これはもうそのまんま「音痴」じゃなく歌う、って事なんですが、まず「音痴」とはどういう状態でしょうか。僕が思うに「音痴」とは「ノド」の問題じゃなく「耳」の問題だと思います。正しい音程を「聴く」ことが出来ない人は、正しい音程を「出す」ことが出来ません。
「耳」を鍛えるには、周りの演奏を良く聞いて歌うクセをつけると良いと思います。この聴きながら歌うというスキルは、ボーカリストとしては必須だと思います。

練習の仕方なんですが、ＣＤをなるべく大きなボリュームでかけて自分も一緒に歌ってみる（車の中とかで）のがいいと思います。その際、頭のどこかを冷静にして、自分の歌声とＣＤから流れてくる歌声を聞き比べてみましょう。「あ、ちょっと今微妙にハズしたな」とかわかってくるようになると思います。
本来出すべき正しい音程と自分の音程の差が冷静に認識できるようになれば、あとはそれを修正していくのは比較的簡単だと思います。

また、ピアノなどの楽器が弾けるのであれば、歌うメロディーを弾きながら歌うのも効果的な練習だと思います。もちろん、それらを録音して聞き直してみるのも可能であればやったほうがいいです。録音してみると「自分はピッタリな音程で歌っていたつもりだったのに、実は低かった」なんて事を発見できたりするものです。

最初にぶっちゃけると、↑の「正しい音程で歌う」と練習方法は同じです。「正しく聴ける耳」を持っていれば、それだけで多くのリズムの問題は解決できます。歌いながら冷静に聴ける耳を持っていれば、演奏しているリズム楽器（ドラム、ベースなど）を意識的に聴くことが出来、自然とノッて歌えるからです。

「リズム」と「音程」の問題は相互それぞれに関連があります。「正しい音程」を完全に自分のものにしていれば、自然と正しいリズムで歌えるようになっているはずです。また逆に、正しいリズムをマスターしていれば、恐らく音程も正しく歌えているハズです。

補足すると、音符一音一音、歌詞の一言一言を「しっかりハッキリ歌う」事を心がけて下さい。多少わざとらしいくらいでもいいです。モゴモゴごまかしながら歌うと、音程もリズムも曖昧になるものなのです。

いわゆる”腹式呼吸”で歌えるか、ですね。
腹式呼吸のやり方を文章で説明することは俺にはできません。いっぱい歌って、その感覚をモノにして下さい。へその下あたりに意識を集中し、ノドの奥をひらいて、声を口の中で響かせるイメージです（あくまでもイメージです）。ＣＤをよく聴いて、プロの歌手の発声法をマネしてみるのも一つの手です。

あと、ビブラートや裏声は、ノドを狭くしてしまうので、腹式呼吸の練習の妨げになる場合が多いようです。ビブラートの練習などは、ある程度声量が増してからの方がいいと思います。

声量を増すには、とにかく大きな声でたくさん歌を歌うことです。自分の出来る範囲で、ノドをつぶさない程度に、いっぱい歌いましょう。

また、声量が増してくると、高い音が出しづらくなると思います。これは、声量が増したために裏声が使いづらくなるためだと思うんですが、これを解決するのにも、とにかく歌うしかないです。沢山歌っていれば、少しずつ高い声も、さらには低い声もキレイに出るようになっていきます。

僕の知っている特に歌が上手いヴォーカリストたちは、みな歌うことがかなり好きです（例外もいますが）。カラオケではマイク握ったら離さないし、道を歩いているとき、何かの待ち時間、車で移動中、とにかく暇さえあればずっと大声で歌っています。
それはまあ極端だとしても、歌をなるべく沢山歌う事が一番の上達の秘訣だと思います。迷惑にならない程度に、出来る範囲でいっぱい歌いましょう。その際、できるだけ手を抜かずに真剣に歌うとより良いと思います。

正しい音程より低く歌ってしまう事を「歌がフラットする」といいますが、こうなってしまう場合、原因の多くは歌を正確に覚えていない、つまり、正しい音程をマスターしていないからです。正しいリズムで正しい音程をポン、と出すことに慣れていない人は、自然と発声も自信なさげな感じになります。具体的にいうと、音程に自信がないために音程が正しい音程に上がりきるのが正しいリズムに追いつかないという状態です。
これを克服するには上記、「正しい音程で歌う」「正しいリズムで歌う」の練習を徹底すると良いと思います。

ボーカリストはノドを酷使します。喉を壊してしまうとバンドどころの騒ぎではなくなってしまいます。大切にしましょう。
練習時には必ず水分をとり、のどアメなんかも持っておくといいでしょう。スタジオ練習時、歌っている時にノドに異常を感じたら遠慮なく演奏をとめ、休憩をはさみましょう。ムリして歌っても上手くはなりません。

上記にあげたように、ヴォーカリストはまず「聞き分けられる耳」をつくる練習から始めるべきだと（あくまでも俺は）思います。

なので必然的に、スタジオ練習のときは一番耳のいいボーカルが皆に指示をだすのがいいと思います。ボーカルが一番、冷静に演奏を聞けるから（聞けるべきであるから）です。弦楽器のチューニングは狂っていないか？ドラムとベースが上手にからんでいるか？バンドアンサンブルに不協和音はないか？その他気づいた事をどんどんボーカルが皆に指摘すると練習の効率があがると思います。とくにチューニングが狂ったまま演奏されると、確実に自分の歌もヘタになります。自分がヘタにならないためにも指摘してあげましょう。

・「耳」をきたえよう
・いっぱい歌おう
・喉はたいせつにしよう