微分とは？
次は点ｘでの傾きを求めよう
今度は、
上に適当な点をとり、その点での接線の傾きを求めたいと思います。
それでわ、いつものように極限値を求めていきましょう。
となります。
よって、
上の点での接線の傾きは、
となることが分かりました。
ところで、どうでしょう？
もし、この
に
を代入したら、
における
での接線の傾きが求められます。
また同様に、
に
を代入しても、
同様にしてその地点での接線の傾きが求められます。
ちなみに、この場合ｘ＝０を代入してみると０になるので、
この場合、接線の傾きが０ということになります。
こうしてみると、
というのは、
のそれぞれの点での接線の傾きを求める
いわば‘公式’みたいなものだと分かっていただけたでしょうか？
このように、関数
の接線の傾きを求める‘公式’みたいなものを導く操作のことを微分といいます。
また、微分した後の関数のことを導関数といい、
微分する前の関数のことを原始関数といいます。
この場合、
の導関数は
となり、
逆に、
の原始関数は
となります。
以下に
のグラフを示します。
の導関数
は、ｘ＝０の時最小値０をとり、それ以外は、必ず正の値をとります。
よって、もとの関数
は、ｘ＝０以外の全ての点で接線の傾きが正、つまり右上がりになります。
また、ｘ＝０の点では、接線の傾きが０となるため、グラフの増加がいったん緩やかになっています。
導関数の表し方
それでは、おさらいしましょう。
このように、関数
の導関数は、
のように求められます。
また、
の導関数は、
や
あるいは、
と表されます。
「なぜ導関数の表し方がいくつかもあるの？」と思うかもしれませんが、
それは「微分」を発見した人物が二人いるからです。
どういうことかといいますと、偶然にも二人同時に微分を発見してしまったのです。
その二人の人物は、あの「木から落ちるリンゴ」で有名なニュートンと、
数学者の「ライプニッツ」だと言われています。
だから現在でも、「一体どっちが微分を発見したんだ？」なんて論争が絶えませんが・・・
ニュートンは導関数を
で表しました。
このように、二人の人物が独立で微分を発見したため、記法も幾通りになってしまったということです。
ちなみに、
は、ラグランジュという人が考案した記法です。
ところで、ライプニッツの記法に出てくる
ですが、これは数字ではなくて記号です。
このは、今までのや
のように数を文字で割り当てたものではなく、
総和を求める
みたいな、記号だと思ってください。
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