数学B2006年 

[1] 
(1) 
u=a*x/(x^2+y^2),v=b*y/(x^2+y^2) 
とおくと、f(x,y)が正則であるためにはu,vが共に連続な偏導関数を持ち、コーシーリーマンの方程式 
δu/δx=δv/δyー�@ 
δv/δx=-δu/δyー�A 
を満たせばよい。 
δu/δx＝a*(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 
δv/δy=b*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 
δv/δx=-2*b*x*y/(x^2+y^2)^2 
δu/δy=-2*a*x*y/(x^2+y^2)^2 
で、これらは連続なので 
�@⇔(a+b)*y^2=(a+b)*x^2ー�@’ 
�A⇔a*x*y=-b*x*yー�A’ 

�@’、�A’が任意のx、yについて成り立つので 
a=-b 


(2) 
z=x+i*yより 
x=z-i*y 
なので(1)より 
f(x,y)=a(z-i*y)/{(z-i*y)^2+y^2}-a*y*i/{(z-i*y)^2+y^2} 
=a(z-2*i*y)/z^2-2*i*z*y 
=a/z 

[2] 
(1)マセマ154ページ参照 

(2) 
曲線C_2を媒介変数表示すると 
z(t)=exp(-i*t)+1(pi<=t<=3/2*pi) 
となるので(zの共役複素数をvar(z)と表すと) 
var(z)=exp(i*t)+1 
で 
dz/dt=-i*exp(-i*t)なので 
I_2=integral{pi→3/2*pi}{(exp(i*t)+1)(-i*exp(-i*t))}dt 
=1+i*(1-pi/2) 

[3] 
f(z)=z^nとおくとf(z)は|z-1|=1において正則なのでグルサの定理より 
与式＝2*pi*i/(n-1)!*f_(n-1)(1) 
(ここでf_(n-1)(1)はfを(n-1)回微分したものに1を代入したものを表すことにする) 
ここでf(z)を(n-1)回微分すると 
n!*z 
となるので 
与式＝2*pi*i*n!/(n-1)! 
＝2*pi*i*n 
となる。 

[4] 
(1) 
1+z^4=0とおき、z=r*exp(i*theta)とおくと 
r^4*exp(4*i*theta)=exp(i*(pi+2*n*pi)) 
よってr=1,theta=pi(2*n+1)/4で、このうち上半平面にあるのは、n=0,n=1の時。 
n=0の時exp(i*pi/4)=1/sqrt(2)+i/sqrt(2) 
n=1の時exp(3*i*pi/4)=-1/sqrt(2)+i/sqrt(2) 

(2) 
z=1/sqrt(2)+i/sqrt(2)とz=-1/sqrt(2)+i/sqrt(2)における留数は 
a=Res{f(z)}_(z=1/sqrt(2)+i/sqrt(2))=1/{2*(-sqrt(2)+sqrt(2)*i) 

b=Res{f(z)}_(z=-1/sqrt(2)+i/sqrt(2))=1/{2*(sqrt(2)+sqrt(2)*i) 
なので 
与式＝2*pi*i*(a+b) 
＝sqrt(2)*pi/2 

なおこの解答はかなり不完全です。 
詳しくはマセマの235〜238辺りを見てください。