ある方から「太陽の質量はどうやって求めているのか？」という質問をいただきました。よくありそうな質問なので太陽に限らず、恒星や惑星など他の天体の質量を求める方法を紹介したいと思います。 太陽質量の求め方 　地球は太陽から約１億５千万キロメートルのところを１年で１回公転しています。これは直進しようとする地球に対して太陽の引力が引き留めているためです。地球が太陽から遠ざかろうとする遠心力と、太陽の引力が釣り合っているため地球はいつも太陽から同じ距離にあると考えられます。 遠心力は地球が公転する角速度の２乗と太陽からの距離に比例します。また太陽が地球を引っ張る力は太陽の質量に比例し、距離の２乗に反比例します。 地球が太陽を公転する角速度を　ω　とすると

遠心力　Ｆ　は

であらわされます。
またニュートンの万有引力の法則により、太陽と地球の間に働く引力　Ｆ　は

であらわされます。 両者は釣り合っているので

となります。
両辺にＴの２乗を掛けると

となり、さらに整理すると

となります。これがケプラーの第３法則で、ケプラーの法則がニュートン力学の一部であることがわかります。
ここから太陽の質量　Ｍ　をあらわす式にすると

となります。

実際に数値を代入してみます。単位はＭＫＳ単位系（長さはメートル、質量はキログラム、時間は秒であらわします）を用います。
　重力定数（万有引力定数）　Ｇ＝６．６７２×１０^−１１ｍ^３／（ｋｇ・ｓ^２）
　地球の公転周期　Ｔ＝３６５．２４×２４×６０×６０　秒
　地球の平均距離　ｒ＝１．４９５９×１０^１１ｍ
　円周率　π＝３．１４１５９
とすると
　Ｍ＝１．９８９×１０^３０ ｋｇ
となります。

　この式を使えば、月の公転周期と月までの距離を知ることによって地球の質量を知ることもできます。他の惑星についても衛星があれば質量を知ることが可能になります。
　さらに連星系の質量を計算することができます。２個の恒星が互いに共通重心を公転している場合、共通重心までの距離から両星の質量比が求まり、さらに公転周期から両星の質量を決めることができます。そのためには恒星までの正確な距離測定が不可欠です。
　右の図はαケンタウリ（ケンタウルス座α星）で２個の恒星が互いの共通重心のまわりを公転しています。（ただしαケンタウリは正確には３連星で３個目の小さい恒星（プロクシマ）が２星から遠く離れて存在しますが、この重力はほとんど無視できる程度に小さいと考えられます。）
　このよな２星を分離して観測できる恒星を実視連星といいます。
　実視連星のうち質量の大きい方を主星、小さい方を伴星といいます。ある連星系において、主星、伴星の質量および軌道長半径をそれぞれ　ｍ1、ｍ2およびａ1、ａ2とし公転周期をＴとすると、ケプラーの法則により

となります。 質量、軌道長半径、公転周期をそれぞれ、太陽質量、天文単位、年を単位にあらわすと、地球の質量は太陽に比べて無視できる程度に小さいので、
ｍ1＋ｍ2＝１　ａ1＋ａ2＝１　Ｐ＝１　となるはずです。
このような単位系を使うと、連星系の場合に拡張したケプラーの法則は

となります。
連星間の距離がｒパーセクであるとき、軌道長半径に相当する長さ　ａが天球上で角距離　ｓ”として観測されたとすると、ａ＝ｒｓ　となるので

の関係式ができます。
ｓやＰは観測で求めることができるので、太陽系から連星系までの距離がわかれば、ｍ1＋ｍ2 を計算することができるというわけです。
さらに両星から共通重心までの距離がわかれば、比例配分（軽い星のほうが共通重心から遠い）によって両星の質量が太陽の何倍なのかわかります。


　では衛星を持たない惑星や、連星系でない恒星の質量はどのように計算するのでしょうか。
　金星や水星など太陽系の惑星では、惑星に接近する小惑星や彗星の軌道の変化から質量を推定します。小惑星は惑星にたいして無視できる程度の非常に小さい質量しか持たないので、惑星の傍を通り過ぎるとき重力によって軌道が変わってしまいます。惑星の質量が大きいほど変化の度合いも大きいので質量を見積もることができるのです。現在では惑星探査機が各惑星に接近し非常に正確に質量がわかっています。
　小惑星など小さな天体では直接直径を測定できない物も多いのです。そこで地球から見た明るさと表面のアルベド（反射能：どれくらいの光を反射するかの割合）を地球に接近する小惑星の表面観測、隕石などから推定し、そこから直径を見積もってさらに密度を仮定して質量を求めています。
　遠いところにあるＥＫＢＯなどではアルベドの見積もりを誤ると、直径が倍以上違うこともあるようです。

　連星でない恒星の質量は、恒星の進化理論から求められます。誕生したばかりの恒星がその後どのような進化をたどるのかは恒星の質量によって決まります。質量の大きい恒星は青白い青色巨星から短時間で赤色巨星へ進化し最終的に超新星爆発によりブラックホールや中性子星になることがわかっています。太陽程度の質量の恒星では赤色巨星になったあと白色矮星になることがわかっています。
　恒星の明るさ（絶対等級）と色を観測すれば、その恒星が進化のどの段階にあるのかがわかり、最初の質量を見積もることができます。これには連星系から得られた質量データが理論の正確さを検証するために使われています。

2005.01.01