PUZZLE

[PUZZLE]

●論理発想パズル●

第８問

確率

あなたは、病院で1000人に1人しかかからない病気の検査を受けました。検査の結果、あなたはポジティブ(陽性)であることが分かりました。検査は、95％の確率で当たるそうです。ちなみに、この病気にかかった場合、 100％の確率で3ヶ月以内に死ぬことがわかっています。このことから確実にいえるのはどれでしょう。

ア、あなたは、およそ95％の確率で3ヶ月以内に死ぬ
イ、あなたは、およそ95％の確率で病気ではない。
ウ、あなたは、およそ2％の確率で3ヶ月以内に死ぬ
エ、あなたは、およそ２％の確率で病気ではない。　

【ヒント】
意外な結果です。よーーーく考えてみましょう。

【解答】

ウ、あなたは、およそ2％の確率で3ヶ月以内に死ぬ

【解説】

少し複雑な問題です。はじめに考えなければならないのは、４つの場面が想定できるということです。

①病気で、結果もポジティブ
②病気ではないのに、結果がポジティブ
③病気なのに、結果はネガティブ
④病気ではないので、結果もネガティブ

という４つです。このうち、問題では、あなたの結果はポジティブだと分かっているので、結果がポジティブである①と②のケースに当たる人が一体何人いて、その中で①のケースに当てはまる人が何人いるかを計算することで確率が出せます。

式で表すと、

①の人数÷（①の人数+②の人数）＝本当に病気の確率

ということになります。

では、①と②のケースの人数から計算していきます。

まず、1000人に1人病気にかかるので、10万人では、100人が病気です。よって、この病気にかかっている100人中、95％正確な検査もポジティブになる人は、95人ということになります。
(①＝95人)

次に、1000人に999人は病気ではないので、10万人では、99900人が病気ではありません。よって、この病気ではない99900人中、95％正確な検査でポジティブになってしまう人は、4995人いることになります。
(②＝4995人)

したがって、本当に病気で検査がポジティブな人は、95人。本当は病気ではないのに、検査がポジティブな人は、4995人。つまり、10万人中、検査でポジティブな結果がでるのは、あわせて5090人。
(①+②＝5090)

ここで、検査でポジティブの結果が出た人の中で、本当に病気である確率を求めてみましょう。ポジティブの結果が出るのは5090人の中で、本当に病気なのは、95人。よって、確率は、約2％となります。
(①÷(①+②)=0.01866…)

すなわち、ポジティブで本当に病気であるため、3ヶ月以内に死んでしまう確率は、ウの通り、２％なのです。