表記する波動方程式にも用いられる（１／υ２・δ２／δｔ２・Ψ＝（（δ２／δｘ２）＋
（δ２／δｙ２）＋（δ２／δｚ２））・Ψ、υ：波の伝搬速度、ｔ：時間、Ψ（プサイ）：媒質内の状態を表す量、
ｘ、ｙ、ｚは空間ｘ、ｙ、ｚ軸方向）。また、アインシュタイン方程式が、
Ｒμν－ｇμνＲ／２－Λｇμν＝８πＧ／ｃ４・Ｔμν
で表されたとき、Λを宇宙定数（宇宙項）といい、Λ＝１／（宇宙半径）２≒１０－５７～－５４ｃｍ－２である。
アインシュタイン博士が、｢生涯で最大の過ち｣と言わせた、宇宙を潰さないようにするための｢斥力｣で
引力とは逆の作用をする定数である。
１８０１年に、数学者のゾルトナは、光を粒子とした時の、ニュ－トンの重力理論による太陽の重力の
影響による光の屈折角を次のような式で表した。
θ＝２ＧＭ／ｃ２ｂ ｒａｄｉａｎ（Ｇ：重力定数）
これが、質量Ｍの天体の中心からｂ離れたところを通る光が曲げられる角度θの式であるが、第５図
では、ＣＯＤという軌跡の角度θである。ｂを太陽半径とすると、太陽の縁をかすめてくる光の屈折角は、
θ＝２ｘ６．６７２ｘ１０－８ｘ１．９９ｘ１０３３／（（３ｘ１０１０）２ｘ６．９６ｘ１０１０ｘ４．８４８ｘ１０－６）＝０．８７５秒
である。
ところで、２ＧＭ／ｃ２＝ａとすると、ａはシュワルツシルト半径である。太陽のシュワルツシルト半径ａ＝
２ｘ６．６７２ｘ１０－８ｘ１．９９ｘ１０３３／（（３ｘ１０１０）２＝２．９５ｘ１０５ｃｍである（約３ｋｍ）。このシュワルツ
シルト半径ａを用いて屈折角θを求めると、θ＝２ＧＭ／ｃ２ｂ＝ａ／ｂとなる。したがって、
θ＝ａ／ｂ＝２．９５ｘ１０５／６．９６ｘ１０１０／４．８４８ｘ１０－６＝０．８７５秒である。
このように、太陽のシュワルツシルト半径ａ÷太陽半径ｂとして屈折角θは求まる。これは、シュワルツ
シルト時空を通過する光の進路にて、ｂ≫ａ、という条件のもとで求まるθ≒ａ／ｂと同じである。
実際は、太陽の後ろに隠れて地球上から全く見えない星の光の軌跡ＡＯＤ（第５図）を求めるので、太
陽を迂回するよな光跡（双曲線）の角度は、２θ＝２ｘ０．８７５秒＝１．７５秒である。アインシュタイン
博士が提示した一般相対性理論から計算された式も、ニュ－トンの重力理論の２倍の、
２θ＝４ＧＭ／ｃ２ｂ
であった。この時、地球上からは、星の位置は第５図のＢＯＤという軌跡の方向に見える。
ニュ－トンの重力理論から求められたθ（等価原理の予言）は光の速度の変化、すなわち、重力赤方
変移に関係する時間の遅れによるもので、空間の曲がりには関係しない（曲線座標系を表す、計量テ
ンソル、ｇμνのｇ００成分のみ）。ｂが太陽表面に近づくと屈折角が大きくなり、光速も、時間も遅くなる
ことを意味する。地球の場合も、太陽と同様に、地球表面に這いつくばって生きていく方が長生きでき
るのである。間違っても、高層マンションの最上階には住まない方がよいと思われるが、その差は微少
であるので、その限りではない。ブラックホ－ルの表面では、時間は∞に引き延ばされ、永遠に時間
は経たない。（ｄτ＝（１－ａ／ｂ）１／２ｄｔ（ｄｔは無限遠の観測者の時間）よりａ＝ｂの時、ｄτ＝０、また
赤方変移、 λ∞＝（１－ａ／ｂ）－１／２λ（λは中心からｂの位置で放たれた光の波長）よりａ＝ｂの時
無限遠の観測者が受け取る光の波長は∞になる）
そして、後の半分のθは空間幾何学が非ユークリッド的で、空間の曲がりに関係するものである。
地球や太陽付近のシュワルツシルト半径内の時空計量は物質分布を考慮に入れる必要があるので
物質のない真空解であるシュワルツシルト時空で説明するのは不適当であるが、球対称で、原点以
外、物質分布がない、Ｔμν＝０でアインシュタイン方程式はＲμν＝０となるが、そのように仮定して
太陽や地球のその外側の重力場を厳密に求めた解、すなわち、ブラックホ－ルの真空解を用いて以
下述べる。
ｄｓ２＝－ｃ２ｄｔ２＋ｄｘ２＋ｄｙ２＋ｄｚ２にて、ｃｔ＝χ０、ｘ＝χ１、ｙ＝χ２、ｚ＝χ３と置いて、曲線座標を
ｄｓ２＝ｇμνｄχμｄχν＝ｇ００（ｄχ０）２＋ｇ１１（ｄχ１）２＋ｇ２２（ｄχ２）２＋ｇ３３（ｄχ３）２のと表した場合、
すなわち、計量テンソルがｇ００＝－１、ｇ１１＝１、ｇ２２＝１、ｇ３３＝１、その他成分すべて０の時も、ミン
コフスキ時空である。ここで、極座標を用いて、χ０＝ｃｔ、χ１＝ｒ、χ２＝θ、χ３＝φと置き、サッカボ
－ルのような球表面での局所ミンコフスキの微少距離の２乗（計量）ｄｓ２は、
ｄｓ２＝－ｃ２ｄｔ２＋ｄｒ２＋ｒ２ｄθ２＋ｒ２ｓｉｎ２θｄφ２－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ （１）
（計量テンソルは、ｇ００＝－１、ｇ１１＝１、ｇ２２＝ｒ２、ｇ３３＝ｒ２ｓｉｎ２θ、その他成分＝０）
である。重力がもっとも強いブラックホ－ルのシュワルツシルトの外部解である計量ｄｓ２は
ｄｓ２＝－（１－ａ／ｂ）ｃ２ｄｔ２＋（１／（１－ａ／ｂ））ｄｒ２＋ｒ２ｄθ２＋ｒ２ｓｉｎ２θｄφ２－－－－－－－－（２）
（計量テンソルは、ｇ００＝－（１－ａ／ｂ）、ｇ１１＝（１／（１－ａ／ｂ））、ｇ２２＝ｒ２、ｇ３３＝ｒ２ｓｉｎ２θ、その他
成分＝０）という計量にて示される。
第１項の－（１－ａ／ｂ）は、時間のゆがみを、第２項の（１／（１－ａ／ｂ））が半径方向（動径方向）の空
間のゆがみを表している。そして第１項と第２項が１の時がミンコフスキの計量ｄｓ２（１）式である。すな
わち、重力はミンコフスキ時空（慣性系）からのゆがみ（曲面）を表している。第１項の－（１－ａ／ｂ）は
１からのずれはａ／ｂであり、第２項の（１／（１－ａ／ｂ））は分子、分母に（１＋ａ／ｂ）を掛けるて、ｂ≫ａ
という条件を入れると、（（１＋ａ／ｂ）／（１－（ａ／ｂ）２）≒（１＋ａ／ｂ）となる。これも１からのずれは、
ａ／ｂである。この計量を通過する光は、ゆがんだ時空のために光速は遅くなり（υ）とすると、慣性系の
光速度（ｃ）との比、ｃ／υ＝ｎを屈折率という。υ＝ｄｒ／ｄｔ＝（１－ａ／ｂ）ｃで表され、ａ＝ｂの時、υ＝０
シュワルツシルト半径に至っては光速度はついに０となる。そして弱い重力場の場合は第１項のｇ００成
分がニュ－トンの重力理論を表す（ｇ００＝－１－２Φ／ｃ２（Φ＝－ＧＭ／ｂ）＝－１＋２ＧＭ／ｃ２ｂ、地球
上ではｇ００＝－１－２ｇｈ／ｃ２である（ｇ：重力加速度、ｈ：高さ））。
シュワルツシルトの外部解（２）式で、ｄθ＝０、ｄφ＝０とした時、ｄｓ２＝０の時が光の測地線である。
（測地線とは、曲がった時空での最大の４次元距離を表す（固有時（ｄτ）を最大にする経路、光速より
遅い自由粒子の場合、不変線素（計量）または、世界間隔ｄｓ２＜０である。－ｄｓ２＝－ｇμνｄχμｄχν
＝（ｃｄτ）２から、粒子の４元速度は、ｇμν（ｄχμ／ｄτ）（ｄχν／ｄτ）＝（ｄｓ／ｄτ）２＝－ｃ２である。
ｄｓ２を最小に、（ｄτ）２が最大になる線を測地線という。光の場合は、（ｄτ）２＝－ｄｓ２／ｃ２＝０である
ので、ｄｓ２＝０、（ｄτ）２＝０となる）。地球に例えると、赤道の大円、北極、南極を結ぶ子午線の大円軌
道。ユークリッド空間では、最短の直線距離に相当するが、計量がｄｓ２＝－（１＋２Φ／ｃ２）ｃ２ｄｔ２＋ｄｒ２
である場合、ｄｓ２＝０にするには、ｄｒ２の空間領域がΦ＝０の時より、大きい距離を動く方が良いのが
解る。地球を測量するときの測地線に名付けられている。測地線および一般座標変換については、
女王の都邪馬台国、魏志倭人伝が示す侏儒国、裸国・黒歯国は、一体どこにあるのだろうか？におい
て、地球を例に用いて説明しているので、そちらを参照してください。ＵＲＬ相対パス、／ｐａｇｅ５．ｈｔｍと
して、キ－ボードのＥｎｔｅｒを押して下さい。一般相対性理論のＵＲＬ相対パスは、／ｐａｇｅ４．ｈｔｍです。
あるいは、一般相対性理論の最後からトップへ戻る（ｉｎｄｅｘ）へリンクして、そのトップの項目（２）時間が
変化する（加速度＝重力）の終わりの方にて邪馬台国からアクセスできます）
上記、（２）式のシュワルツシルトの外部解にｄｓ２＝０を代入すると（ｄθ＝０、ｄφ＝０）、
０＝－（１－ａ／ｂ）ｃ２ｄｔ２＋（１／（１－ａ／ｂ））ｄｒ２、
（１－ａ／ｂ）ｃ２ｄｔ２＝（１／（１－ａ／ｂ））ｄｒ２、
（１－ａ／ｂ）２ｃ２ｄｔ２＝ｄｒ２、
υ２＝ｄｒ２／ｄｔ２＝（１－ａ／ｂ）２ｃ２、υ＝ｄｒ／ｄｔ＝（１－ａ／ｂ）ｃである。ゆえに、屈折率ｎ＝ｃ／υ＝
１／（１－ａ／ｂ）となるから、分子、分母に（１＋ａ／ｂ）を掛けるて、ｂ≫ａという条件を入れると、ｎ＝
ｃ／υ＝１／（１－ａ／ｂ）＝（１＋ａ／ｂ）／（１－（ａ／ｂ）２）≒（１＋ａ／ｂ）となる。１からのずれはθ≒
ａ／ｂとなるが、これが、空間が非ユークリッド的で、空間の曲がりによるθ≒ａ／ｂである。太陽では、
数学者のゾルトナが提唱した、ニュ－トンの重力理論による光を粒子とした時のθ≒ａ／ｂ＝０．８７５
秒と空間の曲がりによるθ≒ａ／ｂ＝０．８７５秒との和が２θ＝２ｘ０．８７５秒＝１．７５秒である。そし
て、２ＧＭ／ｃ２＝ａ（シュワルツシルト半径）の式は、偶然にもニュ－トンの重力理論に一致する。
光は質量がゼロであるが、光のエネルギーに等価な質量を持っているので、粒子とした時に曲がる場
合（ゾルトナが提唱した、ニュ－トンの重力理論）と、空間が曲がっているいるため、質量の有無に関
係なく曲がる場合の両影響によって、光は屈折することになる。
シュワルツシルトの外部解の式にて、ａ＝ｂの場合、第１項の－（１－ａ／ｂ）は０、第２項の（１／（１－
ａ／ｂ））が∞になるが、これは、ライトコ－ン（光円錐）の時に説明したように、第１項は時間的領域で
第２項は空間的領域である。第１項が０とは、ａ＝ｂでは時間が止まったままで、第２項の空間が∞と
は、発散を意味し、ｂ＝ａは特異点である。太陽がこのようになった時、これをシュワルツシルトの障
壁、または、事象の地平線と呼ばれる。上記、υ＝ｄｒ／ｄｔ＝（１－ａ／ｂ）ｃよりｂ＝ａのところでは、υ
＝０で、遠方から見ると、ａ地点にいつまでも到達していないように見える。また、ｂ＜ａになった時、ａ
の内部をブラックホ－ルという。光が内部からｂ＝ａに向かう場合も、上記υ＝０になり、ブラックホ－
ルの外側には出られない。遠方から見ると真っ黒に見えるのでブラックホ－ルである。ただし外側か
ら内部に入るのは簡単に入れて、更に、ｂ≪ａに向かうと、第１項の－（１－ａ／ｂ）の（ ）内は１≪
ａ／ｂとなり、第１項は＋係数へ、第２項の（１／（１－ａ／ｂ））は－係数というように、第１項と第２項
の符号が変わる。この時、ライトコ－ン（光円錐）は時間的領域と空間的領域が入れ替わることを意
味する。そして、－係数が時間を＋係数が空間を受け持つようになる。その後、ブラックホ－ルの内
部に入り込んだ物質はｂ＝０（中心点）に向かって落ちるのみで、後戻りはできない。ｂ＝０（中心点）
は、真の意味の特異点で、無限大の上述、潮の満ち引きに関係する潮汐力のため物質はすべて破
壊されてしまう（引きちぎられる）。しかし、ｂ＝ａ（シュワルツシルト半径）の時の潮汐力は有限である。
（３） 重力による時間の遅れ
現在では、原子時計が利用されているが、原子は原子核の回りを決められた軌道に応じて電子が配
列して運動している。エネルギ順位の高い軌道からエネルギ順位の低い軌道（または基底状態）に電
子が落ちると、その差のエネルギ順位に相当する決まった大きさの量子の光を出し、この時、決まっ
た振動数の放射線となる。これはまた、決まった波長の位置に出る輝線スペクトルとなる（逆に、低い
軌道から高い軌道へ電子が登ると、上記と同じエネルギ差の量子の吸収により暗線を生ずる）。この
スペクトル線は原子番号が大きいと、非常に微細構造をもっていることが解っている。原子時計には、
セシウム（１３３Ｃｓ）という原子が使用され、放射される振動数は９，１９２，６３１，７７０Ｈｚである。
第７図に示すように、セシウム（１３３Ｃｓ）ガスに発信器から電波を当てるが、その発信周波数が９，１９
２，６３１，７７０Ｈｚである時、セシウムの原子の振動数との間に共振が起こり、セシウムガスに吸収さ
れる。ところが、その共振周波数がずれると、電波はセシウムガスを通過して、受信機に捉えられる。
受信された電波はフィ－ドバックして、発信器側に戻るが、そこで発信周波数との誤差の分が修正さ
れて、常に発信器の周波数を共振周波数（９，１９２，６３１，７７０Ｈｚ）に保つことができる。
「１秒は、セシウム１３３の原子基底状態における２つの超微細準位間の遷移に対応する放射
の、９，１９２，６３１，７７０周期の継続時間とする（理科年表）」と定義し、これが原子秒である。
国際原子時は１９７２年１月１日に公式に採用された。現在、日本の時刻を決める原子時計は、正確
さ（確度）は６×１０-15にまで達しているという。複数の原子時計を正確に合わせて、同時にスタートし
た時、１年間経過後の原子時計間のずれが２ｘ１０-７秒（０．２μｓ：０．２マイクロ秒）であることを意味
する。これは、500万年に1秒の誤差に相当している。また、日本の標準時は明石ではなく、東京小金
井市の通信総合研究所（ＣＲＬ）になっている。
この原子時計が登場して以来、アインシュタインの相対性理論の実験が行われるようになり、理論に
対して厳しくチェックされるようになった。
原子核 最外殻電子 原子核 最外殻電子
◎● －エネルギ差大－○ ◎● エネルギ差小←○←重力により原子がつ
（振動数、９ＧＨｚ） （振動数、４．５ＧＨｚ） ぶされる
原子核と最外殻電子までの距離が長い 原子核と最外殻電子までの距離が短い
Ａ：地球上での原子の振動数 Ｂ：重力が強い星の原子の振動数
（ただし、●陽子 ◎中性子 ○電子）
今、セシウム（１３３Ｃｓ）の振動数９，１９２，６３１，７７０Ｈｚ≒９ＧＨｚ（ギガヘルツ）を１秒として、上記の
第７図の右図のように、地球上の原子の振動数とすると、原子核と最外殻軌道までの電子配列の距
離が、上図Ａの如くであるところ、重力が強い星の場合は、原子が重力によりつぶされて原子核と最
外殻までの軌道の電子配列の距離が上図Ｂのように縮まる（原子核に最も近い軌道を基底状態（ｎ
＝１）といい、軌道がｎ＝２，３，４，－－になると、電子はだんだん高く励起された状態（ｅｘｃｉｔｅｄ ｓｔａ
ｔｅ）、すなわち刺激状態となり、エネルギも大きくなる）。したがって、エネルギ順位の高い軌道からエ
ネルギ順位の低い軌道へ電子が落ちるエネルギ差も小さくなり、上記の第７図の右図の如く、振動
数も４．５ＧＨｚと少なくなる（重力による赤方変移）。つまり、地球上の１秒に対して０．５秒にしかなら
ない。すなわち、重力により時間が遅れることを意味する。
重力が更に大きくなり、原子が極端につぶされ、原子核◎●と電子○がくっつくと、陽子●＋電子○
＝◎（中性子）＋νｅ（電子ニュ－トリノ）となるので、全体は、原子核◎●＋電子○＝◎◎（すべて中
性子＋νｅ（電子ニュ－トリノ））であることから、この星は中性子の中芯を形成し、中性子だらけの中
性子星が誕生することになるが、一般に、主系列の星の一生は次の過程により、進行すると考えら
れている。
宇宙のガスの僅かなムラにより誕生したガス雲の引力で更にガスが集まり、重力により次第に収縮
するが、ガスはガス雲の中心に向かって落下する。この時、重力の位置エネルギから運動エネルギ
に変わるも、これは、熱エネルギに変換され、内部は高温となり、この内部エネルギとガス雲の重力
が平衡する。しかし内部の熱がガス雲の表面から失われると、また、ガス雲の重力により、重力崩壊
を起こす。この時、再び位置エネルギから運動エネルギに変わり、熱エネルギに変換され、内部エネ
ルギとガス雲の重力が平衡する。以上を繰り返すえしながら、ガス雲はどんどん成長し、暗黒星雲と
呼ばれる内に原始星が生まれる。太陽質量ほどにて、直径が太陽の約１００倍ものガス塊では、太
陽よりも光輝くことがあるが、さらに、太陽の大きさくらいに収縮したこの原始星の内部熱エネルギの
温度が１，０００万度に達すると、核融合反応が起こって、これが重力平衡を担うようになる。最初は
水素からヘリウムに変換される核融合反応により、 太陽のような恒星となって輝き始まる（散光星雲）。
つまり、水素の軽い原子からの核融合反応の圧力と重力崩壊の相互作用での繰り返しにより、（１水
素、２ヘリウム－－－－２５マンガン、２６鉄）へと安定した核融合反応を起こしながら、主系列の星とし
て輝き続ける。すなわち、主系列の星では、質量の重い元素が次々に生まれ、数十億年もかけて、
鉄まで２６種類、上記（１水素、２ヘリウム－－－－２５マンガン、２６鉄）までを作り続けていることを意味
する。その星は、中心核が、２６鉄で、２５マンガン、－－－２ヘリウム、１水素の如く、中心核が最も重く
一番外側は、最も軽い水素の順に構成される。
鉄から先は核融合反応を起こすことができないが、中心核の鉄が太陽質量の１．４倍以上（１．４倍以
下の場合は白色矮星）になると、鉄の原子やパウリの排他律による、高エネルギの電子などの圧力
（電子の縮退圧）が、鉄の重力を支えきれなくなって、どさっ！とつぶれる。その崩壊の重力エネルギ
（位置エネルギから運動エネルギに変わる）により、熱エネルギに変換され、鉄の原子核はガンマ線
を吸収して、ヘリウム原子核と中性子に分解し、また、ヘリウム原子核は陽子と中性子になる。更に、
電子は、ヘリウム原子核の陽子に押し込められ、陽子●＋電子○＝◎（中性子）＋νｅ（電子ニュ－
トリノ）という過程を経て、中性子の中心核を形成する。同時に、重力崩壊は中心核にぶつかって跳ね
返る衝撃によって、中心核から外側に向かって衝撃波がながれて超新星（Ⅱ型超新星）爆発が起こる
その時、中性子もニュ－トリノ（ν）も外側に向かって走り出し、近くの物質にぶつかって、原子核、陽
子、中性子が新たにくっつき、鉄より重い６６種類（２７コバルト、２８ニッケル、２９銅－－３６クリプトン－
－４７銀－－５６バリウム－－７９金－－８２鉛－－８８ラジウム－－９２ウラン）の元素が、この爆発の一瞬
の間につくられる。そして、これらの元素、２６種類と６６種類、合わせて９２種類（１水素－２６鉄－２７コ
バルト－９２ウラン）やニュ－トリノが宇宙空間にばらまかれる。爆発でつくられた６６種類は、一瞬の間
の出来事なので、前の２６種類に較べて微量である。
ニュ－トリノ（ν）は電子ニュ－トリノ（νｅ）、ミュ－・ニュ－トリノ（νν）、タウ・ニュ－トリノ（ντ）および
各々の反ニュ－トリノ（νｅ）、（νν）、（ντ）である。太陽質量の８倍～３０倍の星の進化の場合、爆
発後、中芯核の中性子だけが残るが、再びパウリの排他律（電子の縮退圧）により、重力に耐えて中
性子星（パルサ）となる。ところが、太陽質量の３０倍以上の星の進化では、この中性子の芯が、更に
重力崩壊を起こすのであるが、強力な重力のために光でさえも外に出さない、かの有名な「ブラック
ホ－ル」となり、時間は完全に凍結された状態となる。
主系列の星が重力崩壊を起こす時、位置エネルギから運動エネルギに変わることを頭に入れて、上
記、第６図のエレベ－タによる重力中の時間の遅れを考える。今、高さｈに固定されたＡに時計Ｔ１と
エレベ－タが静止していて、エレベ－タ内の時計をＴｏとする時、時計Ｔ１とエレベ－タ内の時計Ｔｏの
時刻あわせをして、その時の両時計のテンポをτ１＝τｏで表す。Ａからエレベ－タを自然落下すると
エレベ－タ内部は無重力になり、局所慣性系であるので特殊相対性理論が成立し、エレベ－タ内の時
計Ｔｏのテンポτｏは、Ａの時計Ｔ１のテンポτ１と同じテンポにて落下して行く。やがてエレベ－タは地
表Ｂを通過して、地上深く掘られた穴の中へ消えて行く。地表Ｂには時計Ｔ２、テンポτ２が設置されて
いるが、エレベ－タはＴ２を瞬間的に通過することになるが、時間的に瞬間である場合も、上述したよ
うに、これも局所慣性系であるので特殊相対性理論が適用できる。また、エレベ－タが地表Ｂを通過
する際、地表Ｂ（時計Ｔ２）はエレベ－タから見ると、速度ｖにて上空へすっ飛んで行くことになるので、
特殊相対性理論で述べた電車の中の真の時間に相当する。以上より、ＴｏとＴ２のテンポτｏとτ２の
関係は、τ２＝τｏ√（１－ｖ２／Ｃ２）となる。ところで、τ１＝τｏ（時刻あわせ済み）であるので、
τ２＝τ１√（１－ｖ２／Ｃ２）
である。すなわち、地上の時計Ｔ２のテンポτ２は、上空の時計Ｔ１のテンポτ１よりも小さくなっている。
これは重力の影響により時間が遅れていることを意味する。
τ２＝τ１√（１－ｖ２／Ｃ２）の式において、速度ｖ２は光速Ｃ２に対して非常に小さい。Ｘ＝ｖ２／Ｃ２と置
いて、Ｘ≪１の時、√（１－Ｘ）≒１－Ｘ／２、√（１＋Ｘ）≒１＋Ｘ／２という近似式を用いると、
τ２＝τ１√（１－ｖ２／Ｃ２）≒τ１（１－ｖ２／２Ｃ２）
である。物体の質量をｍとすると、高さｈの上空Ａの位置エネルギｍｇｈは、地表Ｂを物体が通過する
時の運動エネルギｍｖ２／２に変換される。これは星の重力崩壊の時にも述べた。また、競馬で例え
るならば、集められた賭け金の全額（＋Ａ）は、当たり馬券者や馬主などの支払い金の全額（－Ｂ）に
等しく、こちらに変換される。これをエネルギ保存の法則（熱力学の第１法則）といい、プラス、マイナ
ス、イクォール、ゼロ、すなわち、（＋Ａ）＋（－Ｂ）＝０（一定値）である。したがって、位置エネルギと運
動エネルギの場合も、ｍｇｈ＋（－ｍｖ２／２）＝０（一定値）が成立する。以上より、ｍｇｈ＝ｍｖ２／２で
あるから、ｖ２＝２ｇｈとなり、これを上式に代入する。
τ２＝τ１√（１－ｖ２／Ｃ２）≒τ１（１－ｖ２／２Ｃ２）＝τ１（１－ｇｈ／Ｃ２）
である。今、高層マンションの最上階を９１．８４ｍと仮定して、この階と地上との時間差を求めると、
次の通りである（重力加速度ｇ＝９．８（ｍ／ｓ２）、光速度Ｃ＝３ｘ１０８（ｍ／ｓ）、ｈ＝９１．８４（ｍ））。
ｇｈ／Ｃ２＝９．８ｘ９１．８４／（３ｘ１０８）２＝９００．０３２／（９ｘ１０１６）≒１０－１４（秒）
となる。高層マンションの最上階の時間に対して、地上の時間は１０－１４（秒）遅れるが、逆に、高層
マンションの最上階は地上より、１０－１４（秒）早く時間が過ぎることになるから早く歳を取る。それで
はいろいろな高さｈによる時間差は次の通りである。
高層マンションの最上階（９１．８４ｍ） １．０００ｘ１０－１４（秒）
東京タワ（３３３ｍ） ３．６２６ｘ１０－１４（秒）
富士山（３，７７６ｍ） ４．１１２ｘ１０－１３（秒）
エベレスト山（８，８４８ｍ） ９．６３４ｘ１０－１３（秒）
１９６４年、パウンドとスナイダらによるメスバウア効果を利用したガンマ線
の実験（高さ２２．６ｍ） ２．４６０ｘ１０－１５（秒）
高さｈが大きくなるとエレベ－タの落下速度（ｖ）が無視できなくなるので、地球上空１０，０００ｋｍと地
上との時間の関係を表す場合は、次の式を用いる。（地上τ２＝１秒の時、上空の時間τ１を求める）
τ１＝τ２（（１－ａ／ｒＡ）／（１－ａ／ｒＢ））１／２
ここに、ａ＝２ＧＭ／ ｃ２で地球のシュワルツシルト半径（Ｇ：重力定数（６．６７２ｘ１０－８ｄｙｎｅ・ｃｍ２・ｇ－２）
Ｍ：地球質量（５．９７４ｘ１０２７ｇ）、ｃ：光速（３ｘ１０１０ｃｍ／ｓ））である。また、ｒＡ：地球上空１０，０００ｋｍ
ｒＢ：地球半径（６，３７８ｋｍ）
地球のシュワルツシルト半径ａ＝２ｘ６．６７２０ｘ１０ー８ｘ５．９７４ｘ１０２７／（３ｘ１０１０）２＝０．８８５７ｃｍ
１－ａ／ｒＡ＝１－０．８８５７ｃｍ／（（１０，０００＋６，３７８）ｘ１０５ｃｍ＝１－０．０００００００００５４＝０．
９９９９９９９９９４５９２
１－ａ／ｒＢ＝１－０．８８５７ｃｍ／６，３７８ｘ１０５ｃｍ＝１－０．００００００００１３９＝０．９９９９９９９９８６
τ１＝τ２（（１－ａ／ｒＡ）／（１－ａ／ｒＢ））１／２＝τ２（０．９９９９９９９９９４５９２／０．９９９９９９９９８６）
１／２＝１．０００００００００４２４・τ２である。地上τ２＝１秒とした時、上空の時間は１００億分の４だけ
進んでいる。
太陽表面の１点（Ｂ点）から、地球上の１点（Ａ点）へ電波を発射（ω１）した時、地球で受信する電波
の振動数（ω２）は、ω２＝ω１（（１－ａ／ｒＢ）／（１－ａ／ｒＡ））１／２で表される。ここに、ａ＝２ＧＭ／ｃ２
で太陽のシュワルツシルト半径（Ｇ：重力定数（６．６７２ｘ１０－８ｄｙｎｅ・ｃｍ２・ｇ－２）、Ｍ：太陽質量（１．９
８９ｘ１０３３ｇ）、ｃ：光速（３ｘ１０１０ｃｍ／ｓ））である。また、ｒＢ：太陽半径（６．９６ｘ１０５ｋｍ）、ｒＡ：太陽か
ら地球までの長半径（１．４９６ｘ１０８ｋｍ）である。太陽のシュワルツシルト半径は、
ａ＝２ＧＭ／ｃ２＝２ｘ６．６７２ｘ１０－８ｘ１．９８９ｘ１０３３／（３ｘ１０１０）２＝２．９４９ｘ１０５ｃｍ（２．９４９ｋｍ）
また、上記式の各部分の式は、
１－ａ／ｒＢ＝１－２．９４９ｋｍ／６．９６ｘ１０５ｋｍ＝１－０．０００００４２３７＝０．９９９９９５７６
１－ａ／ｒＡ＝１－２．９４９ｋｍ／１．４９６ｘ１０８ｋｍ＝１－０．０００００００１９７＝０．９９９９９９９８０３
ω２＝ω１（（１－ａ／ｒＢ）／（１－ａ／ｒＡ））１／２＝ω１（０．９９９９９５７６／０．９９９９９９９８０３）１／２＝
０．９９９９９７８９・ω１
太陽表面にて、ω１＝１Ｈｚの電波を発信すると、地球で受信する電波の振動数は０．９９９９９７８９
Ｈｚとなり、太陽重力により振動数が減少したことを意味する。これは、逆に波長がのびる重力赤方変
移でもある。しかるに、時間はτ１＝１／ω２であるから、１／０．９９９９９７８９＝１．０００００２１０８６
秒である。太陽表面が１秒の時、地球は１００万分の２秒進んでいる。
（４） ドップラ効果
パトカや救急車が「ピ－ポ－、ピ－ポ－」、またはＳＬの汽車が汽笛を鳴らして、自分に向かって近づい
て来るとき、汽車の汽笛を例にとると、「ピ－」という楽器のピッコロのような高い音が聞こえるが、自分
の耳元（観測者）を汽車が通過した瞬間に、オーボエの楽器ような「ボ－」という低い音に変わって遠ざ
かる現象である。このような現象を経験したことがあると思われるが、これをドップラ効果という。
このドップラ効果は、高校の物理で習ったと思うのでここでは省略する。
① 音のドップラ効果Ａ
音源Ｓが静止して、観測者をＯとして、観測者Ｏが速度ｕで音源Ｓに近づく場合、または、遠ざかる際
音源Ｓの波の振動数ｎｏの時、観測者Ｏが受け取る振動数をそれぞれｎ１、ｎ２とすると、これらの間
に、次の関係式がなり立つ。（音波の速度はＶとする）
ｎ１／ｎｏ＝（Ｖ＋ｕ）／Ｖ －－－－－－（１）（観測者が近づく時） 音源Ｓ（ｎｏ）Ｖ→ 観測者Ｏ
ｎ２／ｎｏ＝（Ｖ－ｕ）／Ｖ －－－－－－（２）（観測者が遠ざかる時） ○ （ｎ１）ｕ←○→ｕ（ｎ２）
② 音のドップラ効果Ｂ
観測者Ｏが静止して、音源Ｓが速度ｖで観測者Ｏに近づく時、または、遠ざかる場合
ｎ１′／ｎｏ＝Ｖ／（Ｖ－ｖ） －－－－－（３）（音源が近づく時） 音源Ｓ（ｎｏ）Ｖ → 観測者Ｏ
ｎ２′／ｎｏ＝Ｖ／（Ｖ＋ｖ） －－－－－（４）（音源が遠ざかる時） ｖ← ○ →ｖ （ｎ１′）○（ｎ２′）
③ 観測者と共に音源も近づく時 音源Ｓ（ｎｏ）Ｖ → 観測者Ｏ
（１）式と（３）式をまとめる ○ →ｖ （ｎ′）ｕ←○
ｎ´／ｎｏ＝（（Ｖ＋ｕ）／Ｖ）・（Ｖ／（Ｖ－ｖ））＝（Ｖ＋ｕ）／（Ｖ－ｖ）（観測者と共に音源も近づく）－－－（５）
④ 観測者と共に音源が遠ざかる時 音源Ｓ（ｎｏ）Ｖ → 観測者Ｏ
（２）式と（４）式をまとめる ｖ← ○ ○→ｕ（ｎ″）
ｎ″／ｎｏ＝（（Ｖ－ｕ）／Ｖ）・（Ｖ／（Ｖ＋ｖ））＝（Ｖ－ｕ）／（Ｖ＋ｖ）（観測者と共に音源が遠ざかる）－（６）
観測者と共に音源も近づくか、遠ざかる時 ｖ← ○ →ｖ （ｎ） ｕ←○→ｕ
（１）、（２）、（３）、（４）式をまとめる。（１）、（２）式より（Ｖ±ｕ）／Ｖ、（３）、（４）式よりＶ／（Ｖ 干 ｖ）である
ｎ／ｎｏ＝（（Ｖ±ｕ）／Ｖ）・（Ｖ／（Ｖ 干 ｖ））＝（Ｖ±ｕ）／（Ｖ 干 ｖ）→（５）、（６）式をまとめたものとなる
⑤ 光のドップラ効果
光のような電磁波は音のような空気の媒体がなくても伝わる 光源Ｓ（ν）Ｃ → 観測者Ｏ
ので、光速をＣとすると、Ｖ＝Ｃであり、観測者Ｏは静止して ｖ← ○ →ｖ （νａ）○（νｂ）
いて（ｕ＝０）、光源Ｓの方が近づくか、遠ざかるかである。
光の振動数はν、観測者が受け取る振動数をνａ、νｂとする。
（５）式より、νａ／ν＝（Ｖ＋ｕ）／（Ｖ－ｖ）＝Ｃ／（Ｃ－ｖ）＝１／（１－ｖ／Ｃ）（光源が近づく時）－－ （７）
（６）式より、νｂ／ν＝（Ｖ－ｕ）／（Ｖ＋ｖ）＝Ｃ／（Ｃ＋ｖ）＝１／（１＋ｖ／Ｃ）（光源が遠ざかる時）－（８）
⑥ 特殊相対性理論によるドップラ効果
観測者Ｏから見て、光源Ｓの時間の遅れは、特殊相対性理論の時に、ピタゴラスの定理から導かれた
√（１－ｖ２／Ｃ２）であり、この因子を（５）、（６）式に掛けることになる。観測者が受け取る振動数をν１
ν２とする。これを縦方向のドップラ効果という。
Ａ光源Ｓ（ν）Ｃ → 観測者Ｏ Ｂ光源Ｓ（ν）Ｃ
○ →ｖ （ν１）○（ν２） ○ →ｖ
光源が近づく時（Ａ光源Ｓが観測者に近づく場合で、θ＝０°の時）
（７）式より、ν１／ν＝（１／（１－ｖ／Ｃ））・√（１－ｖ２／Ｃ２）＝（（１＋ｖ／Ｃ）／（１－ｖ／Ｃ））１／２－（９）
光源が遠ざかる時（Ｂ光源Ｓが観測者から遠ざかる場合で、θ＝１８０°の時）
（８）式より、ν２／ν＝（１／（１＋ｖ／Ｃ））・√（１－ｖ２／Ｃ２）＝（（１－ｖ／Ｃ）／（１＋ｖ／Ｃ））１／２－（１０）
光源が近づく時は、（９）式より振動数が多くなるので光のスペクトルは青色へ変移する（青方変移）
光源が遠ざかる時、（１０）式より振動数が少なくなるので光のスペクトルは赤色へ変移する（赤方変移）
⑦ 一般相対性理論による重力青方・赤方変移 エレベ－タ
↓
ｖ＝ｇｔ＝ｇｈ／Ｃ
（ｔ＝ｈ／Ｃ）
光源Ｓ（ν）Ｃ エレベータ 上空○→νｇ２ エレベータ内の観測者Ｏ
↓ ↓ ↑
ｈ ｖ＝ｇｔ＝ｇｈ／Ｃ ｈ
↓ （ｔ＝ｈ／Ｃ） ↑
地上○→νｇ１ エレベータ内の観測者Ｏ 地上○
光源Ｓ（ν）Ｃ
Ａ 図 Ｂ 図
地球上で上空より地表から高さ、ｈから観測者がエレベ－タで自由落下したと同時に、光源Ｓ（ν）Ｃを
地上に放つ。この時のエレベ－タの落下速度をｖとすると、観測者は、特殊相対性理論により光の速
さは常にＣであるから、高さｈから、地表まで光が到達する時間はエレベ－タ内では、ｔ＝ｈ／Ｃである。
これに、観測者の速度、ｖ＝ｇｔ（ｇ：重力加速度）に代入すると、ｖ＝ｇｈ／Ｃとなる。自由落下から特殊
相対性理論のドップラ効果が使えることになる。
観測者が自由落下すると同時に、光源は高さｈに固定して、上から下へ光を発射する（青方変移）。
また、その逆は、光源は地表に固定し、下から上へ光を発する（赤方変移）。この時、観測者が受け取
る振動数をνｇ１、νｇ２として、観測者が動く速度ｖがＣに対して非常に小さいと仮定する。下記の式に
ｖ＝ｇｈ／Ｃを代入する。
光を上から下へ発する時（青方変移）（Ａ 図）（（９）式に（１＋ｖ／Ｃ）１／２を分子、分母に掛ける）
（９）式より、νｇ１／ν＝（（１＋ｖ／Ｃ）／（１－ｖ／Ｃ））１／２＝（１＋ｖ／Ｃ）／（１－ｖ２／Ｃ２）１／２
≒１＋ｖ／Ｃ＝１＋ｇｈ／Ｃ２⇒ 一般的には、１＋Φ／Ｃ２（Φ＝ＧＭ／ｂ）
＝１＋ＧＭ／Ｃ２ｂ （Ｇ：重力定数、Ｍ：天体の質量、ｂ：天体の半径）
または、νｇ１－ν／ν＝ｇｈ／Ｃ２⇒Φ／Ｃ２（Φ＝ＧＭ／ｂ）＝ＧＭ／Ｃ２ｂ－－－－（１１）
光を下から上へ発する時（赤方変移）（Ｂ 図）（（１０）式に（１－ｖ／Ｃ）１／２を分子、分母に掛ける）
（１０）式より、νｇ２／ν＝（（１－ｖ／Ｃ）／（１＋ｖ／Ｃ））１／２＝（１－ｖ／Ｃ）／（１－ｖ２／Ｃ２）１／２
≒１－ｖ／Ｃ＝１－ｇｈ／Ｃ２⇒ 一般的には、１-Φ／Ｃ２（Φ＝ＧＭ／ｂ）
＝１-ＧＭ／Ｃ２ｂ （Ｇ：重力定数、Ｍ：天体の質量、ｂ：天体の半径）
または、ν－νｇ２／ν＝ｇｈ／Ｃ２⇒Φ／Ｃ２（Φ＝ＧＭ／ｂ） ＝ＧＭ／Ｃ２ｂ－－－－（１２）
青方変移の場合、上空から発する光は、地表に行くほど重力によりエネル－ギをもらい、振動数が増
える（赤方変移はその逆）。 （１１）、（１２）式をまとめると、νｇ１－νｇ２／ν＝２ｇｈ／Ｃ２⇒２Φ／Ｃ２
（Φ＝ＧＭ／ｂ） ＝２ＧＭ／Ｃ２ｂ となる。また、この重力赤方変移においては以下の通りである。
光源Ｓ（ν）Ｃ ｈ →νｇ２ ｈ →νｇ２ エレベータ ｍｇｈ
（Ｔ２）○ →ｖ ↑ ↑ ↓
↓ ↓ ｖ ｖ ｖ
９０°νｇ２ （Ｔ２） ９０° （Ｔ２） ９０°エレベータ内の
観測者Ｏ地上（Ｔｏ） 地上○→ 観測者Ｏ（Ｔｏ） 地上○→ 観測者Ｏ（Ｔｏ） ｍｖ２／２
光源Ｓ（ν）Ｃ 光源Ｓ（ν）Ｃ
Ｃ 図 Ｄ 図 Ｅ 図
Ｃ 図のように光源が速度ｖにて瞬間的に移動するのを観測者が横方向から見る場合、すなわち、光
源の進行方向と９０°に発している光を観測することを横ドップラ効果（θ＝９０°）という。Ｄ 図は地
上から光源が高さｈまで速度ｖにて瞬間的に移動する時、９０°方向へ発する光を観測者が眺める場
合で、Ｅ 図にて説明すると、エレベータ（観測者Ｏ）が速度ｖで地上へ落下した時、その地上を通過し
て穴の中へ消えていった場合、地上に固定されていた光源Ｓ（ν）Ｃは速度ｖにて、エレベータとは逆
方向の上空へ瞬間的にすっ飛んでいくのを観測することができる。このように、光源の進行方向と９０°
に発している光を眺めるのを横ドップラ効果（θ＝９０°）であるという。これがＤ 図の意味である。
Ｃ 図は速度ｖにて走っている電車に光源Ｓ（ν）Ｃを乗せて進行している場合で、特殊相対性理論の
時、電車の中の光源の光速による時間（周期）をＴ２とした際の地上の時間（観測者）Ｔｏは、Ｔｏ＝Ｔ２
／√（１－ｖ２／Ｃ２）と表すことができた。電車内および地上での時間（周期）と振動数の関係は、Ｔ２＝
１／ν、Ｔｏ＝１／νｇ２である。以上より、νｇ２＝ν√（１－ｖ２／Ｃ２）より、νｇ２／ν＝√（１－ｖ２／Ｃ２）
となる。（３） 重力による時間の遅れの時にも述べたように、Ｄ 図（Ｅ 図）も、エレベータの時間を
Ｔｏ、地上の時間Ｔ２によるテンポをτｏ、τ２とした時τ２＝τｏ√（１－ｖ２／Ｃ２）で表された。同様に、
振動数をτ２＝１／ν、τｏ＝１／νｇ２とすると、νｇ２／ν＝√（１－ｖ２／Ｃ２）となる。
また、時間の遅れは、τｏ＝τ１から、τ２＝τ１√（１－ｖ２／Ｃ２）である。
速度ｖ２は光速Ｃ２に対して非常に小さい。Ｘ＝ｖ２／Ｃ２と置いて、Ｘ≪１の時、√（１－Ｘ）≒１－Ｘ／２、
√（１＋Ｘ）≒１＋Ｘ／２という近似式を用いると、νｇ２／ν＝√（１－ｖ２／Ｃ２）≒（１－ｖ２／２Ｃ２）であ
る。Ｅ 図から、エネルギ保存の法則により、ｍｇｈ＝ｍｖ２／２であるので、ｖ２＝２ｇｈとなる。上式に代
入すると、
νｇ２／ν＝√（１－ｖ２／Ｃ２）≒（１－ｖ２／２Ｃ２）＝１－ｇｈ／Ｃ２ －－－－－－（１３）
という式を得る。これは、重力赤方変移による上記（１２）式と同じである。このように、横ドップラ効果
（θ＝９０°）のことを重力赤方変移という。また、これは、重力による時間の遅れ、
τ２＝τ１√（１－ｖ２／Ｃ２）≒τ１（１－ｖ２／２Ｃ２）＝τ１（１－ｇｈ／Ｃ２） －－－－（１４）
をも表すのである。（特殊相対性理論では、電車の中の真の時間をＴｏ、地上の時間をＴで表したが、
上記では、電車の中の真の時間をＴ２、地上の時間をＴｏで示しているので混乱しないように）
これより先は工事中です。